山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 利用圆周角与圆心角关系解题解析

1 山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 利用圆周角与圆心角关利用圆周角与圆心角关 系解题解析系解题解析 我们知道 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半 即同圆或等圆中圆周角相等 可以得到圆心角也相等 利用圆周角与圆心角的这种关系 我 们求解许多与之相关的问题 现举例说明 例 1 已知 如图 1 O的两条弦AE BC相交于点D 连结AC BE AO BO 若 ACB 60 则下列结论中正确的是 A AOB 60 B ADB 60 C AEB 60 D AEB 30 分析 由于已知的是圆周角的大小 则由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角 都等于该弧所对的圆心角的一半 可以确定圆周角 AEB和圆心角 AOB的大小 于是问题 即可求解 解 因为 ACB 60 所以圆周角 AEB 60 圆心角 AOB 120 故应选C 说明 利用圆周角与圆心角的关系性质解题时一定要注意其前提条件是 在同圆或等 圆中 例 2 如图 2 已知 O是 ABC的外接圆 BAC 50 ABC 47 求 AOB 分析 要求 AOB的大小 只要能求出 C 此时的 C是 ABC的内角 结合已知条 件即可求解 解 因为 O是 ABC的外接圆 所以 CAB ABC C都是圆周角 AOB是圆心角 又因为 BAC 50 ABC 47 所以 C 180 A B 180 50 47 83 由圆周角定理 得 C AOB 所以 AOB 2 C 2 83 166 1 2 说明 求解此类问题时 一定要正确理解圆周角的概念 掌握圆周角定理及其证明的 思路 另外 圆周角定理也可以理解成 一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二 倍 例 3 已知 O的弦AB长等于 O的半径 求此弦AB所对的圆周角的度数 分析 本题虽然给出了明确的已知条件 但由于没有提供图形 所以要分情况求解 解 下面分两种情况 如图 3 所示 连接OA OB 在 O上任取一点C 连接CA CB 因为AB OA OB 所以 AOB 60 所以 ACB AOB 30 即弦AB所对的圆周角等于 30 1 2 图 1 图 2 O C BA 图 3 O C BA 图 4 O D BA 2 如图 4 所示 连接OA OB 在劣弧上任取一点D 连接AD OD BD 则 BAD BOD ABD AOD 所以 BAD ABD BOD AOD AOB 1 2 1 2 1 2 1 2 因为AB的长等于 O的半径 所以 AOB为等边三角形 AOB 60 所以 BAD ABD 30 ADB 180 BAD ABD 150 即弦AB所对的圆周角为 150 说明 分类讨论是研究与圆有关问题的重要思想方法 当给出的问题不够明确时一定 要考虑分情况来解决 以防漏解 下面两道题目供同学们自己练习 1 如图 5 中 BOD的度数是 A 55 B 110 C 125 D 150 2 如图 6 O的直径CD过弦EF的中点G EOD 40 则 DCF等于 A 80 B 50 C 40 D 20 参考答案 1 点拨 要求 BOD的度数 由图形可知 只要能求出的大小 而事实上 A BCD 的大小是由与构成的 此时由已知条件可以分别求出与的大小 A BCD A BC A CD A BC A CD 从而可以求解 即因为 A 25 E 30 所以的大小是 50 的大小是 A BC A CD 60 即的大小是 110 又因为 BOD的度数等于的大小 所以 BOD 110 故 A BCD A BCD 应选B 2 点拨 要求 DCF的大小 而已知条件中只知道一个圆心角 且这个圆心角与要求 的圆周角好象不存在关系 但条件中给出了 O的直径CD过弦EF的中点G 于是 我们可 以利用垂径定理 使问题转换 这样即可求解 即因为 O的直径CD过弦EF的中点G 所 以CD平分 即D是的中点 又因为 EOD 40 所以的大小等于 40