小学数学奥数基础教程(五年级)--30

小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程 五年级五年级 本教程共 30 讲 抽屉原理 二 抽屉原理 二 例例 1 1 把一个长方形画成 3 行 9 列共 27 个小方格 然后用红 蓝铅笔 任意将每个小方格涂上红色或蓝色 是否一定有两列小方格涂色的方式 相同 分析与解分析与解 将 9 列小方格看成 9 件物品 每列小方格不同的涂色方 式看成不同的抽屉 如果涂色方式少于 9 种 那么就可以得到肯定的答 案 涂色方式共有下面 8 种 9 件物品放入 8 个抽屉 必有一个抽屉的物品数不少于 2 件 即一 定有两列小方格涂色的方式相同 例例 2 2 在任意的四个自然数中 是否总能找到两个数 它们的差是 3 的倍数 分析与解分析与解 这道题可以将 4 个自然数看成 4 件物品 可是却没有明 显的抽屉 这就需要根据题目构造合适的抽屉 因为题目要求两个数的差是 3 的倍数 当两个数除以 3 的余数相同 时 这两个数的差一定是 3 的倍数 所以将自然数按除以 3 的余数分类 可以分为整除 余 1 余 2 三类 将这三类看成 3 个抽屉 4 件物品放入 3 个抽屉 必有一个抽屉中至少有 2 件物品 即 4 个自然数中至少有 2 个数除以 3 的余数相同 它们的差是 3 的倍数 所以 任意的四个自然数中 总能找到两个数 它们的差是 3 的倍 数 例例 3 3 从 1 3 5 7 47 49 这 25 个奇数中至少任意取出多少 个数 才能保证有两个数的和是 52 分析与解分析与解 首先要根据题意构造合适的抽屉 在这 25 个奇数中 两 两之和是 52 的有 12 种搭配 3 49 5 47 7 45 9 43 11 41 13 39 15 37 17 35 19 33 21 31 23 29 25 27 将这 12 种搭配看成 12 个抽屉 每个抽屉中有两个数 还剩下一个 数 1 单独作为一个抽屉 这样就把 25 个奇数分别放在 13 个抽屉中了 因为一共有 13 个抽屉 所以任意取出 14 个数 无论怎样取 至少有一 个抽屉被取出 2 个数 这两个数的和是 52 所以本题的答案是取出 14 个数 例例 4 4 在下图所示的 8 行 8 列的方格表中 每个空格分别填上 1 2 3 这三个数字中的任一个 使得每行 每列及两条对角线上的各 个数字的和互不相等 能不能做到 分析与解分析与解 在 8 行 8 列的方格表中 8 行有 8 个和 8 列也有 8 个和 2 条对角线有 2 个和 所以一共有 8 8 2 18 个 和 因为题目问的是 这 18 个和能否互不相等 所以这 18 个和是物品 而和的不同数值是抽 屉 按题目要求 每个和都是由 1 2 3 三个数中任意选 8 个相加而得 到的 这些和中最小的是 8 个都是 1 的数相加 和是 8 最大的是 8 个 都是 3 的数相加 和是 24 在 8 至 24 之间 不同的和只有 24 8 1 17 个 将这 17 个不同的和的数值作为抽屉 把各行 列 对角线 的 18 个和作为物品 把 18 件物品放入 17 个抽屉 至少有一个抽屉中的 物品数不少于 2 件 也就是说 这 18 个和不可能互不相等 例例 5 5 用 1 2 3 4 这 4 个数字任意写出一个 10000 位数 从这个 10000 位数中任意截取相邻的 4 个数字 可以组成许许多多的四位数 这些四位数中至少有多少个是相同的 分析与解分析与解 猛一看 谁是物品 谁是抽屉 都不清楚 因为问题是 求相邻的 4 个数字组成的四位数有多少个是相同的 所以物品应是截取 出的所有四位数 而将不同的四位数作为抽屉 在 10000 位数中 共能截取出相邻的四位数 10000 3 9997 个 即物品数是 9997 个 用 1 2 3 4 这四种数字可以组成的不同四位数 根据乘法原理有 4 4 4 4 256 种 这就是说有 256 个抽屉 9997 256 39 13 所以这些四位数中 至少有 40 个是相同的 练习练习 3030 1 红光小学每周星期一 三 五 六各举办一种课外活动 问 至 少要有多少学生报名参加 才能保证其中至少有 3 位学生所参加的课外 活动完全一样 2 任意取多少个自然数 才能保证至少有两个数的差是 7 的倍数 3 在前 10 个自然数中 至少取多少个数 才能保证其中有两个数的 和是 10 4 右图是一个 5 行 5 列的方格表 能否在每个方格中分别填上 1 2 3 中的一个数 使得每行 每列及两条对角线上的五个方格中的 数字之和互不相同 5 要把 85 个球放入若干个盒子中 每个盒子中最多放 7 个 问 至 少有几个盒子中放球的数目相同 6 至少取出多少个真分数 才可以保证其中必有两个真分数之差小 于 练习练习 3030 1 31 名 提示 只参加一次活动的有 4 种选择 参加两次活动的有下面 6 种选择 星期一 三 星期一 五 星期一 六 星期三 五 星期三 六 星期五 六 参加三次活动的有下面 4 种选择 星期一 三 五 星期一 三 六 星期一 五 六 星期三 五 六 参加四次活动的有 1 种选择 共有 4 6 4 1 15 种 选择 2 8 提示 与例 2 类似 按除以 7 的余数将自然数分为 7 类 3 7 提示 与例 3 类似 分下面 6 个抽屉 1 9 2 8 3 7