2011届高考数学第一轮点拨复习之指数函数与对数函数测试题

用心 爱心 专心 指数函数和对数函数复习回顾指数函数和对数函数复习回顾 综合脉络综合脉络 1 1 以指数函数 对数函数为中心的综合网络以指数函数 对数函数为中心的综合网络 2 2 指数式与对数式有如下关系指数式与对数式有如下关系 指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据 0a NlogbNa a b 且 1a 指数函数与对数函数互为反函数 它们的图象关于直线xy 对称 指数函数与对数 函数的性质可以自己总结做表对比 3 3 指数函数指数函数 对数函数是高考重点之一对数函数是高考重点之一 指数函数 对数函数是两类重要的基本初等函数 高考中既考查双基 又考查对蕴含其 中的函数思想 等价转化 分类讨论等思想方法的理解与运用 因此应做到能熟练掌握它 们的图象与性质并能进行一定的综合运用 典型例题讲解典型例题讲解 例例 1 1 定义在 R R 上的函数 x f满足 x f 4x f 当6x2 时 n 2 1 x f mx 31 4 f 1 求nm 的值 2 比较 mlog f 3 与 nlog f 3 的大小 解 1 x f 4x f 6 f 2 f 4m31n 2 1 n 2 1 m6 m2 31 4 f 30n31n 2 1 44 2 644log524log1 33 30 2 1 44 logf 4 logf m logf 4log 333 3 用心 爱心 专心 而 2 1 2 1 30 81 log4log 30 2 1 30 logf n logf 30 81 log 4log 33 30 81 log 33 3 3 3 n logf m logf 33 例例 2 2 方程 lgx x 3 的解所在区间为 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 分析 分析 在同一平面直角坐标系中 画出函数 y lgx 与 y x 3 的图象 如图 2 它们的交点横坐标 0 x 显然在区间 1 3 内 由 此可排除 A D 至于选 B 还是选 C 由于画图精确性的限制 单凭 直观就比较困难了 实际上这是要比较 0 x与 2 的大小 当 x 2 时 lgx lg2 3 x 1 由于 lg2 1 因此 0 x 2 从而判定 0 x 2 3 故本题应选 C 说明 说明 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx x 3 解所在的区间 数形结合 要在结合方面下功夫 不仅要通过图象直观估计 而且还要计算 0 x的邻近两个函数值 通 过比较其大小进行判断 例例 3 3 设 a 0 f x x x e a a e 是 R 上的奇函数 1 求 a 的值 2 试判断 f x 的反函数 f 1 x 的奇偶性与单调性 解 1 因为 x f在 R 上是奇函数 所以 0a 1a0a a 1 0 0 f 2 x f Rx 2 4xx ln x f 1 2 1 2 4xx ln 2 2 4xx ln 2 x f 1 x f 1 为奇函数 用定义法可证 x f 1 为单调增函数 也可用原函数证明 例例 4 4 是否存在实数 a 使函数 f x xax log 2 a 在区间 4 2 上是增函数 如果存 在 用心 爱心 专心 说明 a 可以取哪些值 如果不存在 请说明理由 解 解 设xax x u 2 对称轴 a2 1 x 1 当1a 时 1a 0 2 u 2 a2 1 2 当1a0 时 8 1 a0 0 4 u 4 a2 1 综上所述 1a 例例 5 5 定义在 R 上的单调函数 f x 满足 f 3 log23 且对任意 x y R 都有 f x y f x f y 1 求证 f x 为奇函数 2 若 f k 3 x f 3 x 9 x 2 0 对任意 x R 恒成立 求实数 k 的取值范围 分析 分析 欲证 f x 为奇函数即要证对任意 x 都有 f x f x 成立 在式子 f x y f x f y 中 令 y x 可得 f 0 f x f x 于是又提出新的问题 求 f 0 的值 令 x y 0 可得 f 0 f 0 f 0 即 f 0 0 f x 是奇函数得到证明 1 证明证明 f x y f x f y x y R R 令 x y 0 代入 式 得 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 令 y x 代入 式 得 f x x f x f x 又 f 0 0 则有 0 f x f x 即 f x f x 对任意 x R R 成立 所以 f x 是奇函数 2 解解 f 3 log23 0 即 f 3 f 0 又 f x 在 R R 上是单调函数 所以 f x 在 R R 上是增函数 又由 1 f x 是奇函数 f k 3 x f 3 x 9 x 2 f 3 x 9 x 2 k 3 x 3 x 9 x 2 3 2x 1 k 3 x 2 0 对任意 x R R 成立 令 t 3 x 0 问题等价于 t 2 1 k t 2 0 对任意 t 0 恒成立 用心 爱心 专心 R R 恒成立 说明 说明 问题 2 的上述解法是根据函数的性质 f x 是奇函数且在 x R 上是增函数 把问题转化成二次函数 f t t 2 1 k t 2 对于任意 t 0 恒成立 对二次函数 f t 进行研 究求解 本题还有更简捷的解法 分离系数由 k 3 x 3 x 9 x 2 得 上述解法是将 k 分离出来 然后用平均值定理求解 简捷 新颖 例 6 已知函数f x logm 3 3 x x 1 若f x 的定义域为 0 判断f x 在定义域上的增减性 并加以说明 2 当 0 m 1 时 使f x 的值域为 logm m 1 logm m 1 的定义 域区间为 0 是否存在 请说明理由 命题意图 本题重在考查函数的性质 方程思想的应用 知识依托 函数单调性的定义判断法 单调性的应用 方程根的分布 解不等式组 错解分析 第 1 问中考生易忽视 3 这一关键隐性条件 第 2 问中转化出的方 程 不能认清其根的实质特点 为两大于 3 的根 技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法 借助函数方程思想 巧妙解题 解 1 0 3 3 x x x 3 或x 3 f x 定义域为 3 设 x1 x2 有0 3 3 6 3 3 3 3 21 21 2 2 1 1 xx xx x x x x 当 0 m 1 时 f x 为减函数 当m 1 时 f x 为增函数 2 若f x 在 上的值域为 logmm 1 logmm 1 0 m 1 f x 为减函数 1 log 3 3 log 1 log 3 3 log mf mf mm mm 即3 0