2011届高考数学百题精炼系列10（文理合卷）

20112011 届高考数学百题精炼系列届高考数学百题精炼系列 1010 一 选择题 本大题共 12 小题 每题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 选择 一个符合题目要求的选项 解析 故其共轭复数是 5 1212 2 ii zi ii 2i 考点 数系的扩充与复数的引入 点评 复数的考查重点就是复数的有关概念 代数形式的四则运算以及简单的几何意义 本题中计算要注意虚数单位 的性质 i 4414243 1 1 nnnn iii iii n Z 3 已知非零向量ABAC 与满足 则 1 0 2 ABACABAC BC ABACABAC 则 的形状为 ABC A 等腰非等边三角形B 等边三角形 C 三边均不相等的三角形D 直角三角形 答案 A 分析 根据平面向量加法的几何意义 向量的中点在角的内角平分线上 ABAC ABAC A 说明 角的内角平分线垂直于对边 根据数量积的定义 0 ABAC BC ABAC A 说明 1 2 ABAC ABAC 120A 解析 根据 角的内角平分线和边的高线重合 说明三 0 ABAC BC ABAC ABC 角形是等腰三角形 根据数量积的定义说明 故三角形是等 1 2 ABAC ABAC 120A 腰非等边的三角形 考点 平面向量 点评 解答本题的关键是注意到向量分别是于向量同方向的单位 ABAC ABAC AB AC 向量 两个单位向量的和一定在角的内角平分线上 A 5 若函数在上的单调递增的奇函数 则 01 xx f xkaaaa 且 的图像是 log a g xxk 答案 C 分析 根据函数是确定值 根据其单调性 01 xx f xkaaaa 且 k 确定值的范围 然后按照函数图象的变换方法进行判断 a 解析 函数是奇函数 在对于任意 01 xx f xkaaaa 且 fxf x 恒成立 即对于任意恒成立 即 x R xxxx kaaaka x R 对于任意恒成立 故只能是 此时函数 1 0 xx kaa x R1k xx f xaa 由于这个函数单调递增 故只能是 函数的图象是把函数 1a log a g xxk 的图象沿左移一个单位得到的 故正确选项 C logayx x 考点 基本初等函数 点评 本题综合考查函数性质与图象 本题可以使用奇函数在处有定义时 0 x 的方法直接求出值 0 0f k 7 且 则实数的值为 x R 1 cos 22 x x A B 2 kkZ 21 kkZ C D kkZ 2 kkZ 答案 C 分析 根据基本不等式确定的取值范围 结合余弦函数的有界性 即可确定 1 22 x x 的取值 cos 解析 当时 等号当且仅当时成立 当时 0 x 11 21 222 2 xx xx 1x 0 x 由于 故只能 111 21 222222 xxx xxx 1cos1 即 cos1 kk Z 考点 基本不等式 基本初等函数 点评 本题交汇基本不等式和三角函数命制 本题中根据等式两端的取值情况 把含有 变量的等式确定为具体的等式的方法在一些问题中是常用的 8 已知数列满足且 则 n a 331 log1log nn aan N 246 9aaa 的值是 1579 3 log aaa A B C D 5 1 5 5 1 5 答案 A 分析 根据数列满足足且可以确定数列 331 log1log nn aan N 246 9aaa 是公比等于的等比数列 在根据等比数列的通项公式即可把通过求出 3246 9aaa 的值 579 aaa 解析 由 得 所以数列是公比等于的 331 log1log nn aan N 1 3 nn aa n a 3 等比数列 所以 35 579246 33aaaaaa 5 15793 3 log log 55aaa 考点 数列 点评 等比数列中有关系式 其中为公比 这个关系式可以看 n m n m a qm n a N q 作推广的等比数列的通项公式 即 当时就是等比数列的通 n m nm aa qm n N 1m 项公式 9 由曲线 直线所围成的平面图形的面积为 1xy 3yx y A B C D 32 9 2ln3 4ln3 4ln3 答案 D 分析 画出草图 如图所示 根据定积分的几何意义把曲边形的面积转化为区间 ABC 上的定积分 解析 如图 曲边形的面积为 3 23 1 1 11 ln4ln3 2 ydyyy y 考点 导数及其应用 点评 本题考查定积分求曲边形的面积 关键是根据定积分的几何意义把求解的面积归 结为函数在区间上的定积分 再根据微积分基本定理求解 在把曲边形面积转化为定积分 时 可以以为积分变量也可以以为积分变量 本题如果是以为积分变量 则曲边形 x y x 的面积是 如果是以为积分变量 则被积函数是以为 ABC 13 1 1 3 1 3 3 dxx dx x xx 自变量的函数 如果是以为积分变量 则被积函数是以为自变量的函数 yy 10 从张元 张元 张元的亚运门票中任选张 则选取的张中至少51003200230033 有张价格相同的概率为 2 A B C D 1 4 79 120 3 4 23 24 答案 C 分析 根据事件的对立性 选取的张中至少有张价格相同的对立事件就是 选取的 32 张中价格互不相同 即在每种价格的门票中各自选取一张 3 解析 基本事件的总数是 在三种价格的门票中各自选取一张的方法数是 3 10 C 111 532 C C C 故随机事件 选取的张中价格互不相同 的概率是 故其对立事 3 111 532 3 10 5 3 21 1204 C C C C 件 选取的张中至少有张价格相同 的概率是 32 13 1 44 考点 概率 点评 在计算古典概型的问题时 如果含有 至多 至少 等问题 可以考虑通过事 件的对立关系简化计算 11 椭圆的焦点为 点在椭圆上 则到轴的 2 2 1 4 x y 12 F FM 12 0MFMF My 距离为 A B 2 3 3 2 6 3 C D 3 3 3 答案 B 分析 条件 说明点在以线段为直径的圆上 点又在椭圆上 12 0MFMF M 12 FF M 通过方程组即可求得点的坐标 即可求出点到轴的距离 MM y 解析 椭圆的焦点坐标是 点在以线段为直径的圆上 该圆的方程是 3 0 M 12 FF 即 代入椭圆得 解得 即 22 3xy 22 3yx 2 2 31 4 x x 2 8 3 x 2 6 3 x 此即点到轴的距离 M y 考点 圆锥曲线与方程 点评 满足 其中是平面上两个不同的定点 的动点的轨迹是以 0MA MB A A B M 线段为直径的圆 AB 12 上的函数的反函数为 且对于任意的 都有 则R f x 1 fx x 3f xfx 的值为 11 1 4 fxfx A 3B C D 3 2 3 0 答案 D 分析 关系式 说明函数图象的对称性 3f xfx 解析 设函数式图象上的点 则 A x f xBx fx 0 2 xx 对于任意恒成立 即函数的图象关于点对称 根据互 3 22 f xfx x f x 3 0 2 为反函数的两个函数图象关于直线对称 故函数的图象关于点对称 yx 1 fx 3 0 2 即当函数图象上两个点的横坐标之和等于时 这两个点的纵坐标之和等于 故 30 11 1 4 0fxfx 考点 基本初等函数 点评 本题考查抽象的函数与其反函数 解题的关键是根据函数图象的对称性 可以说 本题考查的重点是使用函数的对称性解题 值得注意的是课标高考对反函数的要求极低 在反函数问题上不要深究 这类抽象函数试题可以 可以通过寻找符合要求的具体函数求 解 如本题中函数等均可 3 333 222 f xx f xx f xx 第 卷 90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题 5 分 共 20 分 点评 注意展开式中二项式系数的和与展开式各项系数和是不同的 二项式系数的和就 是 而各项的系数和还受其它因素制约 如本题中各项系数的和是 2n0 15 函数在区间上的最大值为 则 x R 2 2 f xxxt 0 32t 答案 1 分析 函数的对称轴方程是 在区间内 因此函数 2 2yxxt 1x 0 3 取得最大值的点必然是中的一个 逐个进行检验 2 2 f xxxt 0 1 3 fff 解析 根据闭区间上函数取得最值的知识以及二次函数的性质 函数 取得最大值的点必然是中的一个 2 2 f xxxt 0 1 3 fff 若 则 时 这个函数的最大 0 2f 2t 2t 22 22 1 3f xxxx 值为 故不合要求 若 则 当时 32t 2t 22 22 1 1f xxxx 3x 函数值等于 故也不合要求 52t 若 则 解得 若 则 1 2f 12t 3 1tt 3t 这个函数在内的最大值也不是 不合要 22 22 1 2f xxxx 0 3 23t 求 若 则 此时 故此时函数 1t 22 21 1 2f xxxx 0 1 3 2ff 在上的最大值是 符合要求 f x 0 3 21t 若 则 解得 符合要求 当时 此 3 2f 32t 1 5tt 1t 5t 0 5f 时函数在内的最大值也不是 不合要求 f x 0 3 25t 综上所述 1t 考点 基本初等函数 点评 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 这些最值就是函数在区间内的极 值和函数在端点处的函数值中的最大者和最小者 本题的思路就是这样得到的 16 直角坐标系中横坐标 纵坐标均为整数的点称为格点 如果函数的图象恰好通 f x 过个格点 则称函数为阶格点函数 下列函数 k k N f xk sinf xx 2 3 1 2f xx 1 4 x f x 0 5 logf xx 其中是一阶格点函数的有 答案 分析 根据各个函数的定义域和值域逐个进行判断 解析 显然点在函数的图象上 而且函数只有最高点和最低点以及图 0 0 sinf xx 象与轴的交点处 但这些点的横坐标都不是整点 函数是一阶格点函数 x sinf xx 函数图象上点为整点 当取的整数时 函数值都不是 2 3 1 2f xx 1 2 x1x 整数 故函数是一阶格点函数 函数中 当取负整 2 3 1 2f xx 1 4 x f x x 数或者零时 都是整点 故函数不是一阶格点函数 函数 1 4 x f x 0 5 logf xx 显然点为其格点 当 都是整点 故函数 1 0 1 0 1 2 2 n xn 不是一阶格点函数 0 5 logf xx 考点 基本初等函数 点评 本题以新定义的形式命制 考查的重点是函数的图象与性质 三 解答题 本大题共 5 小题 每小题 12 分 共 60 分 请将证明过程或演算步骤答在指 定的答题框内 超过答题框内的答案无效 17 本题满分 12 分 中 分别是角的对边 向量ABC a b c A B C 点评 本题考查三角形中三角恒等变换 解三角形 方程思想在三角形问题中的应用极 为广泛 根据已知条件可得方程 根据正弦定理 余弦定理 三角形面积公式等都可以得 到方程 解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素 1818 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知圆 直线 22 2 5C xy 10l mxy 1 求证 对 直线 与圆总有两个不同交点 m RlC 2 若圆与直线相交于点和点 求弦的中点的轨迹方程 CABABM 分析 1 利用点到圆心的距离小于圆的半径 判别式以及直线系过定点等方法都可以 解决 2 根据韦达定理把点的坐标用参数表示出来 消掉参数即可得到点的 MmM 轨迹方程 解析 1 方法 1 直线系恒过定点 且点在圆 10l mxy 0 1 0 1 内部 所以直线直线 与圆总有两个不同交点 6 分 22 2 5C xy lC 方法 2 直线方程与圆的方程联立 消掉得 2 分 y 22 1 240mxmx 所以直线 与圆总有两个不同交点 6 分 22 44 1 0mm lC 方法 3 圆心到直线的距离 所以直线 与圆总有两个 22 02 11 15 11 d mm lC 不同交点 6 分 2 设 由方程 得 1122 A x yB xyM x y 22 1 240mxmx 2 1 m x m 由 得 代入 得 化简得 10mxy 1y m x 2 1 m x m 2 11 1 yy x xx 整理得 12 分 22 1 1yxy 22 3 1 2 xy 考点 圆与方程 点评 本题考查直线与圆的位置关系 在判断直线与圆的位置关系时 基本方法是圆心 到直线的距离法和判别式法 但如果能够判断直线过圆内的一个点 也就判断了直线与圆 一定相交 本题第二问的是求直线被圆所截得的中点的轨迹方程 基本方法是使用韦达定 理的参数法和点差法 1919 本题满分 本题满分 1212 分分 考点 数列 点评 本题考查根据数列的前项和求通项以及裂项方法求解数列的和 这是数列中最 n 基本的两个问题 也是高考中考查频率极高的两个问题 在已知求时要注意分类求 n S n a 解以及对结果的整合 本题第二问中的取不到 但可以无限接近 故满足的不 n T 1 2 1 2m 等式是 而不是 这里含有极限的思想 1 220 m 1 220 m 20 本题满分 12 分 已知函数为常数 2 x f xxaxa ea 1 若函数时取得极小值 试确定的取值范围 0f xx 在a 2 在 1 的条件下 设由的极大值构成的函数为 试判断曲线只 f x g x g x 可能与直线为确定的常数 中的哪一条相切 并说230 320 xymxynm n 明理由 分析 1 根据函数的导数的零点以及函数导数在零点左右的符号进行讨论 2 实际 上就是判断函数的导数的范围 根据函数的单调性进行即可 yg x 解析 1 222 2 2 xxxx f xxaxa exaxa exa x ex xa e 令 得 0f x 0 2xxa 当时 恒成立 此时函数单调递减 不是函数的极 2a 2 0 x fxx e f x 0 x 值点 当时 若 则 若 则 此时 2a 20a 0 x 0fx 20ax 0fx 是函数的极大值点 0 x f x 当时 若 则 若 则 2a 20a 0 x 0fx 02xa 0fx 是函数的极小值点 0 x f x 综上所述 使得函数在处取得极小值的的取值范围是 6 分 f x 0 x a2a 2 由 1 知时 函数在时取得极大值 故函数的极大值等 2a f x 2xa f x 于 故 2 2 4 a faa e 2 4 2 x g xx ex 222 4 4 3 xxx g xx ex ex e 2x 令 则 对于大于零恒成立 即函数在 2 3 x h xx e 2 2 x h xx e 2x h x 单调递减 故在上 即恒有 2 2 2 2 2 32 1h xhe 1g x 由直线的斜率是 直线的斜率是 根据导数的几何 230 xym 2 3 320 xyn 3 2 意义知曲线只能可能与直线相切 12 分 g x230 xym 考点 导数及其应用 点评 本题考查导数在研究函数性质中的应用 考查分类整合思想 函数与方程思想以 及等价转化的思想方法等 题目的第一问实际就是讨论二次函数的 2 2 xxa x 零点的分布以及在零点两侧的函数值的符号 显然时两个零点重合 这是一个不变 2a 号零点 如果是函数的极小值点 则在这个零点处的函数值是左负右正 0 x yf x 结合二次函数图象 此时只能是 即 题目第二问转化为求 02a 2a 的取值范围 采用的方法是构造函数再利用导数进行的研究方法 这种 2 3 x g xx e 不断使用导数研究函数的性质的方法是高考考查导数的重点所在 21 本题满分 12 分 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 它的一个顶点为 且离x 0 2 A 心率等于 过点的直线 与椭圆相交于不同两点 点在线段上 3 2 0 2 Ml P QNPQ 1 求椭圆的标准方程 2 设 试求的取值范围 PMMQ PNNQ 分析 1 待定系数即可 2 分直线 的斜率存在与不存在 当直线 的斜率存在时 ll 以斜率为参数建立坐标之间的关系 利用把点的坐标用参数表 P Q PMMQ PNNQ Nk 示 再用点的坐标表示 根据范围进行求解 解析 1 设椭圆的标准方程是 22 22 1 0 xy ab ab 由于椭圆的一个顶点是 故 根据离心率是得 0 2 A 2 2b 3 2 解得 22 2 3 2 cab aa 2 8a 所以椭圆的标准方程是 4 分 22 1 82 xy 2 设 112200 P x yQ xyN xy 若直线 与轴重合 则 解得 得 l y 00 2222 22 PMMQ PNNQyy 0 1y 2 若直线 与轴不重合 设直线 的方程为 与椭圆方程联立消去得 l y l 2ykx y 根据韦达定理得 22 14 1680kxkx 12 2 16 14 k xx k 12 2 8 14 x x k 由 得 整理得 把上面的等式代入 PMMQ PNNQ 02 1002 00 xx xxxx 12012 2 x xx xx 得 又点在直线上 所以 于是有 0 1 x k N 2ykx 0 1 21yk k 1 12y 10 分 由 得 所以 12 分 1 11 21 1 11 y yy 1 12y 1 1 21 1y 2 综上所述 2 考点 圆锥曲线与方程 点评 本题考查圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的位置关系 这是高考中解析几何试 题的传统命题形式 本题是难点是第二问 在直线 的斜率不存在时 可以直接求出的 l 值 比例式实际上等价于以及 这两 PMMQ PNNQ 02 1002 00 xx xxxx 02 1002 22yy yyyy 个关系可以用来建立点的坐标之间的关系 P Q N 四 考生注意 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题计分 做题时 在答题纸上把选题目对应的题号写在括号中 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 AP 是的切线 P 为切点 AC 是的割线 与交于 B C 两点 OAOAOA 圆心 O 在的内部 点 M 是 BC 的中点 PAC 1 求证 A P O M 四点共圆 2 求的大小 OAMAPM 分析 1 只要证明四边形的对角互补即可 2 使用等量代换 APOM 解析 1 连