名师复习专题：总复习--万有引力理论的成就--提高

万有引力理论的成就万有引力理论的成就 编稿 周军 审稿 吴楠楠 学习目标学习目标 1 了解万有引力定律在天文学上的重要应用 2 会用万有引力定律计算天体的质量 3 理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路 方法 要点梳理要点梳理 要点一 万有引力与重力要点一 万有引力与重力 要点诠释 要点诠释 地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因 但重力又不完全等于引力 这是因为地球在不停地 自转 地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动 这就需要向心力 这个向心力的 方向是垂直指向地轴的 它的大小是 式中的 r 是物体与地轴的距离 是地球自转的角速 2 Fmr 向 度 这个向心力来自哪里 只能来自地球对物体的引力 F 它是引力 F 的一个分力 如图所示 引力 F 的 另一个分力才是物体的重力 mg 在不同纬度的地方 物体做匀速圆周运动的角速度 相同 而圆周的半径 r 不同 这个半径在赤道 处最大 在两极最小 等于零 纬度为 处的物体随地球自转所需的向心力 R 为地 2 cosFmR 向 球半径 由公式可见 随着纬度的升高 向心力将减小 作为引力的另一个分量 重力则随纬度的升高 而增大 在两极处 r Rcos90 0 所以在两极 引力等于重力 在赤道上 物体的重力 引0F 向 力和向心力在一条直线上 方向相同 此时重力等于引力与向心力之差 即 此时重 2 Mm mgGF R 向 力最小 从图中还可以看出重力 mg 一般并不指向地心 只有在南北两极和赤道上重力 mg 才指向地心 1 重力是由万有引力产生的 重力实际上是万有引力的一个分力 物体的重力随其纬度的增大而增 大 并且除两极和赤道上外 重力并不指向地心 2 物体随地球自转所需的向心力一般很小 物体的重力随纬度的变化很小 因此在一般粗略计算中 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力 即 2 Mm mgG R 要点二 天体质量计算的几种方法要点二 天体质量计算的几种方法 要点诠释 要点诠释 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题 天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律 行 星 或卫星 的运动可视为匀速圆周运动 由恒星对其行星 或行星对其卫星 的万有引力提供向心力 运用万有引力定律 不仅可以计算太阳的质量 还可以计算其他天体的质量 下面以地球质量的计 算为例 介绍几种计算天体质量的方法 1 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T 半径为 r 根据万有引力等于向心力 即 可求得地球的质量 2 2 2GM m m r rT 月地 月 23 2 4r M GT 地 2 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v 由于地球对月球的引力等于 月球做匀速圆周运动的向心力 得 2 2 Mmv Gm rr 月地 月 可得地球的质量为 2 MrvG 地 3 若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T 由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向 心力 得 2 Mm Gm v rT 月地 月 2 2 Mm Gm vr r 月地 月 以上两式消去 r 解得 3 2 Mv TG 地 4 若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g 根据物体的重力近似等于地球对物体的引力 得 解得地球的质量为 2 Mm mgG R 地 2 R g M G 地 要点三 天体密度的计算要点三 天体密度的计算 要点诠释 要点诠释 1 利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度 由和 2 GMm mg R 3 4 3 MR 得 3 4 g GR 其中 g 为天体表面的重力加速度 R 为天体半径 2 利用天体的卫星来求天体的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为 r 周期为 T 天体半径为 R 则可列出方程 2 22 4Mm Gmr rT 3 4 3 MR 得 2323 23 33 4 3 44 33 MrGTr GT R RR 当天体的卫星环绕天体表面运动时 其轨道半径 r 等于天体半径 R 则天体密度为 2 3 GT 要点四 发现未知天体要点四 发现未知天体 要点诠释 要点诠释 发现海王星 天王星的 出轨 现象 激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴 趣 勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料 并把这些资料跟自己理论计算的结果对比 亚当 斯也不断到剑桥大学天文台去 他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料 这使他的理论计算能及 时跟观察资料比较他们两人根据自己的计算结果 各自独立地得出结论 在天王星的附近 还有一颗新 的行星 1846 年 9 月 23 日晚 德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 人们称其为 笔尖下发 现的行星 这就是海王星 凭借着万有引力定律 通过计算 在笔尖下发现了新的天体 这充分地显示了科学理论的威力 要点五 解决天体运动问题的基本思路要点五 解决天体运动问题的基本思路 要点诠释 要点诠释 1 将行星绕恒星的运动 卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动 所需向心力是由万有引力提供 的 根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量 有如下关系 22 2 22 4Mmv Gmammrm vmr rrT 向 若已知环绕中心天体运动的行星 或卫星 绕恒星 或行星 做匀速圆周运动的周期为 T 半径为 r 根 据万有引力提供向心力可知 得恒星或行星的质量 2 22 4Mm Gmr rT 23 2 4r M GT 此种方法只能求解中心天体的质量 而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量 2 若已知星球表面的重力加速度 g 和星球的半径 忽略星球自转的影响 则星球对物体的万有引 力等于物体的重力 有 所以 2 Mm Gmg R 2 g R M G 其中是在有关计算中常用到的一个替换关系 被称为 黄金代换 2 GM g R 典型例题典型例题 类型一 万有引力的计算 例例 1 已知地球的质量大约是 M 6 0 1024kg 地球的平均半径为 R 6370 km 地球表面的重力加 速度 g 取 9 8 m s2 求 1 地球表面一质量为 10 kg 的物体受到的万有引力 2 该物体受到的重力 3 比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力 思路点拨 明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键 解析 1 由万有引力定律得 代入数据得 F 98 6 N 2 Mm FG r 2 该物体受到的重力为 mg 98N 3 比较结果万有引力比重力大 原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自 转所需的向心力 但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力 所以通常情况 下可认为重力等于万有引力 点评 重力是由万有引力产生的 它与万有引力能不能视为相等 关键要看题目的条件 举一反三 变式变式 2015 山东学业水平检测 要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的 可采取 1 2 的方法是 A 两物体间距离保持不变 两物体的质量均减为原来的 1 2 B 两物体间距离保持不变 仅一个物体的质量减为原来的 1 2 C 两物体质量均不变 两物体间的距离变为原来的 1 2 D 两物体质量均不变 两物体间的距离变为原来的 2 倍 答案 B 解析 根据知 两物体间距离保持不变 两物体的质量均减为原来的 则万有引 12 2 m m FG r 1 2 力减为原来的 故 A 错误 两物体间距离保持不变 仅一个物体的质量减为原来的 则万有引力 1 4 1 2 减为原来的 故 B 正确 两物体质量均不变 两物体间的距离变为原来的 则万有引力变为原来 1 2 1 2 的 4 倍 故 C 错误 两物体质量均不变 两物体间的距离变为原来的 2 倍 则则万有引力减为原来的 1 4 故 D 错误 类型二 补偿法计算万有引力 例例 2 如图所示 一个质量为 M 的匀质实心球 半径为 R 如果从球上挖去一个直径为 R 的球 放 在相距为 d 的地方 求下列两种情况下 两球之间的引力分别是多大 1 从球的正中心挖去 2 从与球面相切处挖去 并指出在什么条件下 两种计算结果相同 思路点拨思路点拨 所求万有引力可由均质实心球与 m 间的万有引力减去所挖去的小球与 m 间万有引力求 得 解析 根据匀质球的质量与其半径的关系 两部分的质量分别为 33 4 3 Mrr 8 M m 7 8 M M 1 如图甲所示 根据万有引力定律 这时两球之间的引力为 2 1 22 7 64 M mM FGG dd 2 如图乙所示 在这种情况下 不能直接用万有引力公式计算 为此 可利用等效割补法 先将 M 转化为理想模型 即用同样的材料将其填补为实心球 M 这时 两者之间的引力为 2 22 1 64 2 MmM FGG ddR 由于填补空心球而增加的引力为 2 22 1 2 64 2 mmM FGG dRdR 所以 这时 M 与 m 之间的引力为 2 2 22 111 88 2 FFFGM ddR 当时 M 可以视为质点 这时 引力变为dR远大于 2 2 21 222 1117 8864 M FFFGMGF ddd 即这时两种计算结果相同 点评 万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力 在高中阶段常见的质点模型是质 2 GMm F r 量分布均匀的球体 因而利用 割补法 构成质点模型 再利用万有引力定律与力的合成知识可求 缺 失 球间的引力 类型三 天体表面重力加速度问题 例例 3 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球 经过时间 t 小球落回原处 若他在某星球表 面以相同的初速度竖直上抛同一小球 需经过时间 5t 小球落回原处 取地球表面重力加速度 g 10m s2 空气阻力不计 1 求该星球表面附近的重力加速度 g 2 已知该星球的半径与地球半径之比 1 4 求该星球的质量与地球质量之比 R星R地M星M地 思路点拨 本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目 解析 1 依据竖直上抛运动规律可知 地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为 0 2v t g 在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为 所以 0 2 5 v t g 2 1 2m s 5 gg 2 星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力 则有 2 Mm mgG R 所以 可解得 1 80 2 gR M G M星M地 点评 本题主要考查学生的类比迁移能力 对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的 实践应用能力 把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用 举一反三 变式变式 1 1 如果地球表面的重力加速度为 g 物体在距地面 3 倍的地球半径时的重力加速度为 g 则二者 加速度之比是 A 1 91 B 9 1 C 1 16 D 16 1 答案答案 D 解析解析 距地面的高度为 3R 则距地心为 4R 根据万有引力公式有 2 2 4 Mm mgG R Mm mgG R 解上述方程得 16 1 g g 类型四 天体质量 密度的计算 例例 5 1976 年 10 月 剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的放射电源 它每隔 1 337s 发出一个 脉冲讯号 贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头 后来大家认识到 事情没有这么浪漫 这类 天体被定名为 脉冲星 脉冲星 的特点是脉冲周期短 且周期高度稳定 这意味着脉冲星一定进行 准确的周期运动 自转就是一种很准确的周期运动 1 已知蟹状星云的中心星 PSO53l 是一颗脉冲星 其周期为 0 331 s PSO531 的脉冲现象来自自转 设阻止该星离心瓦解的力是万有引力 试估算 PSO531 的最小密度 2 如果 PSO531 的质量等于太阳的质量 该星的可能半径最大是多少 太阳的质量是 M 2 1030 kg 思路点拨 本题中 脉冲星脉冲周期即为其自转周期 星体上质点随其高速自转的向心力是万有 引力 星体不离散的条件是万有引力大于或等于向心力 这是关键信息 在此基础上可取星体表面一物 体为研究对象 建立匀速圆周运动模型 列出方程 再与一些辅助方程联立即可求解 解析 脉冲星周期即为自转周期 脉冲星高速自转不瓦解的临界条件为 该星球表面的某物体 m 所受星体的万有引力恰等于向心力 1 设 PSO531 脉冲星的质量为 M 半径为 R 最小密度为 体积为 V 则 2 22 4Mm GmR RT 又 M V 而 3 4 3 VR 解得 3 2112 33 3 14 kg m 6 67 100 331GT 1 3 1012 kg m3 2 由 3 4 3 M VR 得 3 303 12 33 2 10 m 44 1 3 103 14 M R 7 16 105 m 点评 对于信息题 不少学生解题时往往大致看一下题目后 觉得这种题从没见过就丧失信心 自动放弃 不愿仔细阅读 认真分析 或者在没有明确题意的情况下 草率完成题目 其实这类题完全 是 大帽子 吓人 帽子底下仍是同学们熟悉的老面孔 解答信息题的正确方法是 仔细阅读 明确题 意 弄清原理 善于提取题中的有用信息 举一反三 高清课程 万有引力定律的应用 例 1 变式 1 一宇航员为了估测一星球的质量 他在该星球的表面做自由落体实验 让小球在离地面 h 高处自由下落 他测出经时间 t 小球落地 又已知该星球的半径为 R 试估算该星球的质量 答案 2 22 Gt 2hR G gR M 变式 2 设地球绕太阳做匀速圆周运动 半径为 R 速率为 v 则太阳的质量可用 v R 和引力常量 G 表示为 太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动 其运动速率约为地球公转速率的 7 倍 轨道半径约为地球公转轨道半径的 2 109倍 为了粗略估算银河系中恒星的数目 可认为银河系 中所有恒星的质量都集中在银河系中心 且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量 则银河系中恒 星的数目约为 答案 1011 2 v R G 解析 地球围绕太阳运动 而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力 则由 2 2 GMmv m RR 可得 设太阳的运动速率为 v 则 v 7v 轨道半径 r 2 109 R 则 所 2 v R M G 2 9 49 2 10 GnM v R 以 又因为 故个 92 2 49 10 Rv n GM 2 v R M G 11 10n 类型五 双星问题 例例 6 天文学家将相距较近 仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星 双星系统在银河系中 很普遍 利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量 已知某双星系统中两颗恒星围绕 它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动 周期均为 T 两颗恒星之间的距离为 r 试推算这个双星 系统的总质量 引力常量为 G 思路点拨思路点拨 双星之间的作用力是两星之间的万有引力 要做稳定的匀速圆周运动 只有依靠万有 引力提供向心力 又因以两者连线上某点为圆心 所以半径之和不变 故运动过程中角速度不变 再由 万有引力定律可以解得 解析 设两颗恒星的质量分别为 m1 m2 做匀速圆周运动的半径分别为 r1 r2 角速度分别为 1 2 根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿第二定律 有 2 12 11 1 2 m m Gmr r 2 12 22 2 2 m m Gmr r 联立 式解得 2 1 12 m r r mm 根据角速度与周期的关系知 12 2 T 联立 式解得 23 12 2 4r mm T G 点评 由于双星做匀速圆周运动的角速度相等 其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比 举一反三 变式变式 1 1 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体 探寻黑洞的方案之一是观测双星系统 的运动规律 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时 发现了 LMCX 3 双星系统 它由可见星 A 和不可见的 暗星 B 构成 两星视为质点 不考虑其他天体的影响 A B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动 它 们之间的距离保持不变 如图所示 引力常量为 G 由观测能够得到可见星 A 的速率和运行周期 T v 1 可见星 A 所受暗星 B 的引力可等效为位于 O 点处质量为的星体 视为质点 对它的引力 设 A F m A 和 B 的质量分别为 试求 用表示 12 mm m 12 mm 2 求暗星 B 的质量与可见星 A 的速率 运行周期 T 和质量之间的关系式 2 mv 1 m 解析解析 1 设 A B 的圆轨道半径分别为 由题意知 A B 做匀速圆周运动的角速度相同 12 rr 设其为 由牛顿运动定律 有 1 2 1A Fmr 2 2 2B Fmr AB FF 设 A B 之间的距离为 r 又 由上述各式得 12 rrr 12 1 2 mm rr m 由万有引力定律 有 12 2 3 12 22 121 A m m FG r m m G mmr 令 1 2 1 A m m FG r 比较可得 3 2 2 12 m m mm 2 由牛顿第二定律 有 2 1 1 2 11 m mv Gm rr 又可见星 A 的轨道半径 1 2 vT r 综上可得 33 2 2 12 2 mv T mmG 高清课程 万有引力的应用高清课程 万有引力的应用 例例 8 8 变式 2 所谓 双星 就是太空中有两颗质量分别为M1和 M2的恒星 保持它们之间的距离不变 以它们连线上的某一位置为圆心 各自作匀速圆周运动 如图所示 不计其它星球对它们的作用力 则 A 它们运行的周期之比T1 T2 M2 M1 B 它们的回转半径之比r1 r2 M2 M1 C 它们的线速度大小之比v1 v2 M2 M1 D 它们的向心加速度大小之比a1 a2 M2 M1 答案 BCD 类型六 三星问题 例例 7 2015 安徽高考 由三颗星体构成的系统 忽略其它星体对它们的作用 存在着一种运动形 式 三颗星体在相互之间的万有