北京市各区2012届高三数学上学期期中、期末考试分类解析（18）空间几何体

用心 爱心 专心1 十八 空间几何体十八 空间几何体 第一部分第一部分 三视图三视图 1 1 20122012 年东城区高三期末考试理年东城区高三期末考试理 4 4 一个几何体的三视图如图所示 其中正 主 视图中 ABC 是边长为 2 的正三角形 俯视图的边界为正六边形 那么该几何体的侧 左 视图的 面积为 C A B C D 2 1 1 2 3 2 2 2 20122012 年东城区高三期末考试文年东城区高三期末考试文 3 3 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积 为 A A B 3 2 a 3 6 a C D 3 12 a 3 18 a 3 3 20122012 年丰台区高三期末考试理年丰台区高三期末考试理 4 4 若某空间几何体的三视图如右图所示 则该几何 体的体积是 C A B C 2 D 6 2 3 4 3 a a a 正 主 视图 俯视图 侧 左 视图 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 1 2 2 2 用心 爱心 专心2 4 4 20122012 年丰台区高三期末考试文年丰台区高三期末考试文 5 5 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的 体积是 C A B C 1 D 2 1 3 2 3 5 5 20122012 年昌平区高三期末考试理年昌平区高三期末考试理 4 4 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体 的体积是 D A 12B 8 C 6 D 4 6 6 顺义区 顺义区 20122012 届高三尖子生综合素质展示文届高三尖子生综合素质展示文 4 4 在三棱锥中 DABC 平面 若其主视图 俯视图如图所2ACBCCD CD BCD90ACB 示 则其左视图的面积为 D A B C D 6232 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 2 2 1 主视图 2 2 左视图 2 俯视图 C D B A 俯视图俯视图 主视图主视图 用心 爱心 专心3 7 7 20122012 年西城区高三期末考试理年西城区高三期末考试理 7 7 某几何体的三 视图如图所示 该几何体的体积是 D A B C D 8 8 3 4 4 3 8 8 20122012 年西城区高三期末考试文年西城区高三期末考试文 5 5 一个几何体的主视图和左视图如图所示 则这个 几何体的俯视图不可能是 D A B C D 9 9 20122012 年朝阳区高三期末考试理年朝阳区高三期末考试理 1010 某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体 积是 答案 答案 3 3 主视图 俯视图 3 2 3 2 2 2 侧视图 主视图左视图 用心 爱心 专心4 1010 20122012 年海淀区高三期末考试理年海淀区高三期末考试理 1414 已知正三棱柱的正 主 视图和 ABCA B C 侧 左 视图如图所示 设的中心分别是 现将此三棱柱绕直线 ABCA B C O O 旋转 射线旋转所成的角为弧度 可以取到任意一个实数 对应的俯视图的 OOOAxx 面积为 则函数的最大值为 最小正周期为 S x S x 说明 三棱柱绕直线旋转 包括逆时针方向和顺时针方向 逆时针方向旋转时 OO 旋转所成的角为正角 顺时针方向旋转时 旋转所成的角为负角 OAOA 答案 答案 8 3 1111 20112011 年东城区高三示范校高三综合练习年东城区高三示范校高三综合练习 一一 理理 1212 若某空间几何体的三视图如图所 示 则该几何体的体积是 答案 答案 1 侧 左 视图正 主 视图 4 3 用心 爱心 专心5 第二部分第二部分 立体几何立体几何 1 1 20122012 年东城区高三期末考试理年东城区高三期末考试理 3 3 下列命题中正确的是 D A 如果两条直线都平行于同一个平面 那么这两条直线互相平行 B 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 C 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线 那么这条直线平行于这个平面 D 如果两条直线都垂直于同一平面 那么这两条直线共面 2 2 20122012 年昌平区高三期末考试理年昌平区高三期末考试理 6 6 已知 是两个不同平面 是两条不同 mn 直线 下列命题中假命题是 B A 若 则 B 若 则 mnm n m n mn C 若 则 D 若 则m m m m 3 3 20122012 年海淀区高三期末考试理年海淀区高三期末考试理 4 4 已知平面 直线 若 l 则 D l A 垂直于平面的平面一定平行于平面 B 垂直于直线 的直线一定垂直于平面l C 垂直于平面的平面一定平行于直线 l D 垂直于直线 的平面一定与平面 都垂直l 4 4 20122012 年朝阳区高三期末考试理年朝阳区高三期末考试理 7 7 已知正方形的边长为 将沿对ABCD2 2ABC 角线折起 使平面平面 得到如图所示的三棱锥 若为ACABC ACDBACD O 边的中点 分别为线段 上的动点 不包括端点 且 ACMNDCBOBNCM 设 则三棱锥的体积的函数图象大致是 B BNx NAMC yf x A B C D A A D A B A N A M A O A C A 用心 爱心 专心6 5 5 20122012 年丰台区高三期末考试理年丰台区高三期末考试理 8 8 如图 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1对角线 AC1上 一动点 设 AP 的长度为 x 若 PBD 的面积为 f x 则 f x 的图象大致是 A A y x O B y x O C y x O D y x O 6 6 20112011 年东城区高三示范校高三综合练习年东城区高三示范校高三综合练习 一一 文文 3 3 一个多面体的直观图和三视图 如图所示 其中 分别是 的中点 是上的一动点 求该几MNABACGDF 何体的体积与表面积 求证 当时 在棱上GNACGDFG AD 确定一点 使得 平面 并给出证明 PGPFMC 解 解 由三视图可知直观图为直三棱柱 底面中 ADFADDFaDCADDF 该几何体的体积为 表面积为 4 分 3 1 2 a 22222 1 2 232 2 aaaaa 证明 证明 连接 可知 共线 且 DBBNDACDN 又 FDADFDCDDCDAD 面 又面 FDABCD AC ABCD FDAC D1 C1 B1 A1 P D C B A 侧视图 a a 正视图 俯视图 a N M F A D C B E G 用心 爱心 专心7 又 DFDDN 面 又 ACFDNFDNGN面 8 分 GNAC 点与点重合时 面 10 分PAGPFMC 证明 证明 取中点 连接 FCHMHGAGH 是的中点 是的中点 GDF GH 1 2 CD MAB AM 1 2 CD 且 四边形是平行四边形 GHAMGHAM GHMA 又面 面 GAMH MHFMCGA FMC 面 即 GP 面 13 分 GAFMCFMC 7 7 20112011 年东城区高三示范校高三综合练习年东城区高三示范校高三综合练习 一一 理理 1616 如图 四边形为正方形 ABCD 平面 PDABCDPDQAQAABPD 2 1 I 证明 平面 平面 PQCDCQ II 求二面角的余弦值 CBPQ 解 解 I 如图 以为坐标原点 线段的长为单位长 射线为轴的正半轴建立DDADAx 空间直角坐标系 xyzD 依题意有 1 1 0 0 0 1 0 2 0 QCP 则 0 1 1 1 0 0 0 1 1 PQDCDQ 所以 0 0 DCPQDQPQ 即 DCPQDQPQ 故 平面 PQDCQ 又 平面 所以平面 平面 6 分PQPQCPQCDCQ II 依题意有 1 0 1 B 0 0 1 CB 1 2 1 BP 用心 爱心 专心8 设是平面的法向量 则即 zyxn PBC 0 0 BPn CBn 0 2 0 zyx x 因此可取 2 1 0 n 设是平面的法向量 则mPBQ 0 0 PQm BPm 可取 所以 1 1 1 m 5 15 cos nm 故二面角的余弦值为 13 分CBPQ 5 15 8 8 20122012 年西城区高三期末考试文年西城区高三期末考试文 1717 如图 正三棱柱的侧棱长和底面边 111 CBAABC 长均为 是的中点 2DBC 求证 平面 AD 11 B BCC 求证 平面 1 AB 1 ADC 求三棱锥的体积 11 ADBC 证明 证明 因为是正三棱柱 111 CBAABC 所以 平面 1 CC ABC 又 平面 AD ABC 所以 3 分ADCC 1 因为 是正三角形 是的中点 ABCDBC 所以 4 分ADBC 所以 平面 5 分AD 11 B BCC 证明 连结 交于点 连结 1 AC 1 ACOOD 由 是正三棱柱 111 CBAABC 得 四边形为矩形 为的中点 11 ACC AO 1 AC 用心 爱心 专心9 又为中点 所以为中位线 DBCOD 1 ABC 所以 8 分 1 ABOD 因为 平面 平面 OD 1 ADC 1 AB 1 ADC 所以 平面 10 分 1 AB 1 ADC 解 因为 12 分 1111 DCBAADBC VV 所以 14 分 1111 12 3 33 CADBB DC VSAD 9 9 20122012 年西城区高三期末考试理年西城区高三期末考试理 1717 如图 在直三棱柱中 111 CBAABC 是的中点 1 2ABBCAA 90ABC DBC 求证 平面 1 AB 1 ADC 求二面角的余弦值 1 CADC 试问线段上是否存在点 使与成 11 ABEAE 1 DC 角 若存在 确定点位置 若不存在 说明理由 60 E 证明 证明 连结 交于点 连结 1 AC 1 ACOOD 由 是直三棱柱 111 CBAABC 得 四边形为矩形 为的中点 11 ACC AO 1 AC 又为中点 所以为中位线 DBCOD 1 ABC 所以 2 分 1 ABOD 因为 平面 平面 OD 1 ADC 1 AB 1 ADC 所以 平面 4 分 1 AB 1 ADC 解 由是直三棱柱 且 故两两垂直 111 CBAABC 90ABC 1 BBBCBA 如图建立空间直角坐标系 5 分xyzB 设 则 2 BA 0 0 1 1 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 DCACB 所以 1 2 0 AD 1 2 2 1 AC 设平面的法向量为 则有 1 ADC x y zn 1 0 0 n AD n AC 用心 爱心 专心10 所以 取 得 7 分 20 220 xy xyz 1 y 2 1 2 n 易知平面的法向量为 8 分ADC 0 0 1 v 由二面角是锐角 得 9 分 1 CADC 2 cos 3 n v n v n v 所以二面角的余弦值为 1 CADC 2 3 解 假设存在满足条件的点 E 因为在线段上 故可设 其中 E 11B A 1 2 0 1 A 1 0 0 1 B 1 0 E02 所以 11 分 0 2 1 AE 1 1 0 1 DC 因为与成角 所以 12 分AE 1 DC60 1 1 1 2 AE DC AE DC 即 解得 舍去 13 分 2 11 2 2 12 1 3 所以当点为线段中点时 与成角 14 分E 11B AAE 1 DC60 1010 20122012 年昌平区高三期末考试文年昌平区高三期末考试文 1717 如图在四棱锥 中 底面是正方形 PABCD ABCDABCDPA底面 垂足为点 点 分别是 的A2 ABPAMNPDPB 中点 I 求证 ACMPB平面 II 求证 平面 MNPAC III 求四面体的体积 AMBC 证明 证明 I 连接OBDACMNMOMCAMBDAC 且 的中点分别是点BDPDMO ACMPBPBMO平面 4 分 ACMPB平面 用心 爱心 专心11 II ABCDPA平面 ABCDBD平面 BDPA 是正方形底面ABCD BDAC 又 AACPA PACBD平面 7 分 在 点 分别是 的中PBD MNPDPB 中点 BDMN 9 分PACMN平面 III 由 11 分 12 分hSVV ABCABCMMBCA 3 1 PAh 2 1 14 分 3 2 2 1 2 1 3 1 PAADABV MBCA 1111 20122012 年丰台区高三期末考试文年丰台区高三期末考试文 1616 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 CC1 底面 ABC AC BC M N 分别是 CC1 AB 的中点 求证 CN AB1 求证 CN 平面 AB1M 证明 证明 因为三棱柱 ABC A1B1C1中 CC1 底面 ABC 所以 BB1 平面 ABC 所以 BB1 CN 1 分 因为 AC BC N 是 AB 的中点 所以 CN AB 3 分 因为 AB BB1 B 4 分 所以 CN 平面 AB B1A1 5 分 所以 CN AB1 6 分 方法一 连结 A1B 交 AB1于 P 7 分 因为三棱柱 ABC A1B1C1 所以 P 是 A1B 的中点 因为 M N 分别是 CC1 AB 的中点 所以 NP CM 且 NP CM 9 分 所以四边形 MCNP 是平行四边形 10 分 所以 CN MP 11 分 因为 CN平面 AB1M MP平面 AB1M 12 分 所以 CN 平面 AB1M 14 分 方法二 取 BB1中点 P 连结 NP CP 7 分 N M C1B1 A1 C B A P N M C1B1 A1 C B A P N M C1B1 A1 C B A E O N M C B D A P 用心 爱心 专心12 因为 N P 分别是 AB BB1的中点 所以 NP AB1 因为 NP平面 AB1M AB1平面 AB1M 所以 NP 平面 AB1M 10 分 同理 CP 平面 AB1M 11 分 因为 CP NP P 所以平面 CNP 平面 AB1M 13 分 因为 CN平面 CNP 所以 CN 平面 AB1M 14 分 1212 20122012 年朝阳区高三期末考试文年朝阳区高三期末考试文 1616 如图 在四棱锥中 平面平面SABCD SAD 四边形为正方形 且 为的中点 为的中点 ABCDABCDPADQSB 求证 平面 CD SAD 求证 平面 PQSCD 若 为中点 在棱上是否存在点 SASD MBCSCN 使得平面 平面 并证明你的结论 DMNABCD 证明 证明 因为四边形为正方形 则 1 分ABCDCDAD 又平面平面 SAD ABCD 且面面 SAD ABCDAD 所以平面 3 分CD SAD 取 SC 的中点 R 连 QR DR 由题意知 PD BC 且 PD BC 4 分 1 2 在中 为的中点 R 为 SC 的中点 SBC QSB 所以 QR BC 且 QR BC 1 2 所以 QR PD 且 QR PD 则四边形为平行四边形 7 分PDRQ 所以 PQ DR 又 PQ平面 SCD DR平面 SCD 所以 PQ 平面 SCD 10 分 存在点为中点 使得平面平面 11 分NSCDMN ABCD 连接交于点 连接 PCDM OPMSP 因为 并且 PDCMPDCM 所以四边形为平行四边形 所以 PMCDPOCO 又因为为中点 NSC 所以 12 分 NOSP 因为平面平面 平面平面 并且 SAD ABCDSAD ABCDADSPAD M S D B C A P Q M S D B C A P Q R N O 用心 爱心 专心13 所以平面 SP ABCD 所以平面 13 分NO ABCD 又因为平面 NO DMN 所以平面平面 14 分DMN ABCD 1313 20122012 年海淀区高三期末考试文年海淀区高三期末考试文 1717 在四棱锥中 底面是菱形 PABCD ABCD ACBDO 若 求证 平面 ACPD AC PBD 若平面平面 求证 PAC ABCDPBPD 在棱上是否存在点 异于点 使得 平面PCMCBM 若存在 求的值 若不存在 说明理由 PAD PM PC 证明 证明 因为 底面是菱形ABCD 所以 1 分ACBD 因为 ACPD PDBDD 所以 平面 3 分AC PBD 证明 由 可知 ACBD 因为 平面平面 平面平面 PAC ABCDPAC ABCDAC 平面 BD ABCD 所以 平面 5 分BD PAC 因为 平面 PO PAC 所以 7 分BDPO 因为 底面是菱形 ABCD 所以 BODO 所以 8 分PBPD 解 不存在 下面用反证法说明 9 分 假设存在点 异于点 使得 平面 MCBMPAD 在菱形中 ABCDBCAD 因为 平面 平面 AD PADBC PAD 所以 平面 11 分BCPAD 因为 平面 平面 BM PBCBC PBC BCBMB 所以 平面 平面 13 分PBCPAD 而平面与平面相交 矛盾 14PBCPAD 分 1414 20122012 年昌平区高三期末考试理年昌平区高三期末考试理 1717 如图在四棱锥 B C D O A P M B C D O A P N C B M D A P F 用心 爱心 专心14 中 底面是正方形 垂足为点 点 PABCD ABCDABCDPA底面 A1 ABPAM 分别是 的中点 NPDPB I 求证 ACMPB平面 II 求证 平面 MNPAC III 若 求平面与平面所成二面角的余弦值 FCPF2 FMNABCD 证明 证明 I 连接 OBDACMNMOMCAMBDAC 且 的中点分别是点BDPDMO ACMPBPBMO平面 4 分 ACMPB平面 II ABCDPA平面 BDPA 是正方形底面ABCD ABCDBD平面 BDAC 又 AACPA PACBD平面 7 分 在 点 分别是 的中点 中PBD MNPDPB BDMN 9 分PACMN平面 III ABCDPA平面 是正方形底面ABCD 以为原点 建立空间直角坐标系 A 由 可得FCPF2 3 1 3 2 3 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 FNMA 设平面 MNF 的法向量为 n n zyx 平面 ABCD 的法向量为 1 0 0 AP x F M N P B A D C y z O N M C B D A P 用心 爱心 专心15 11 分 6 1 3 2 6 1 0 2 1 2 1 NFNM 可得 解得 令 n n 13 分 0 63 2 6 0 22 zyx yx xz xy 5 可得 1 x 5 1 1 14 分 27 275 27 5 cos nAP 1515 20122012 年丰台区高三期末考试理年丰台区高三期末考试理 1616 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 CC1 底面 ABC AC BC 2 CC1 4 M 是棱 CC1上一点 2 2AB 求证 BC AM 若 M N 分别是 CC1 AB 的中点 求证 CN 平面 AB1M 若 求二面角 A MB1 C 的大小 1 3 2 C M 证明 证明 因为三棱柱 ABC A1B1C1中 CC1 平面 ABC 所以 CC1 BC 1 分 因为 AC BC 2 2 2AB 所以由勾股定理的逆定理知 BC AC 2 分 因为 AC CC1 C 所以 BC 平面 ACC1A1 3 分 因为 AM平面 ACC1A1 所以 BC AM 4 分 连结 A1B 交 AB1于 P 5 分 因为三棱柱 ABC A1B1C1 所以 P 是 A1B 的中点 因为 M N 分别是 CC1 AB 的中点 所以 NP CM 且 NP CM 所以四边形 MCNP 是平行四边形 6 分 所以 CN MP 7 分 因为 CN平面 AB1M MP平面 AB1M 8 分 所以 CN 平面 AB1M 9 分 因为 BC AC 且 CC1 平面 ABC 以 C 为原点 CA CB CC1分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 C xyz 因为 所以 C 0 0 0 A 2 0 0 B1 0 2 4 1 3 2 C M 5 0 0 2 M A B C A1 B1C1 M N P N M C1B1 A1 C B A 用心 爱心 专心16 10 分 5 2 0 2 AM 1 3 0 2 2 B M 设平面的法向量 则 1 AMB nx y z 0n AM 1 0n B M 即 11 分 5 2 0 0 2 3 0 2 0 2 x y z x y z 令 则 即 5x 3 4yz 5 3 4 n 又平面 MB1C 的一个法向量是 2 0 0 CA 所以 12 分 2 cos 2 n CA n CA n CA 由图可知二面角 A MB1 C 为锐角 所以二面角 A MB1 C 的大小为 14 分 4 1616 20122012 年海淀区高三期末考试理年海淀区高三期末考试理 1717 在四棱锥 中 底面是直角梯形 PABCD ABCDABCD 平面90ABC 2ABPBPCBCCD 平面 PBC ABCD 求证 平面 AB PBC 求平面和平面所成二面角 小于 的大PADBCP90 小 在棱上是否存在点使得 平面 若存在 求的值 若不存PBMCMPAD PM PB 在 请说明理由 证明 证明 因为 90ABC 所以 1 分ABBC 因为 平面平面 平面平面 PBC ABCDPBC ABCDBC 平面 AB ABCD 所以 平面 3 分AB PBC 解 取的中点 连接 BCOPO 因为 PBPC 所以 POBC 因为 平面平面 平面平面 平面PBC ABCDPBC ABCDBC PO P AB CD z y x N M C1B1 A1 C B A 用心 爱心 专心17 PBC 所以 平面 4 分PO ABCD 如图 以为原点 所在的直线为轴 在平面内过垂直于的直OOBxABCDOBC 线为轴 所在的直线为轴建立空间直角坐标系 不妨设 yOPzOxyz 2BC 由 直角梯形中可得 ABCD2ABPBPCBCCD 0 0 3 P 1 1 0 D 1 2 0 A 所以 1 1 3 DP 2 1 0 DA 设平面的法向量 PAD x y zm 因为 0 0 DP DA m m 所以 1 1 3 0 2 1 0 0 x y z x y z 即 30 20 xyz xy 令 则 1x 2 3yz 所以 7 分 1 2 3 m 取平面的一个法向量 n n BCP 0 1 0 所以 2 cos 2 m n m n m n 所以 平面和平面所成的二面角 小于 的大小为 9 分ADPBCP90 4 解 在棱上存在点使得 平面 此时 理由如PBMCMPAD 1 2 PM PB 下 10 分 取的中点 连接 ABNCMCNMN 则 MNPA 1 2 ANAB 因为 2ABCD 所以 ANCD 因为 ABCD 所以 四边形是平行四边形 ANCD O z y x P A B CD N M P AB C D 用心 爱心 专心18 所以 CNAD 因为 MNCNN PAADA 所以 平面 平面 13 分MNCPAD 因为 平面 CM MNC 所以 平面 14 分CMPAD 1717 20122012 年朝阳区高三期末考试理年朝阳区高三期末考试理 1717 如图 在四棱锥中 平面平面SABCD SAD 底面为矩形 ABCDABCD 2 3ADa ABa SASDa 求证 CDSA 求二面角的大小 CSAD 证明 证明 因为平面平面 SAD ABCD 且面面 CDAD SAD ABCDAD 所以平面 CD SAD 又因为平面 SA SAD 所以 6 分CDSA 由 可知 CDSA 在中 SAD SASDa 2ADa 所以 SASD 所以平面 SA SDC 即 SASD SASC 所以为二面角的平面角 CSD CSAD 在中 Rt CDS 3 tan3 CDa CSD SDa 所以二面角的大小 13 分CSAD 3 法二 取的中点 的中点 BCEADP 在中 为的中点 所以 SAD SASDa PADSPAD 又因为平面平面 且平面平面SAD ABCDSAD ABCDAD 所以 平面 显然 有 1 分SP ABCDPEAD 如图 以 P 为坐标原点 PA 为 x 轴 PE 为 y 轴 PS 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 2 0 0 2 Sa 2 0 0 2 Aa 2 3 0 2 Baa 2 3 0 2 Caa 3 分 2 0 0 2 Da 易知 22 0 3 0 0 22 CDaSAaa 用心 爱心 专心19 F E D B A P C E D C B A F O P 因为 0CD SA 所以 6 分CDSA 设为平面的一个法向量 则有 x y z nCSA 0 0 SA CA n n 即 所以 7 分 22 0 22 230 axaz axay 3 2 3 n 显然 平面 所以为平面的一个法向量 EP SADPE SAD 所以为平面的一个法向量 9 分 0 1 0 mSAD 所以 21 cos 22 2 n m 所以二面角的大小为 13 分CSAD 3 1818 20122012 年东城区高三期末考试文年东城区高三期末考试文 1717 如图 在四棱锥中 底面是ABCDP ABCD 正方形 平面 是中点 为线段上一点 PA ABCDEPCFAC 求证 EFBD 试确定点在线段上的位置 使 平面 并说明理由 FAC