云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 数学中的问题解决

1 数学中的问题解决数学中的问题解决 内容提要 问题解决中的 问题 并不包括常规数学问题 而是指非常规数学问题 和数学的应用问题 这里的常规数学问题 就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循 的一般规则 原理 而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题 对于大多数学生 而言 具有探索性或创造性的问题 正是数学上 普遍的高标准 这又并非是 高不可 及 的 而是可通过努力得到解决的 如何才能更好的解决数学中遇到的问题呢 关键词 数学问题 解决 探索 1980 年 4 月 以美国数学教师全国联合会的名义 公布了一份名曰 行动纲领 80 年代数学教育的议程 的文件 首次提出必须把问题解决作为 80 年代中学数学的核心 在 1980 年 8 月的第四届国际数学会议上 美国数学教师协会提出了 80 年代中学数学教育 行动计划的八点建议 指出 80 年代中学数学教育改革焦点是培养学生问题解决的能力 这种力量衡量个人和国家数学水平的标志 到 1988 年召开的第六届国际数学教育会议上 则将问题解决列为大会的七个主要研究课题之一 在课题报告中 几次明确提出问题解决 模拟化和应用必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部份 这样 在美国和国际数学 教育会议的推动下 问题解决受到了世界各国数学界普遍重视 不仅成为国际数学教育界 研究的重要课题 而且是继新数运动和回到基础之后兴起的 80 年代和 90 年代国际数学教 育发展的潮流 一 对问题的理解 对问题的理解与关于甚么是问题解决的分析直接相关 讨论和研究问题解决的一个主 要困难就在于对甚么是真正的问题缺少明晰的一致意见 当代美国著名数学家哈尔莫斯曾说 问题是数学的心脏 美籍匈牙利著名数学教育家 波利亚在 数学的发现 一书中曾给出问题明确含义 并从数学角度对问题作了分类 他 指出 所谓问题就是意味着要去寻找适当的行动 以达到一个可见而不立即可及的目标 牛顿大词典 对问题的解释是 指那些并非可以立即求解或较困难的问题 那种需要探 索 思考和讨论的问题 那种需要积极思维活动的问题 在 1988 年的第六 国际数学教育大会上 问题解决 模型化及应用课题组提交的课题报告 中 对问题给出了更为明确而富有启发意义的界定 指出一个问题是对人具有智力挑战特 征的 没有现成的直接方法 程序或算法的待解问题情境 该课题组主席奈斯还进一步把 数学问题解决中的问题具体分为两类 一类是非常规的数学问题 另一类是数学应用问题 这种界定现已经逐渐为人们所接受 我国的张奠宙 刘鸿坤教授在他们的 数学教育学 里的 数学教育中的问题解决 中 对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨 根据他们的思想观点 我们可对问题 作以下几个方面的理解和认识 问题是一种情境状态 这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突 在 当前状态下还没有易于理解的 没有完全确定的解答方法或法则 换句话说 所谓有问题 2 的状态 即这个人面临着他们不认识的东西 对于这种东西又不能仅仅应用某种典范的解 法去解答 因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来 那么它就不是一个 问题了 问题解决中的问题 并不包括常规数学问题 而是指非常规数学问题和数学的应用问 题 这里的常规数学问题 就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则 原 理 而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题 问题是相对的 问题因人因时而宜 对于一个人可能是问题 而对于另一个人只不过 是习题或练习 而对于第三个人 却可能是所然无味了 另一方面 随着人们的数学知识 的增长 能力的提高 原先是问题的东西 现在却可能变成常规的问题 或者说已经构不 成问题了 例如 学生在学习因式分解之前 对于求方程 x3 6x2 5x 0 的解 构成 问题 而在学习了因式分解之后 已熟练地掌握了 abc 0 则 a 0 或 b 0 或 c 0 那么 此时前述求方程的根已对他不构成问题了 而当前状态下对于求方程 x3 6x2 4x 6 的根则构成一个问题 问题情境状态下 要对学生本人构成问题 必须满足三个条件 1 可接受性 指学生 能够接受这个问题 还可表现出学生对该问题的兴趣 2 障碍性 即学生当时很难看出问 题的解法 程序和答案 表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败 3 探索性 该问 题又能促使学生深入地研究和进一步的思考 展开各种探究活动 寻求新的解题途径 探 求新的处理方法 问题解决中的问题与习题或练习是有区别的 其重要区别在于 1 性质不同 中学数 学课本中的习题或者练习属于常规问题 教师在课堂中已经提供了典范解法 而学生只不 过是这种典范解法的翻版应用 一般不需要学生较高的思考 因此 实际上学生只不过是 在学习一种算法 或一种技术 一种应用于同一类问题的技术 一种只要避免了无意识的 错误就能保证成功的技术 2 服务的目的不同 尽管有些困难的习题对大部份学生实际上 也可能是真正的问题 但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的 而真正的问题则 适合于学习发现和探索的技巧 适合于进行数学原始发现以及学习如何思考 因此 练习 技巧与解真正问题所要达到的学习目的不大相同 也正因为它们各自服务于一种目的 所 以中学教学课本中的习题 练习不应该从课本中被除去 而应该被保留 然而 解决了这 些常规问题后 并不意味着已经掌握了问题解决 二 一个好问题的标准 以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化 也 即意味着数学教育的一个根本性的变革 正是在这样的意义上 著名数学教育家伦伯格指 出 解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个中心论题 那么 从数学教育的角度看 究竟甚么是一个 好 的问题 它的标准该是甚么 一般 来说 一个好问题标准应体现在以下三个方面 3 其一 一个好问题应该具有较强的探究性 这就是说 好问题能启迪思维 激发和调动探究意识 展现思维过程 如同波利亚所 指出的我们这里所指的问题 不仅是寻常的 它们还要求人们具有某种程度的独立见解 判断力 能动性和创造精神 这里的探究性 或创造精神 的要求应当是与学生实际水平相 适应的 既然我们的数学教育是面向大多数学生的 因此 对于大多数学生而言 具有探 索性或创造性的问题 正是数学上普遍的高标准 这又并非是高不可及的 而是可通过努 力得到解决的 从这个意义上来说 我们这里说的好问题并不是指问题应有较高的难度 这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部份试题是有区别的 在竞赛中 问题解决 在很大程度上所发挥的只是一种筛子的作用 这是与以问题解决作为数学教育的中心环节 和根本目标有区分的 其二 一个好问题 应该具有一定的启发性和可发展空间 一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理 对于这些问题或者 能启发学生寻找应该能够识别的模式 或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决 同 时 问题解决还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握 有利于学生掌握有关的数 学知识和思想方法 这就与所谓的偏题 怪题划清了界线 一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束 所寻求的解答可 能暗示着对原问题的各部份作种种变化 由此可以引出新的问题和进一步的结论 问题的 发展性可以把问题延伸 拓广 扩充到一般情形或其他特殊情形 它将给学生一个充分自 由思考 充分展现自己思维的空间 其三 一个好问题应该具有一定的开放性 好问题的开放性 首先表现在问题来源的开放 问题应具有一定的现实意义 与现实 社会 生活实际有着直接关系 这种对社会 生活的开放 能够使学生体现出数学的价值 和开展问题解决的意义 同时 问题的开放性 还包括问题具有多种不同的解法 或者多 种可能的解答 打破每一问题都有唯一的标准解答和问题中所给的信息都有用的传统观念 这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义 三 问题解决见解种种 从国际上看 对问题解决长期以来有着不同的理解 因而赋予问题解决以多种含义 总括起来有以下 6 种 1 把问题解决作为一种教学目的 例如美国的贝格教授认为 教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用 教授数 学要有利于解决各种问题 学习怎样解决问题是学习数学的目的 教授也认为本世纪 80 年 代以来 世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的 之一 当问题解决被认为是数学教学的一个目的时 它就独立于特殊的问题 独立于一般 过程和方法以及数学的具体内容 此时 这种观点将影响到数学课程的设计和确定 并对 4 课堂教学实践有重要的指导作用 2 把问题解决作为一个数学基本技能 例如美国教育咨询委员会认为问题解决是一种数学基本技能 他们对如何定义和评价 这项技能进行了许多探索和研究 当问题解决被视为一个基本技能时 它远非一个单一的 技巧 而是若干个技巧的一个整体 需要人们从具体内容 问题的形式 构造数学模型 设计求解模列的方法等等综合考虑 3 把问题解决作为一种教学形式 例如英国的柯可可劳夫特等人认为 应当在教学形式中增加讨论 研究问题解决和探 索等形式 他还指出在英国 教师们还远远没有把问题解决的活动形式作为教学的类型 4 把问题解决作为一种过程 例如 21 世纪的数学纲要 中提出问题解决是学生应用以前获得的知识投入到新或不 熟悉的情境中的一个过程 美国的雷布朗斯认为 个体已经形成的有关过程的认识结构被 用来处理个体所面临的问题 此种解释 可以使一个人使用原先所掌握的知识 技巧以及对 问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段 它着重考虑学生用以解决问题 的方法 策略和猜想 5 把问题解决作为法则 例如在 国际教育辞典 中指出 问题解决的特性是用新颖的方法组合两个或更多的 法则去解决一个问题 6 把问题解决作为能力 例如 1982 年英国的 Cockcroft report 认为那种把数学用之于各种情况的能力 称 之为问题解决 综合以上各种观点 虽然对问题解决的描述不同 形式不一 但是 它们所强调的有 着共同的东西 即问题解决不应该仅仅理解为一种具体教学形式或技能 它应贯穿在整个 教学教育之中 问题解决的教学目的是很明确的 那就是要帮助学生提高解决实际问题能 力 而且问题解决的过程是一个创造性的活动 因而是数学教学中最重要的一种活动 以 下是从文献中对问题解决的六个不同的概念 1 解决教科书中标题文字题 有也叫做练习题 2 解决非常规的问题 3 逻辑问题和游戏 4 构造性问题 5 计算机模拟题 6 现实生活情境题 在问题解决中 相当一部份是实际生活中例子 从构造数学模型 设计求解模型的方 法 再到检验与回顾等整个过程要由学生去发现 去设计 去创新 去完成 这是问题解 5 决与创造性思维密切联系之所在 数学教师应创造更有利于问题解决的条件 在为所有年 级编制出好的问题并传授解决问题的技能 技巧的同时 尽力为学生的创造性思维提供良 好的课堂环境与机会 乃至服务 四 数学问题解决的心理分析 1 从学习心理学看问题解决 从学习心理学角度来看 问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程 所 谓问题解决指的是一系列有目的指向认知操作过程 是以思考为内涵 以问题为目标定向 的心理活动过程 具体来说 问题解决是指人们面临新的问题情境 新课题 发现它与主 客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时 所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程 问题解决是一种带有创造性的高级心理活动 其核心是思考与探索 认知心理学家认为 问题解决有两种基本类型 一是需要产生新的程序的问题解决 属于创造性问题解决 一 是运用已知或现成程序的问题解决 是常规性问题解决 数学中的问题解决一般属于创造 性问题解决 不仅需要构建适当的程序达到问题的目标 而且更侧重于探索达到目标的过 程 问题解决有两种形式的探索途径 试误式和顿悟式 试误式是对头脑中出现的解决问 题的各种途径进行尝试筛选 直至发现问题解决的合理途径 顿悟式是在长期不懈地思考 而又不得其解时 受某种情境或因素的启发 突然发现解决的方法和途径或方式 对中学 生而言 这两种探形式都是问题解决不可缺少策略 2 数学问题解决心理过程 现代学习心理学探究表明 问题分为三种状态 即初始状态 中间状态和目的状态 问题解决就是从问题的初始状态开始 寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程 因此 问题解决实质上是运用已有的知识经验 通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目 的状态的过程 以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决 一般来说 数学问 题解决是在一定的问题情境中开始 所谓问题情境 是指问题的刺激模式 即问题是以甚 么样的形态 方式组成和出现的 其内涵包括三个方面 第一 个体试图达到某一目标 第二 个体与目标之间存在一定的距离 它将引起学生内部的认知矛盾冲突 第三 能激 起个体积极心理状态 即产生思考 探索和达到目标的心向 从而刺激学生积极主动的思 维活动 因此 数学问题解决是从问题情境开始 运用已有的知识经验 克服认知矛盾冲 突 积极主动地寻求和