北京市10区2013届高三数学上学期期末试题分类汇编 数列 理

1 北京市北京市 20132013 届高三上学期期末数学试题分类汇编届高三上学期期末数学试题分类汇编 数列数列 一 填空 选择题 1 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 设是公差不为 0 的等差数列的前 n S n a 项和 且成等比数列 则等于n 124 S S S 2 1 a a A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 因为成等比数列 所以 即 即 124 S S S 2 142 S SS 2 111 46 2 aadad 所以 选 C 2 11 2 2da d da 2111 111 2 3 aadaa aaa 2 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 已知数列是等差数列 数列 12 1 9a a 是等比数列 则的值为 123 1 9b b b 2 12 b aa 答案 3 10 解析 因为是等差数列 所以 是等比数列 12 1 9a a 12 1 910aa 123 1 9b b b 所以 因为 所以 所以 2 2 1 99b 1 2 2 0bb 2 3b 2 12 3 10 b aa 3 北京市东城区 2013 届高三上学期期末理 已知为等差数列 其前项和为 n an n S 若 则公差等于 3 6a 3 12S d A B C D 5 3 23 答案 C 解析 因为 所以 解得 所 3 6a 3 12S 131 3 3 3 6 12 22 aaa S 1 2a 使用 解得 选 C 31 6222aadd 2d 2 4 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理 右表给出一个 三角形数阵 已知每一列 数成等差数列 从第三行起 每一行数成等比数列 而且每一行的公比都相等 记第行第 j列的数为 ij a Njiji 则 53 a等于 3 mn am 答案 5 16 1 2n m 第一个空 2 分 第二个空 3 分 5 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理 数列满足 n a 且对任意的 都有 则 1 2 a Nm n n m n m a a a 3 a 的前项和 n a n n S 答案 1 8 22 n 解析 由可得 所以 所以 n m n m a a a 2 1 1 a a a 22 21 24aa 312 2 48aa a 由得 令 得 即数列是公比为 2 的等比数列 n m n m a a a n m m n a a a 1m 1 1 2 n n a a a n a 所以 1 1 1 2 1 2 22 11 2 nn n n aq S q 6 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理 数列满足 n a 11 1 nn aar ar 且 则 是 数列成等差数列 的 nr NR0r 1r n a A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 则 即 所以数列成等差数列 若数列1r 1 1 nn aa 1 1 nn aa n a 成等差数列 设公差为 则 即 n ad 111 nnnnnn aar arr arr aa 若 则 若 则 即 此时ddr 0d 1r 0d 11 1 nn aaa 12rrr 所以是数列成等差数列的充分不必要条件 选 A 1 2 r 1r n a 7 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 在等比数列中 n a 14 1 4 2 aa 则公比 q 123 n aaaaL 1 4 1 2 1 4 3 4 3 8 3 16 3 答案 1 1 22 2 n 解析 在等比数列中 所以 即 所以 33 41 1 4 2 aa qq 3 8q 2q 所以 即数列是一个公比为 2 的等比 11 1 1 2 2 nn n aa q 12 1 2 2 2 nn n a n a 数列 所以 1 123 1 12 1 2 2 122 n n n aaaa L 8 北京市西城区 2013 届高三上学期期末理 设等比数列的各项均为正数 其前 n a 项和为 若 则 n n S 1 1a 3 4a 63 k S k 答案 6 解析 设公比为 因为 所以 则 所以 又q0 n a 0q 22 31 4aa qq 2q 即 所以 1 2 63 1 2 k k S 264 k 6k 二 解答题 1 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 已知每项均是正整数的数列 123100 a a aa 其中等于的项有 i k 个 1 2 3 i 设 jj kkkb 21 1 2 3 j 12 100 m g mbbbm 1 2 3 m 设数列 12 40 30 kk 345100 20 10 0kkkk 求 1 2 3 4 gggg 若 123100 a a aa 中最大的项为 50 比较 1 g m g m 的大小 若 12100 200aaa 求函数 mg 的最小值 解 I 因为数列 12 40 30 kk 3 20 k 4 10k 所以 1234 40 70 90 100bbbb 所以 1 60 2 90 3 100 4 100gggg 4 分 II 一方面 1 1 100 m g mg mb 根据 j b 的含义知 1 100 m b 4 故0 1 mgmg 即 1 mgmg 当且仅当 1 100 m b 时取等号 因为 123100 a a aa 中最大的项为 50 所以当 50m 时必有 100 m b 所以 1 2 49 50 51 ggggg 即当1 49m 时 有 1 g mg m 当 49m 时 有 1 g mg m 9 分 III 设M为 12100 a aa 中的最大值 由 II 可以知道 g m 的最小值为 g M 根据题意 123 100 MM bkkkk L 123123100 23 M kkkMkaaaa L 下面计算 g M 的值 123 100 M g MbbbbM 1231 100 100 100 100 M bbbb 233445 MMMM kkkkkkkkkk 23 2 1 M kkMk 12312 23 MM kkkMkkkk 123100 M aaaab 123100 100aaaa 123100 200aaaa 100g M g m 最小值为 100 14 分 2 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 将正整数 2 1 2 3 4 n 2n 任意排 成n行n列的数表 对于某一个数表 计算各行和各列中的任意两个数 a b ab 的比 值 a b 称这些比值中的最小值为这个数表的 特征值 当2n 时 试写出排成的各个数表中所有可能的不同 特征值 若 ij a表示某个n行n列数表中第行第j列的数 1in 1jn 且满足 5 1 1 ij ijinij a inijnij 请分别写出3 4 5n 时数表的 特征值 并由此 归纳此类数表的 特征值 不必证明 对于由正整数 2 1 2 3 4 n 排成的n行 列的任意数表 记其 特征值 为 求 证 证明 显然 交换任何两行或两列 特征值不变 可设在第一行第一列 考虑与同行或同列的两个数只有三种可能 或 或 得到数表的不同特征值是 或 3 分 当 时 数表为 此时 数表的 特征值 为 4 分 当 时 数表为 此时 数表的 特征值 为 5 分 当 时 数表为 此时 数表的 特征值 为 6 分 猜想 特征值 为 7 分 对于一个数表而言 这 个较大的数中 要么至少有两个数在一个数表的同一行 或同一列 中 要么这 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中 当 这 个较大的数 至少有两个数在数表的同一行 或同一列 中时 设 为该行 或列 中最大的两个数 则 因为 所以 从而 10 分 当 这 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时 当它们中的一个数与 在同行 或列 中 设 为与 在同行 同列中的两个最大数 中的较小的一个 则有 综上可得 13 分 3 北京市东城区 2013 届高三上学期期末理 已知 为等比数列 其前 项和为 且 求 的值及数列 的通项公式 714 582 369 13159 101426 711153 481216 21161116 17222712 13182338 91419244 510152025 6 若 求数列 的前 项和 答案 解 当 时 1 分 当 时 3 分 因为 是等比数列 所以 即 5 分 所以数列 的通项公式为 6 分 由 得 则 得 9 分 12 分 所以 13 分 4 北京市房山区 2013 届高三上学期期末理 已知数列已知数列 的前的前 项和为项和为 且且 求数列 求数列 的通项公式 的通项公式 设 设 数列 数列 的前的前 项和为项和为 求使不等式 求使不等式 对一切对一切 都成立的最大正整数都成立的最大正整数 的值 的值 设 设 是否存在是否存在 使得 使得 成立 若存在 求出成立 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 的值 若不存在 请说明理由 当 当 时时 1 1 分分 当当 时时 2 2 分分 而当而当 时时 4 4 分分 7 7 分分 单调递增 故单调递增 故 8 8 分分 令令 得 得 所以 所以 1010 分分 7 1 1 当 当 为奇数时 为奇数时 为偶数 为偶数 1 1 2 2 分分 2 2 当 当 为偶数时 为偶数时 为奇数 为奇数 舍去 舍去 综上 存在唯一正整数综上 存在唯一正整数 使得 使得 成立 成立 1 1 4 4 分分 5 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理 已知曲线 是曲线 C 上的点 且满足 一列点 在x轴上 且 是坐标原点 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 求 的坐标 求数列 的通项公式 令 是否存在正整数 N 当 n N 时 都有 若存在 求出 N 的最小值并证明 若不存在 说明理由 答案 解 B0A1B1是以 A1为直角顶点的等腰直角三角形 直线 B0A1的方程为 y x 由 得 即点 A1的坐标为 2 2 进而得 3 分 根据 和 分别是以 和 为直角顶点的等腰直角三角形可 得 即 5 分 和 均在曲线 上 代入 式得 7 分 数列 是以 为首项 2 为公差的等差数列 其通项公式为 8 分 由 可知 9 分 10 分 11 分 方法一 当 n 1 时 不符合题意 当 n 2 时 符合题意 8 猜想对于一切大于或等于 2 的自然数 都有 观察知 欲证 式 只需证明当 n 2 时 n 1 2n 以下用数学归纳法证明如下 1 当 n 2 时 左边 3 右边 4 左边 右边 2 假设 n k k 2 时 k 1 2k 当 n k 1 时 左边 k 1 1 2k 1 2k 2k 2k 1 右边 对于一切大于或等于 2 的正整数 都有 n 1 2n 即 成立 综上 满足题意的 n 的最小值为 2 13 分 方法二 欲证 成立 只需证明当 n 2 时 n 1 2n 并且 当 时 6 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 定义 如果数列 的任意连续三项均能构 成一个三角形的三边长 则称 为 三角形 数列 对于 三角形 数列 如果函数 使得 仍为一个 三角形 数列 则称 是数列 的 保三角形函数 已知 是首项为 公差为的等差数列 若 是数列 的 保三角形函数 求 的取值范围 已知数列 的首项为 是数列 的前n项和 且满足 证明 是 三角形 数列 若 是 中数列 的 保三角形函数 问数列 最多有多少项 解题中可用以下数据 答案 显然 对任意正整数都成立 即 是三角形数列 因为 显然有 由 得 解得 所以当 时 是数列 的保三角形函数 3 分 由 得 两式相减得 所以 5 分 9 经检验 此通项公式满足 显然 因为 所以 是三角形数列 8 分 所以 单调递减 由题意知 且 由 得 解得 由 得 解得 即数列 最多有 26 项 7 北京市顺义区 2013 届高三上学期期末理 已知 为等差数列 且 I 求数列 的前 项和 II 求数列 的前 项和 解 I 设等差数列 的公差为 因为 所以 解得 2 分 所以 3 分 因此 4 分 记数列 的前 项和为 当 时 当 时 当 时 又当 时满足此式 综上 8 分 II 记数列 的前 项和为 则 所以 由 I 可知 所以 故 13 分 8 北京市通州区 2013 届高三上学期期末理 现有一组互不相同且从小到大排列的数据 其中 记 作函数 使其图象为逐点依次连接点 的折线 求 和 的值 10 设直线 的斜率为 判断 的大小关系 证明 当 时 解 2 分 4 分 解 6 分 因为 所以 8 分 证 由于 的图象是连接各点 的折线 要证明 只需证明 9 分 事实上 当 时 下面证明 法一 对任何 10 分 11 分 12 分 所以 13 分 法二 对任何 当 时 10 分 当 时 综上 13 分 11 9 北京市西城区 2013 届高三上学期期末理 如图 设 是由 个实数组成的 行 列的 数表 其中 表示位于第行第 列的实数 且 记 为所有这样的数表构成的集合 对于 记 为 的第行各数之积 为 的第 列各 数之积 令 请写出一个 使得 是否存在 使得 说明理由 给定正整数 对于所有的 求 的取值集合 解 答案不唯一 如图所示数表符合要求 3 分 解 不存在 使得 4 分 证明如下 假设存在 使得 因为 所以 这 个数