2011届高考数学权威预测 16圆锥曲线的定义、性质和方程（1） 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第十六讲第十六讲 圆锥曲线的定义 性质和方程圆锥曲线的定义 性质和方程 一一 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 已知 AB 为过抛物线y2 2px焦点 F 的弦 则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 B A 相交 B 相切 C 相离 D 与 p 的取值有关 2 江苏理 在平面直角坐标系xOy中 双曲线中心在原点 焦点在y轴上 一条渐近线 方程为x 2y 0 则它的离心率为 A A 5 B 5 2 C 3 D 2 3 点 P a b 是双曲线x2 y2 1 右支上一点 且 P 到渐近线距离为2 则a b B A B C 2 D 2 4 湖南 设 F1 F2分别是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点 若在其右准线上 存在 P 使线段 PF1的中垂线过点 F2 则椭圆离心率的取值范围是 D A 2 0 2 B 3 0 3 C 2 1 2 D 3 1 3 5 湖北理 双曲线 22 1 22 1 00 xy Cab ab 的左准线为l 左焦点和右焦点分别为F1 F2 抛物线C2的准线为l 焦点为 F2 C1与C2的一个交点为M 则 121 12 FFMF MFMF 等于 A A 1 B 1C 1 2 D 1 2 6 全国一 抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 经过F且斜率为3的直线与抛物线 在x轴上方的部分相交于点A AK l 垂足为K 则 AKF的面积是 C A 4 B 3 3 C 4 3 D 8 7 福建理 以双曲线 22 1 916 xy 的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆方程是 A A x2 y2 10 x 9 0B x2 y2 10 x 16 0 C x2 y2 10 x 16 0 D x2 y2 10 x 9 0 8 辽宁 设椭圆 22 1 2516 xy 上一点 P 到左准线的距离为 10 F 是该椭圆的左焦点 若 用心 爱心 专心 2 点 M 满足 1 2 OMOPOF 则 OM 2 高考要考什么高考要考什么 热点透析热点透析 一 圆锥曲线的定义一 圆锥曲线的定义 1 椭圆 到两个定点的距离之和等于定长 定长大于两个定点间的距离 的动点的轨迹 叫做椭圆 即 P PF1 PF2 2a 2a F1F2 2 双曲线 到两个定点的距离的差的绝对值为定值 定值小于两个定点的距离 的动点 轨迹叫做双曲线 即 P PF1 PF2 2a 2a F1F2 3 圆锥曲线的统一定义 到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做 圆锥曲线 当 0 e1 时为双曲线 二 圆锥曲线的方程 二 圆锥曲线的方程 1 椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 或 22 22 1 yx ab a b 0 其中 a2 b2 c2 2 双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 或 22 22 1 yx ab a 0 b 0 其中 c2 a2 b2 3 抛物线 y2 2px p 0 x2 2py p 0 三 圆锥曲线的性质三 圆锥曲线的性质 知识要点 1 椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 1 范围 x a y b 2 顶点 a 0 0 b 3 焦点 c 0 4 离心率 e 0 1 5 准线 2 a x c 2 双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 1 范围 x a y R 2 顶点 a 0 3 焦点 c 0 4 离心率 c e a 1 5 准线 2 a x c 6 渐近线 b yx a 3 抛物线 y2 2px p 0 1 范围 x 0 y R 2 顶点 0 0 3 焦点 2 p 0 4 离心率 e 1 5 准线 x 2 p 主要题型 1 定义及简单几何性质的灵活运用 2 求曲线方程 含指定圆锥曲线方程及轨迹方程 突破重难点突破重难点 例例 1 1 若F1 F2为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的左 右焦点 O为坐标原点 点P在双曲线的 左支上 点M在双曲线的右准线上 且满足 用心 爱心 专心 3 1 1 1 OM OM OF OF OPPMOF 0 则该双曲线的离心率为 A 2B 3C 2D 3 解 由PMOF 1 知四边形F1OMP是平行四边形 又 1 1 OF OF OP OM OM 知OP平分 F1OM 即F1OMP是菱形 设 OF1 c 则 PF1 c 又 PF2 PF1 2a PF2 2a c 由双曲线的第二定义知1 22 ec ca e 且e 1 e 2 故选C 例例 2 2 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验 设计方案如图 航天器运 行 按顺时针方向 的轨迹方程为1 25100 22 yx 变轨 即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物 线 后返回的轨迹是以y轴为对称轴 7 64 0M 为顶点的抛物线的实线部分 降落点为 0 8 D 观测点 0 6 0 4 BA 同时跟踪航天器 1 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程 2 试问 当航天器在x轴上方时 观测点BA 测得离航天器的距离分别为多少时 应向航天器发出变轨指令 解 1 设曲线方程为 7 64 2 axy 由题意可知 7 64 640 a 7 1 a 曲线方程为 7 64 7 1 2 xy 2 设变轨点为 yxC 根据题意可知 2 7 64 7 1 1 1 25100 2 22 xy yx 得 03674 2 yy 4 y或 4 9 y 不合题意 舍去 4 y 得 6 x或6 x 不合题意 舍去 C点的坐标为 4 6 4 52 BCAC 答 当观测点BA 测得BCAC 距离分别为452 时 应向航天器发出指令 例例 3 3 如图 1 已知A B C是长轴为 4 的椭圆上三点 点 A 是长轴的一个顶点 BC 过椭圆中心O 且0ACBC 2BCAC 1 建立适当的坐标系 求椭圆方程 2 如果椭圆上两点P Q使直线CP CQ与x轴围 成底边在x轴上的等腰三角形 是否总存在实数 使PQAB 请给出证明 图 1 用心 爱心 专心 4 解 1 以O为原点 OA所在的直线为x轴建立如 图直角坐标系 则A 2 0 椭圆方程可设为 22 2 1 02 4 xy b b 而O为椭圆中心 由对称性知 OC OB 又0ACBC 所以AC BC 又2BCAC 所以 OC AC 所以 AOC为等腰直角三角形 所以点C坐标为 1 1 将 1 1 代入椭圆方程得 2 4 3 b 则椭圆方程为 22 3 1 44 xy 2 由直线CP CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形 设直线CP的斜率为k 则 直线CQ的斜率为 k 直线CP的方程为y 1 k x 1 直线CQ的方程为y 1 k x 1 由椭 圆方程与直线CP的方程联立 消去y得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0 因为C 1 1 在椭圆上 所以x 1 是方程 的一个根 于是 2 2 361 1 3 P kk x k 同理 2 2 361 1 3 Q kk x k 这样 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 又B 1 1 所以 1 3 AB k 即kAB kPQ 所以PQ AB 存在实数 使PQAB 例例 4 4 如图 直线l1和l2相交于点M l1 l2 点N l1 以A B为端点的曲线段C 上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等 若 AMN为锐角三角形 AM 17 AN 3 且 BN 6 建立适当的坐标系 求曲线C的方程 解法一 如图建立坐标系 以l1为x轴 MN的垂直平分线为y轴 点O 为坐标原点 依题意知 曲线段C是以点N为焦点 以l2为准线的抛线段的一段 其中A B分别为C的端点 设曲线段C的方程为 y2 2px p 0 xA x xB y 0 其中xA xB分别为A B的横坐 标 P MN 所以 M 2 P 0 N 2 P 0 由 AM 17 AN 3 得 xA 2 P 2 2PxA 17 xA 2 P 2 2PxA 9 用心 爱心 专心 5 由 两式联立解得xA P 4 再将其代入 式并由p 0 解得 1 4 A x p 或 2 2 A x p 因为 AMN是锐角三角形 所以 2 P xA 故舍去 2 2 A x p P 4 xA 1 由点B在曲线段C上 得xB BN 2 P 4 综上得曲线段C的方程为y2 8x 1 x 4 y 0 解法二 如图建立坐标系 分别以l1 l2为x y轴 M为坐标 原点 作AE l1 AD l2 BF l2 垂足分别为E D F 设 A xA yA B xB yB N xN