反证法证明题(简单)

反证法证明题 例 1 已知 为内角 A B C ABC 求证 中至少有一个不小于 60o A B C 证明 假设的三个内角 都小于 60o ABC A B C 即60o 60o 60o A B C 所以 O 180ABC 与三角形内角和等于 180o矛盾 所以假设不成立 所求证结论成立 例 2 已知 证明 x 的方程有且只有一个根 0a axb 证明 由于 因此方程至少有一个根 0a axb b x a 假设方程至少存在两个根 axb 不妨设两根分别为且 12 x x 12 xx 则 12 axb axb 所以 12 axax 所以 12 0a xx 因为 所以 12 xx 12 0 xx 所以 与已知矛盾 0a 0a 所以假设不成立 所求证结论成立 例 3 已知求证 33 2 ab 2ab 证明 假设 则有 2ab 2ab 所以即 33 2 ab 323 8 126abbb 所以 3232 8 1266 1 2abbbb 因为 2 6 1 22b 所以 与已知矛盾 33 2ab 33 2ab 所以假设不成立 所求证结论成立 例 4 设是公比为的等比数列 为它的前 n 项和 n a n S 求证 不是等比数列 n S 证明 假设是等比数列 则 n S 2 213 SSS 即 222 111 1 1 aqa aqq 因为等比数列 1 0a 所以即 与等比数列矛盾 22 1 1qqq 0q 0q 所以假设不成立 所求证结论成立 例 5 证明是无理数 2 证明 假设是有理数 则存在互为质数的整数 m n 使得 22 m n 所以即 2mn 22 2mn 所以为偶数 所以为偶数 2 mm 所以设 2 mk kN 从而有即 22 42kn 22 2nk 所以也为偶数 所以为偶数 2 nn 与 m n 互为质数矛盾 所以假设不成立 所求证是无理数成立 2 例 6 已知直线和平面 如果 且 求证 a b ab ab a 证明 因为 所以经过直线 a b 确定一个平面 ab 因为 而 a a 所以 与是两个不同的平面 因为 且 b b 所以 b 下面用反证法证明直线 a 与平面没有公共点 假 设直线 a 与平面有公共点 则 PPb 即点是直线 a 与 b 的公共点 P 这与矛盾 所以 ab a 例 7 已知 0 a b c 1 2 b a 1 2 c b 1 则 2 a c 2 b a 2 c b 1 又因为设 0 a b c 0 且 x y 2 则和中至少有一个小于 2 x y 1 y x 1 证明 假设 2 2 x y 1 y x 1 因为 x y 0 所以 12 12yxxy 可得 x y 2 与 x y 2 矛盾 所以假设不成立 所求证结论成立 例 9 设 0 a b c 1 b c 1 c a 4 1 4 1 4 1 则三式相乘 ab 1 a b 1 b c 1 c a 64 1 又 0 a b c 1 4 1 2 1 1 0 2 aa aa 同理 4 1 1 bb 4 1 1 cc 以上三式相乘 1 a a 1 b b 1 c c 与 矛盾 64 1 所以原式成立 例 10 设二次函数 求证 中至少有一个不小于 qpxxxf 2 3 2 1 fff 2 1 证明 假设都小于 3 2 1 fff 2 1 则 1 2 3 2 2 1 fff 另一方面 由绝对值不等式的性质