全国各地名校2013年中考数学5月试卷分类汇编 解直角三角形的应用

1 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 一 选择题 1 2013 浙江省宁波模拟题浙江省宁波模拟题 如图 某游乐场一山顶滑梯的高为h 滑梯的坡角为 那么滑梯长l为 h 第 9 题图 l a A B C D h sin h sina h tana h cosa 答案 A 2 2013 年江苏南京一模 由直角三角形中的已知元素 求出所有未知元素的过程 叫做 解直角三角形 已知一个直角三角形中 两条边的长度 两个锐角的度数 一个锐 角的度数和一条边的长度 利用上述条件中的一个 能解这个直角三角形的是 A B C D 答案 B 3 2013 年安徽凤阳模拟题三 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 点P处放一水平的平面镜 光线从点A出发经平面镜反 射后刚好射到古城墙CD的顶端C处 已知 AB BD CD BD 且测得AB 1 2 米 BP 1 8 米 PD 12 米 那么该古城墙的高度是 A 6 米 B 8 米 C 18 米 D 24 米 答案 B 4 2013 年湖北荆州模拟 5 如图 在平地上种植树木时 要求株距 相邻两树间的水平距 离 为 4m 如果在坡度为 0 75 的山坡上种树 也要求株距为 4m 那么相邻两树间的坡 面距离为 A 5m B 6m C 7m D 8m 答案 A 5 2013 浙江台州二模 8 如图 四边形 OABC 是边长为 1 的正方形 OC 与 x 轴 正半轴的夹角为 15 点 B 在抛物线 0 2 aaxy 的图像上 则a的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 2 1 答案 B A BP D 第 6 题图 C C 第 1 题 2 二 填空题 1 2013 年上海长宁区二模 如图 某超市的自动扶梯长度为 13 米 该自动扶梯到达的 最大高度是 5 米 设自动扶梯与地面所成的角为 则tan 答案 12 5 2 20132013 浙江东阳吴宇模拟题 浙江东阳吴宇模拟题 如图 一架梯子斜靠在墙上 若梯子到墙的距离 AC 3 米 3 cos 4 BAC 则梯子AB的长度为 米 答案 4 3 如图 在半径为 5 的 O中 弦AB 6 点C是优弧AAB上一点 不与A B重合 则 cosC的值为 4 5 4 2013 年广东省中山市一模 如图 小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高 已知小聪和树都与地面垂直 且相距3 3米 小聪身高AB为 1 7 米 则这棵树的高度 米 A B C 3 A B C D E 答案 4 7 5 2013 山东德州特长展示 如图 在平面直角坐标系中 AOB 30 点A坐标为 2 0 过A作 AA1 OB 垂足为点A1 过点A1作A1A2 x轴 垂足为点A2 再过 点A2作A2A3 OB 垂足为点A3 再过点A3作A3A4 x轴 垂足为点A4 这样一 直作下去 则A2013的纵坐标为 2013 3 2 三 解答题 1 2013 届金台区第一次检测 随着人们经济收入的不断提高 汽车已越来越多地进入 到各个家庭 某大型超市为缓解停车难问题 建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示 意图 按规定 停车场坡道口上坡要张贴限高标志 以便告知车辆能否安全驶入 如 图 地面所在的直线 ME 与楼顶所在的直线 AC 是平行的 CD 的厚度为 0 5m 求出汽车 通过坡道口的限高DF的长 结果精确到 0 1m sin28 0 47 cos28 0 88 tan28 0 53 B F C A E M D 9m 0 5m 28 答案 解 AC ME CAB AEM 1 分 在 Rt ABC 中 CAB 28 AC 9m BC ACtan28 9 0 53 4 77m 3 分 BD BC CD 4 77 0 5 4 27m 4 分 x y OA 1 A 3 A 4 A 2 A B 第 1 题图 O 3 x 2 y 4 在 Rt BDF 中 BDF FBD 90 在 Rt ABC 中 CAB FBC 90 BDF CAB 28 6 分 DF BDcos28 4 27 0 88 3 7576 3 8 m 7 分 答 坡道口的限高DF的长是 3 8m 8 分 2 2013 盐城市景山中学模拟题盐城市景山中学模拟题 本题满分 10 分 为保卫祖国的南疆 我人民解放军 海军在中业岛 P地 处设立观测站 按国际惯例 中业岛 12 海里范围内均为我国领海 外 国船只除特许外 不得私自进入我国领海 某日 观测员发现某国船只行驶至P地南偏西 30 的A处 欲向正东方向航行至P地南偏东 60 的B处 已知A B两地相距 10 3海里问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告 命令其不得进入我国领海 答案 作PH AB于H 求出PH 15 3 1 15 0 8 12 3 2013 沈阳一模 8 分 如图 放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为 40cm 灯罩BC长为 30cm 底座厚度为 2cm 灯臂与底座构成的 BAD 60 使用发现 光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为 30 此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是 多少cm 结果精确到 0 1cm 参考数据 1 732 3 E 60 30 A B C D 答案 过点B作BF CD于F 作BG AD于G 5 F G D C B A 30 60 E 在Rt BCF中 CBF 30 CF BC sin30 30 15 1 2 在Rt ABG中 BAG 60 BG AB sin60 40 20 3 CE CF FD DE 15 20 2 17 20 51 64 51 6 cm cm 33 答 此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是 51 6cm 4 2013 年江苏南京一模 8 分 如图 小敏 小亮从A B两地观测空中C处一个气球 分别测得仰角为 30 和 60 A B两地相距 100 m 当气球沿与BA平行地飘移 10 秒 后到达C 处时 在A处测得气球的仰角为 45 1 求气球的高度 结果精确到 0 1 2 求气球飘移的平均速度 结果保留 3 个有效数字 答案 解 1 作 CD AB C E AB 垂足分别为 D E 1 分 CD BD tan60 2 分 CD 100 BD tan30 3 分 100 BD tan30 BD tan60 4 分 BD 50 CD 50 86 6 m 气球的高度约为 86 6 m 5 分 2 BD 50 AB 100 AD 150 又 AE C E 50 DE 150 50 63 40 7 分 气球飘移的平均速度约为 6 34 米 秒 8 分 5 2013 年江苏南京一模 7 分 如图 斜坡AC的坡度为3 1 AC 10 米 坡顶有一 旗杆 BC 旗杆顶端点B与点A有一条彩带AB相连 测得 BAD 56 试 求旗杆BC的高度 精确到 1 米 1 7 sin56 0 8 cos56 0 6 tan56 3 1 5 答案 本题 7 分 解 延长BC交AD于点E 则 AEB 90 第 1 题图 6 在 Rt ACE中 tan CAE CAE 30 CE 5 AE 5 3 在 Rt ABE中 tan BAE BE AE BE AE tan BAE 5 1 5 13 3 BC BE CE 8 答 旗杆BC的高约为 8 米 6 2013 年江苏南京一模 10 分 小明设计了一个 简易量角器 如图 在 ABC中 C 90 A 30 CA 30 cm 在AB边上有一系列点P1 P2 P3 P8 使得 P1CA 10 P2CA 20 P3CA 30 P8CA 80 1 求P3A的长 结果保留根号 2 求P5A的长 结果精确到 1 cm 参考数据 sin50 0 77 cos50 0 64 tan50 1 20 1 7 3 3 小明发现P1 P2 P3 P8这些点中 相邻两点距离都不相同 于是计划用含 45 的直角三角形重新制作 简易量角器 结果会怎样呢 请你帮他继续探究 答案 本题 10 分 解 1 连接P3C P3CA A P3C P3A 又 P3CB BCA P3CA 60 且 B BCA A 60 P3CB B P3C P3B P3A P3B AB 1 2 在 Rt ABC中 cos A AC AB AB 20 cm AC cos A3 P3A AB 10 cm 3 分 1 23 2 连接P5C 作P5D CA 垂足为D 由题意得 P5CA 50 设CD x cm AC B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 第 3 题 AC B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 D 7 在 Rt P5DC中 tan P5CD P5D CD tan P5CD 1 2x P5D CD 在 Rt P5DA中 tan A DA 1 2x P5D DA P5D tan A3 CA 30 cm CD DA 30 cm x 1 2x 30 x 3 在 Rt P5DA中 sin A P5A 2 4x P5D P5A P5D sin A P5A 2 4 24 cm 7 分 3 如图 在 ABC中 C 90 A 45 当P1 P2 P3 P8在斜边上时 B 90 A 45 B A AC BC 在 P1CA和 P8CB中 P1CA P8CB AC BC A B P1CA P8CB P1A P8B 同理可得P2A P7B P3A P6B P4A P5B 则P1P2 P8P7 P2P3 P7P6 P3P4 P6P5 在P1 P2 P3 P8这些点中 有三对相邻点距离相等 回答 当P1 P2 P3 P8在直角边上时 P1 P2 P3 P8这些点中 相邻两 点距离都不同相 得 1 分 根据等腰三角形轴对称性直接得出结论 得 2 分 10 分 7 如图 A B C是三座城市 A市在B市的正西方向 C市在A市北偏东 60 的方向 在B市北偏东 30 的方向 这三座城市之间有高速公路l1 l2 l3相互贯通 小丁驾 车从A市出发 以平均每小时 80 公里的速度沿高速公路l2向C市驶去 3 小时后小丁 到达了C市 1 求C市到高速公路l1的最短距离 2 如果小丁以相同的速度从C市沿C B A的路线从高速公路返回A市 那么经过多长 时间后 他能回到A市 结果精确到 0 1 小时 732 1 3 A B P8 P7 P2 P1 C P6 P5 P4 P3 北 东 AB l1 l3 60 30 l2 C 8 北 东 AB l1 l3 60 30 l2 C D 1 解 过点C作CD l1于点D 1 分 则由已知得AC 3 80 240 km CAD 30 CD 2 1 AC 2 1 240 120 km C市到高速公路l1的最短距离是 120km 4 分 2 解 由已知得 CBD 60 在 Rt CBD中 sin CBD BC CD BC 380 60sin 120 sin CBD CD 6 分 ACB CBD CAB 60 30 30 ACB CAB 30 AB BC 380 8 分 t 5 3732 1 232 80 380380 80 BCAB 答 经过约 3 5 小时后 小丁能回到A市 8 2013 河南南阳市模拟 10 分 校车安全是近几年社会关注的重大问题 安全隐患主 要是超速和超载 某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验 先 在公路旁边选取一点 C 再在笔直的车道 l 上确定点 D 使 CD 与 l 垂直 测得 CD 的长等于 21 米 在 l 上点 D 的同侧取点 A B 使 CBD 60 1 求 AB 的长 精确到 0 1 米 参考数据 1 73 1 41 2 已知本路段对校车限速为 40 千米 小时 若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒 这辆校 车是否超速 说明理由 第 21 题图 答案 解 1 由題意得 9 19 题 在 Rt ADC 中 AD 36 33 2 分 在 Rt BDC 中 BD 12 11 4 分 则 AB AD BD 36 33 12 11 24 22 24 2 米 6 分 2 汽车从 A 到 B 用时 2 秒 速度为 24 2 2 12 1 米 秒 12 1 3600 43560 该车速度为 43 56 千米 小时 9 分 大于 40 千米 小时 此校车在 AB 路段超速 10 分 9 9 2013 云南勐捧中学二模 本小题 本小题 7 7 分 分 如图 已知某小区的两幢 10 层住宅楼间的 距离为 AC 30 m 由地面向上依次为第 1 层 第 2 层 第 10 层 每层高度为 3 m 假 设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长 EC h 太阳光线与水平线的夹角为 1 用含 的式子表示 h 不必指出 的取值范围 2 当 30 时 甲楼楼顶 B 点的影子落在乙楼的第几层 若 每小时增加 15 从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 1 过点 E 作 EF AB 于 F 由题意 四边形 ACEF 为矩形 EF AC 30 AF CE h BEF BF 3 10 h 30 h 又 在 Rt BEF 中 tan BEF BF EF tan 30 30 h 即 30 h 30tan h 30 30tan 2 当 30 时 h 30 30tan30 30 30 3 3 12 7 12 7 3 4 2 B 点的影子落在乙楼的第五层 当 B 点的影子落在 C 处时 甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 此时 由 AB AC 30 知 ABC 是等腰直角三角形 ACB 45 1 小时 45 30 15 故经过 1 小时后 甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 10 2013 云南勐捧中学三模 本小题本小题 7 7 分分 如图 某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古 塔 BD 的高度 他们先在 A 处测得古塔顶端点 D 的仰角 为 45 再沿着 BA 的方向后退 20m 至 C 处 测得古 塔顶端点 D 的仰角为 30 求该古塔 BD 的高度 31 732 结果保留一位小数 10 答案 解 根据题意可知 BAD 45 BCD 30 AC 20m 在 Rt ABD 中 由 BAD BDA 45 得 AB BD 在 Rt BDC 中 由 tan BCD BD BC 得3BCBD 又 BC AB AC 20 27 3 31 BDm 320BDBD 答 略 11 2013 年安徽模拟 二 如图 从热气球C上测得两建筑物A B底部的俯角分别 为 30 和60 如果这时气球的高度CD为 90 米 且点A D B在同一直线上 求建筑物A B间的距离 解 在Rt CAD 中 0 30 90ACDm 0 3 9090 3 tan303 CD ADm 在Rt CBD 中 0 60 90BCDm 0 90 30 3 tan603 CD BDm 90 330 3120 3ABADBDm 即A B建筑物之间的距离为120 3m 12 2013 年安徽凤阳模拟题二 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示 箱体长 AB 50cm 拉杆最大伸长距离BC 30cm 点A到地面的距离AD 8cm 旅行箱与水平面AE 成 60 角 求拉杆把手处C到地面的距离 精确到 1cm 参考数据 31 73 解 过点C作CM DF于点M 交AE于点N AB C D EF 60 E 30 E 第 1 题图 60 F E B A C D 11 第 1 题图 易证CN AE 四边形ADMN是矩形 MN AD 8cm 在Rt CAN中 CAN 60 CNCA sin60 50 30 3 2 40 3 40 3877CMCNMN cm 答 拉杆把手处C到地面的距离约 77cm 13 2013 年北京房山区一模 一副直角三角板如图放 置 点C在FD的延长线上 AB CF F ACB 90 E 45 A 60 AC 10 试求CD的长 答案 解 过点B作BM FD于点M 1 分 在 ACB中 ACB 90 A 60 AC 10 ABC 30 BC AC tan60 103 2 分 AB CF BCM 30 1 sin3010 35 3 2 BMBC 3 分 3 cos3010 315 2 CMBC 4 分 在 EFD中 F 90 E 45 EDF 45 5 3MDBM 155 3CDCMMD 5 分 14 2013 年北京顺义区一模 已知 如图 四边形ABCD中 对角线AC BD相交于点E BDDC 45ABD 30ACD 2 3ADCD 求AC和BD的长 答案 BDDC 90BDC D C B A E 第 2 题图 12 30ACD 2 3ADCD 60 30 DECDACACD 3 tan302 32 3 DECD 24ECDE 30ADE 1 分 2AEDE 2 分 246ACAEEC 3 分 过点A作AMBD 垂足为M 60AEBDEC 3 sin6023 2 AMAE 1 cos6021 2 MEAE 4 分 45ABD 3BMAM 31233BDBMMEDE 5 分 15 2013 年安徽省模拟六 金陵中学的同学们到灵谷寺开展社会实践活动 他们通过测量 计算出灵谷塔的高度 他们在C点测得塔顶A的仰角是点的仰角是 450 向着塔的方向走了 28m到达D点后 测得A点的仰角是 600 请你帮他们求出灵谷塔的高度 结果 保留整数 答案 解 设AB xm 在 ABC中 ABC 900 AB tanCtan BC BCABx m 3 分 在 ABD中 ABD 900 AB tanADBtan BD x BDABx m 6 分 第 1 题图 13 CD BD BC xx 解之 得 x m 9 分 答 灵谷塔的高度约是 66m 10 分 16 2013 年安徽省模拟七 周末 身高都为 1 6 米的蚌蚌 艳艳来到张公山公园 准备用 他们所学的知识测算望淮塔的高度 如图 蚌蚌站在A处测得他看塔顶的仰角 为 45 艳艳站在B处 A B与塔的轴心共线 测得她看塔顶的仰角 为 30 他们又 测出A B两点的距离为 30 米 假设他们的眼睛离头顶都为 10cm 求望淮塔的高度 结果精确到 0 01 参考数据 21 414 31 732 第 2 题图 答案 20 解 设塔高为x米 则得 1 60 13 tan30 1 60 1 303 x x 6 分 解得 42 48x 9 分 答 望淮塔的高度约为 42 48 米 10 分 17 2013 年安徽省模拟八 如图 我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南向 北正以每小时 10 海里的速度逃跑 我缉私艇迅速朝A的西偏北 600的方向出水拦截 2 小时后终于在B地正北方向M处拦截住 试求缉私船的速度 参考数据 31 73 21 41 答案 B M A 北 东 14 1818 2013 年湖北荆州模拟 6 本题满分 9 分 一天 数学课外活动小组的同学们 带着 皮尺和测角仪等工具去测量某河道因挖沙形成的 圆锥形坑 的深度 来评估这些坑道对 河道的影响 如图是同学们选择 确保测量过程中无安全隐患 的测量对象 测量方案如 下 先在沙坑坑沿上取点D E 测得 D 32 AE 5 5 米 甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上 经过适当调整自己所处的位置 当他位于 B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S 甲同学的视线起点C与点A 点 S三点共线 经测量 AB 1 2 米 BC 1 6 米 根据以上测量数据 求圆锥形坑的深度 圆锥的高 参考数据 sin32 0 53 cos32 0 85 tan32 0 62 取 3 14 结 果精确到 0 1 米 答案 过A作直径AF 连结FE 则 F D 32 且 FEA 90 在 FEA中 sin F AE AF AF 0 5 5 10 4 sinsin32 AE F OA 5 2 连结OS AS BC OS OSA BCA BCAB OSOA 即 1 6 1 25 2 OS OS 6 9 米 19 2013 年广州省惠州市模拟 某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度 如 图 在距主塔从 AE60 米的 D 处 用仪器测得主塔顶部 A 的仰角为 68 已知测量仪器的 高 CD 1 3 米 求主塔 AE 的高度 结果精确到 0 1 米 参考数据 sin68 0 93 cos68 0 37 tan68 2 48 第 3 题图 15 解 根据题意得 在 Rt ABC 中 AB BC tan68 60 2 48 148 8 米 3 3 分 分 CD 1 3 米 BE 1 3 米 AE AB BE 148 8 1 3 150 1 米 6 6 分 分 主塔 AE 的高度为 150 1 米 7 7 分 分 20 2013 年惠州市惠城区模拟 泗州塔 又名西山塔 位于惠州西湖的西上之巅 是惠州 著名的旅游景点之一 小明运用所学的数学知识对塔进行测量 测量方法如图所示 在 塔的前方C点处 用长为 1 5 米 即CE 1 5 米 的测角仪测得塔顶A的仰角为 30 往前走 26 米到达D点 在D点处测得塔顶A的仰角为 45 请你用上述数据 帮助小 明求出塔AB的高度 结果保留 1 位小数 参考数据 87 0 30cos 58 0 30tan 71 0 45sin 解 设AH为x米 得 16 米 解得 中 在 中 在 4 37 905 35 26 30tan 26 30 45 BHAHAB x x x xEHAEHAHERt xAHFH AFHAHFRt 4 分 答 塔高AB为 37 4 米 8 分 21 2013 北仑区一模 24 本题 12 分 如图 防洪大堤的横断面是梯形 背水坡AB的坡 比1 3i 指坡面的铅直高度与水平宽度的比 且AB 20 m 身高为 1 7 m的小 明站在大堤A点 测得高压电线杆端点D的仰角为 30 已知地面CB宽 30 m 求高 压电线杆CD的高度 结果保留三个有效数字 3 1 732 答案 解 设大堤的高度 h 以及点 A 到点 B 的水平距离 a 3 3 坡 AB 与水平的角度为 30 2 分 即得 h 10m 4 分 30 2 即得 a 6 分 30 3 2 10 3 MN BC a 30 10 m 8 分 3 测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30 9 30 分 解得 DN 10 10 27 32 m 10 分 3 CD DN AM h 27 32 1 7 10 39 02 39 0 m 11 分 答 髙压电线杆 CD 的髙度约为 39 0 米 12 分 22 2013 浙江台州二模 20 在数学活动课上 九年级 11 班数学兴趣小组的同学们 测量校园内一棵大树的高度 设计的方案及测量数据如下 1 在大树前的平地上选择一点A 测得由点 A 看大树顶端C的仰角为 35 2 在点A和大树之间选择一点B A B D在同一直线上 测得由点B看大树顶 C N M B D A 第 24 题图 17 ABCD 端C的仰角恰好为 45 3 量出A B两点间的距离为 4 5 米 请你根据以上数据求出大树CD的高度 可能用到的参考 数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 答案 解 在ACDRt 中 0 35tan CD AD 2 2 分分 在BCDRt 中 0 45tan CD BD 2 2 分分 而5 4 BDAD 即5 4 45tan35tan 00 CDCD 1 1 分分 解得 5 10 CD 2 2 分分 答 大树的高为 CD 为 10 5 米 1 1 分分 23 2013 郑州外国语预测卷 如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图 已 知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面O 的圆心O 支架CD与水平 面AE垂直 150AB 厘米 30BAC 另一根辅助支架76DE 厘米 60CED 1 求垂直支架CD的长度 结果保留根号 2 求水箱半径OD的长度 结果保留三个有效数字 参考数据 21 4131 73 O D B A C A E A 答案 解 1 在RtCDE 中 6076cmCEDDE sin6038 3cmCDDE 2 设cmODOBx 在RtAOC 中 30A 2OAOC 即 150238 3xx 解得15076 3x 18 5 水箱半径OD的长度为 18 5cm 24 2013 江西饶鹰中考模拟 如图是跷跷板示意图 横板AB绕中点O上下转动 立柱 OC与地面垂直 跷跷板AB的一端B碰到地面时 AB与地面的夹角为 15 且AB 6m 18 1 求此时另一端A离地面的距离 精确到 0 1m 2 若跷动AB 使端点A碰到地面 求点A运动路线的长 参考数据 sin15 0 26 cos15 0 97 tan15 0 27 答案 解 1 过点A作BCAD 交 的延长线于 则 mABC6 126 0 6sin 所以 到地面的距离约为 1 6 2 由题可知 碰到地面时 转过的角度为 30 m3 2 1 ABAOABO的中点是 所以点 运动的路线长为 m 2180 330 25 2013 辽宁葫芦岛一模 如图 ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的 示意图 为增强体质 他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB BC CA跑步 小路的宽度不 计 观测得到点B在点A的南偏东 30 方向上 点C在点A的南偏东 60 的方向上 点 B在点C的北偏西 75 方向上 AC间距离为 400 米 问小金沿三角形绿化区的周边小路跑 一圈共跑了多少米 参考数据 21 41431 732 解 延长AB至D点 作CD AD于D 根据题意得 BAC 30 BCA 15 DBC DCB 45 2 分 在Rt ADC中 AC 400 米 BAC 30 CD BD 200 米 4 分 BC 2002米 AD 2003米 A B C 北 19 AB AD BD 2003 200 米 7 分 三角形ABC的周长为 400 2002 2003 200 829 米 小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了 829 米 9 分 26 2013 山东德州特长展示 本题满分 10 分 如图 在 ABC中 以AB为直径的 O分别交AC BC于点D E 点F在AC的延长线上 且AC CF CBF CFB 1 求证 直线BF是 O的切线 2 若点D 点E分别是弧AB的三等分点 当AD 5 时 求BF的长 1 证明 CBF CFB CB CF 又 AC CF CB 2 1 AF ABF是直角三角形 ABF 90 3 分 直线BF是 O的切线 4 分 2 解 连接DO EO 5 分 点D 点E分别是弧AB的三等分点 AOD 60 又 OA OD AOD是等边三角形 OAD 60 OA AD 5 7 分 B A O D E C F 20 又 ABF 90 AB 2OA 10 BF 103 10 分 27 2013 山东德州特长展示 本小题满分 12 分 已知 如图 在Rt ABC中 ACB 90 BC 3 tan BAC 4 3 将 ABC对折 使 点C的对应点H恰好落在直线AB上 折痕交AC于点O 以点O为坐标原点 AC所在直线 为x轴建立平面直角坐标系 1 求过A B O三点的抛物线解析式 2 若在线段AB上有一动点P 过P点作x轴的垂线 交抛物线于M 设PM的长度等 于d 试探究d有无最大值 如果有 请求出最大值 如果没有 请说明理由 3 若在抛物线上有一点E 在对称轴上有一点F 且以O A E F为顶点的四边形 为平行四边形 试求出点E的坐标 解 1 在Rt ABC 中 BC 3 tan BAC 4 3 AC 4 AB 543 2222 ACBC 设OC m 连接OH 如图 由对称性知 OH OC m BH BC 3 BHO BCO 90 AH AB BH 2 OA 4 m 在Rt AOH 中 OH2 AH2 OA2 即m2 22 4 m 2 得 m 2 3 OC 2 3 OA AC OC 2 5 B AC O H x y 21 O 0 0 A 2 5 0 B 2 3 3 2 分 设过A B O三点的抛物线的解析式为 y ax x 2 5 把x 2 3 y 3 代入解析式 得a 2 1 y 2 1 x x 2 5 xx 4 5 2 1 2 即过A B O三点的抛物线的解析式为y xx 4 5 2 1 2 4 分 2 设直线AB的解析式为y kx b 根据题意得 3 2 3 bk 5 0 2 kb 解之得 k 4 3 b 8 15 直线AB的解析式为y 8 15 4 3 x 6 分 设动点P t 8 15 4 3 t 则M t tt 4 5 2 1 2 7 分 d 8 15 4 3 t tt 4 5 2 1 2 2 1115 228 tt 2 11 2 22 t 当t 1 2 时 d有最大值 最大值为 2 8 分 3 设抛物线y xx 4 5 2 1 2 的顶点为D y xx 4 5 2 1 2 32 25 4 5 2 1 2 x 抛物线的对称轴x 4 5 顶点D 4 5 32 25 根据抛物线的对称性 A O两点关于对称轴对称 当AO为平行四边形的对角线时 抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与 A O四点为顶点的四边形一定是平行四边形 这时点D即为点E 所以E点坐标为 525 432 10 分 y B AC O H x E2 E1 E3 D 22 当AO为平行四边形的边时 由OA 5 2 知抛物线存在点E的横坐标为 55 42 或 55 42 即15 4 或 5 4 分别把x 15 4 和x 5 4 代入二次函数解析式y xx 4 5 2 1 2 中 得点 E 15 4 32 75 或E 4 5 75 32 所以在抛物线上存在三个点 E1 4 5 32 25 E2 15 4 32 75 E3 4 5 32 75 使 以O A E F为顶点的四边形为平行四边形 12 分 28 2013 凤阳县县直义教教研中心 如图 水坝的横断面是梯形 背水坡AB的坡角 BAD 60 坡长AB m320 为加强水坝强度 将坝底从A处向后水平延伸到F处 使新的背水坡 的坡角 F 45 求AF的长度 结果精确到 1 米 参考数据 414 1 2 732 1 3 解 1 sin60 BE AB sin60 20 30 m AB BE 3 2 3 AE AB cos60 m 310 2 1 320 F 45 EF BE 30m AF EF AE BE AE 30 10 m 3 29 2013 年福州市初中毕业班质量检查 10 分 如图 由 6 个形状 大小完全相同的小 矩形组成矩形网格 小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点 已知小矩形较短边长为 1 ABC的顶点都在格点上 1 格点E F在BC边上 的值是 BE AF 2 按要求画图 找出格点D 连接CD 使 ACD 90 3 在 2 的条件下 连接AD 求 tan BAD的值 解 1 3 分 1 2 2 标出点D 5 分 3 题图 A BC E F 23 连接CD 7 分 3 解 连接BD 8 分 BED 90 BE DE 1 EBD EDB 45 BD 9 分 BE2 DE212 122 由 1 可知BF AF 2 且 BFA 90 ABF BAF 45 AB 2 10 分 BF2 AF222 222 ABD ABF FBD 45 45 90 11 分 tan BAD 12 分 BD AB 2 22 1 2 30 2013 年福州市初中毕业班质量检查 12 分 如图 半径为 2 的 E交x轴于 A B 交y轴于点C D 直线CF交x轴负半轴于点F 连接EB EC 已知点E的坐 标为 1 1 OFC 30 1 求证 直线CF是 E的切线 2 求证 AB CD 3 求图中阴影部分的面积 解 1 过点E作EG y轴于点G 点E的坐标为 1 1 EG 1 在 Rt CEG中 sin ECG EG CE 1 2 ECG 30 1 分 OFC 30 FOC 90 OCF 180 FOC OFC 60 2 分 FCE OCF ECG 90 即CF CE 直线CF是 E的切线 3 分 2 过点E作EH x轴于点H 点E的坐标为 1 1 EG EH 1 4 分 在 Rt CEG与 Rt BEH中 AB C D E O x y F 第 4 题图 24 Rt CEG Rt BEH CE BE EG EH CG BH 6 分 EH AB EG CD AB 2BH CD 2CG AB CD 7 分 3 连接OE 在 Rt CEG中 CG CE2 EG23 OC 1 8 分 3 同理 OB 1 9 分 3 OG EG OGE 90 EOG OEG 45 又 OCE 30 OEC 180 EOG OCE 105 同理 OEB 105 10 分 OEB OEC 210 S阴影 1 1 2 1 210 22 360 1 23 7 33 12 分 31 2013 年吉林沈阳模拟 8 分 如图 放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为 40cm 灯罩BC长为 30cm 底座厚度为 2cm 灯臂与底座构成