2011届高三数学一轮复习 空间中的垂直关系巩固与练习

用心 爱心 专心1 巩固巩固 1 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面 连结 PB PC PD AC BD 则下列垂直关系正确的是 面PAB 面PBC 面PAB 面PAD 面PAB 面PCD 面PAB 面PAC A B C D 解析 选 A 易证BC 平面PAB 则平面PAB 平面PBC 又AD BC 故AD 平面PAB 则平面PAD 平面PAB 因此选 A 2 设a b c表示三条直线 表示两个平面 则下列命题的逆命题不成立的 是 A c 若c 则 B b c 若c 则b c C b 若b 则 D b c是a在 内的射影 若b c 则b a 解析 选 C C 选项的逆命题为b 若 则b 不正确 因为根据平面垂直 的性质定理 如果两个平面垂直 其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个 平面 故选 C 3 若l m n是互不相同的空间直线 是不重合的平面 则下列命题中为真 命题的是 A 若 l n 则l n B 若 l 则l C 若l n m n 则l m D 若l l 则 解析 选 D 选项 A 中 l除平行n外 还有异面的位置关系 则 A 不正确 选项 B 中 l与 的位置关系有相交 平行 在 内三种 则 B 不正确 选项 C 中 l与m的位置关 系还有相交和异面 故 C 不正确 故选 D 4 已知a b是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出下列 四个命题 若a a 则 若 则 若 a b 则a b 若 a b 则a b 其中正确命题的序号有 解析 垂直于同一直线的两平面平行 正确 也成立 错 a b也可异面 错 由面面平行性质知 a b 正确 答案 5 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面 用心 爱心 专心2 ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的一动点 当点M满足 时 平面MBD 平 面PCD 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 由定理可知 BD PC 当DM PC 或BM PC 时 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 平面MBD 平面PCD 答案 DM PC 或BM PC等 6 如图 在四面体ABCD中 CB CD AD BD 点E F分别是AB BD的中点 求证 1 直线EF 平面ACD 2 平面EFC 平面BCD 证明 1 在 ABD中 因为E F分别是AB BD的中点 所以EF AD 又AD 平面ACD EF 平面ACD 所以直线EF 平面ACD 2 在 ABD中 因为AD BD EF AD 所以EF BD 在 BCD中 因为CD CB F为BD的中点 所以CF BD 因为EF 平面EFC CF 平面EFC EF与CF交于点F 所以BD 平面EFC 又因为BD 平面BCD 所以平面EFC 平面BCD 练习 1 若m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 则下列命题中为真命 题的是 A 若m 则m B 若 m n m n 则 C 若 则 D 若m m 则 解析 选 D 对于选项 D 若m 则过直线m的平面与平面 相交得交线n 由线 面平行的性质定理可得m n 又m 故n 且n 故由面面垂直的判定定理可 得 2 设a b是不同的直线 是不同的平面 则下列四个命题中正确的是 A 若a b a 则b B 若a 则a C 若a 则a D 若a b a b 则 解析 选 D A 中 b可能在 内 B 中 a可能在 内 也可能与 平行或相交 不垂直 C 中 a可能在 内 D 中 a b a 则b 或b 又b 3 如图 在斜三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 A 直线AB上 B 直线BC上 C 直线AC上 D ABC内部 解析 选 A BA AC BC1 AC BA BC1 B AC 平面ABC1 用心 爱心 专心3 AC 平面ABC 平面ABC 平面ABC1 且交线是AB 故平面ABC1上一点C1在底面 ABC的射影H必在交线AB上 4 如图 已知 ABC 为直角三角形 其中 ACB 90 M 为 AB 中点 PM 垂直于 ABC 所在平面 那么 A PA PB PC B PA PB PC C PA PB PC D PA PB PC 解析 选 C M是 Rt ABC斜边AB的中点 MA MB MC 又 PM 平面ABC MA MB MC分别是PA PB PC在平面ABC上的射 影 PA PB PC 应选 C 5 在二面角 l 的两个面 内 分别有直线a b 它们与棱l都不垂直 则 A 当该二面角是直二面角时 可能a b 也可能a b B 当该二面角是直二面角时 可能a b 但不可能a b C 当该二面角不是直二面角时 可能a b 但不可能a b D 当该二面角不是直二面角时 不可能a b 也不可能a b 解析 选 B 当该二面角为直二面角时 如图 若a b b与l不垂直 在b上取点 A 过A作AB l AB b A 由Error Error a a l 这和a与l不垂直相矛盾 不可能a b 故 A 错误 B 正确 6 在正四面体P ABC中 D E F分别是AB BC CA的 中点 下面四个结论中不成立的是 A BC 平面PDF B DF 平面PAE C 平面PDF 平面ABC D 平面PAE 平面ABC 解析 选 C 如图 BC DF BC 平面 PDF A 正确 由题设知 BC PE BC AE BC 平面 PAE DF 平面 PAE B 正确 平面 ABC 平面 PAE BC 平面 PAE D 正确 7 已知m n是直线 是平面 给出下列命题 则 若n n 则 若n m 且n m 则 若m n为异面直线 n n m m 则 则其中正确的命题是 把你认为正确的命题序号 都填上 解析 依题意可构造正方体 ABCD A1B1C1D1 如图所示 在正方体中逐一判断各命题易得正确的命题是 答案 用心 爱心 专心4 8 在正四棱锥P ABCD中 PA AB M是BC的中点 G是 PAD的重心 则在平面 3 2 PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 条 解析 设正四棱锥的底面边长为a 则侧棱长为a 3 2 由PM BC PM a f r 3 2 a 2 f a 2 2 2 2 连结PG并延长与AD相交于N点 则PN a MN AB a 2 2 PM2 PN2 MN2 PM PN 又PM AD PM 面PAD 在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直 答案 无数 9 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 1 过 A 点 作平面 A1BD 的垂线 垂足为点 H 有下列三个命题 点 H 是 A1BD 的中心 AH 垂直于平面 CB1D1 AC1与 B1C 所成的角是 90 其中正确命题的序号是 解析 由于 ABCD A1B1C1D1是正方体 所以 A A1BD 是一 个正三棱锥 因此 A 点在平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心 故 正确 又因为 平面 CB1D1与平面 A1BD 平行 所以 AH 平面 CB1D1 故 正确 从而可得 AC1 平面 CB1D1 即 AC1与 B1C 垂直 所成的角等于 90 答案 10 2010 年南京模拟 如图 已知矩形 ABCD 中 AB 10 BC 6 沿矩形的对角线 BD 把 ABD 折起 使 A 移到 A1点 且 A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上 求证 1 BC A1D 2 平面 A1BC 平面 A1BD 证明 1 由于A1在平面BCD上的射影O在CD上 则A1O 平面BCD 又BC 平面BCD 则BC A1O 又BC CO A1O CO O 则BC 平面A1CD 又A1D 平面A1CD 故BC A1D 2 因为ABCD为矩形 所以A1B A1D 由 1 知BC A1D A1B BC B 则A1D 平面A1BC 又 A1D 平面A1BD 从而有平面A1BC 平面A1BD 11 如图所示 ABC 是正三角形 AE 和 CD 都垂直于平面 ABC 且 AE AB 2a CD a F 是 BE 的中点 用心 爱心 专心5 1 求证 DF 平面 ABC 2 求证 AF BD 证明 1 取AB的中点G 连结FG 可得FG AE FG AE 1 2 又CD 平面ABC AE 平面ABC CD AE CD AE 1 2 FG CD FG CD FG 平面ABC 四边形CDFG是矩形 DF CG CG 平面ABC DF 平面ABC DF 平面ABC 2 Rt ABE中 AE 2a AB 2a F为BE中点 AF BE ABC是正三角形 CG AB DF AB 又DF FG DF 平面ABE DF AF AF 平面BDF AF BD 12 如图所示 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 DB BC DB AC 点 M 是棱 BB1上一点 1 求证 B1D1 面 A1BD 2 求证 MD AC 3 试确定点 M 的位置 使得平面 DMC1 平面 CC1D1D 解 1 证明 由直四棱柱 得BB1 DD1且BB1 DD1 所以 BB1D1D是平行四边形 所以B1D1 BD 而BD 平面A1BD B1D1 平面A1BD 所以B1D1 平面A1BD 2 证明 因为BB1 面ABCD AC 面ABCD 所以 BB1 AC 又因为BD AC 且BD BB1 B 所以AC 面BB1D 而MD 面BB1D 所以MD AC 3 当点M为棱BB1的中点时 平面DMC1 平面