2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之一

用心 爱心 专心 1 2010 20112010 2011 年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之一年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之一 第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 一 基础知识 定义 1 一般地 一组确定的 互异的 无序的对象的全体构成集合 简称集 用大写字 母来表示 集合中的各个对象称为元素 用小写字母来表示 元素在集合A中 称属xx 于A 记为 否则称不属于A 记作 例如 Ax xAx 通常用N Z Q B Q 分别表示自然数集 整数集 有理数集 实数集 正有理数集 不 含任何元素的集合称为空集 用来表示 集合分有限集和无限集两种 集合的表示方法有列举法 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法 如 1 2 3 描述法 将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法 例如 有理数 分别表示有理数集和正实数集 0 xx 定义 2 子集 对于两个集合A与B 如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 则A叫做B的子集 记为 例如 规定空集是任何集合的子集 如果A是BA ZN B的子集 B也是A的子集 则称A与B相等 如果A是B的子集 而且B中存在元素不属 于A 则A叫B的真子集 定义 3 交集 BxAxxBA 且 定义 4 并集 BxAxxBA 或 定义 5 补集 若称为A在I中的补集 1 AxIxxACIA 且则 定义 6 差集 BxAxxBA 且 定义 7 集合记作开区间 集合 baRxbxax ba 记作闭区间 R 记作 baRxbxax ba 定理 1 集合的性质 对任意集合A B C 有 1 2 CABACBA CABACBA 3 4 111 BACBCAC 111 BACBCAC 证明 这里仅证 1 3 其余由读者自己完成 1 若 则 且或 所以或 CBAx Ax Bx Cx BAx 即 反之 则 CAx CABAx CABAx 或 即且或 即且 即 BAx CAx Ax Bx Cx Ax CBx CBAx 3 若 则或 所以或 所以BCACx 11 ACx 1 BCx 1 Ax Bx 又 所以 即 反之也有 BAx Ix 1 BACx 111 BACBCAC 111 BCACBAC 定理 2 加法原理 做一件事有类办法 第一类办法中有种不同的方法 第二类办法n 1 m 中有种不同的方法 第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事一共有 2 mn n m 种不同的方法 n mmmN 21 定理 3 乘法原理 做一件事分个步骤 第一步有种不同的方法 第二步有种不n 1 m 2 m 同的方法 第步有种不同的方法 那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法 n mmmN 21 二 方法与例题 1 利用集合中元素的属性 检验元素是否属于集合 例 1 设 求证 22 ZyxyxaaM 用心 爱心 专心 2 1 12ZkMk 2 24ZkMk 3 若 则MqMp Mpq 证明 1 因为 且 所以Zkk 1 22 1 12 kkk 12Mk 2 假设 则存在 使 由于和 24ZkMk Zyx 22 24yxk yx 有相同的奇偶性 所以是奇数或 4 的倍数 不可能等于yx 22 yxyxyx 假设不成立 所以24 k 24Mk 3 设 则Zbayxbaqyxp 2222 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaa Myaxbybxa 22 因为 ZyaxbZyaxa 2 利用子集的定义证明集合相等 先证 再证 则A B BA AB 例 2 设A B是两个集合 又设集合 M 满足 求集合 M 用A B表示 BAMBABAMBMA 解 先证 若 因为 所以MBA BAx BAMA 所以 MxMAx MBA 再证 若 则1 若 则 BAM Mx BAMBAx Ax 2 若 则 所以BAMAx Bx BAMBx BAM 综上 BAM 3 分类讨论思想的应用 例 3 若 02 01 023 222 mxxxCaaxxxBxxxA 求CCAABA ma 解 依题设 再由解得或 2 1 A01 2 aaxx1 ax1 x 因为 所以 所以 所以或 2 所以或 3 ABA AB Aa 111 a2 a 因为 所以 若 则 即 CCA AC C08 2 m2222 m 若 则或 解得 CC 1C 2 3 m 综上所述 或 或 2 a3 a3 m2222 m 4 计数原理的应用 例 4 集合A B C是I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 的子集 1 若 IBA 求有序集合对 A B 的个数 2 求I的非空真子集的个数 解 1 集合I可划分为三个不相交的子集 A B B A 中的每个元素恰属于IBA 其中一个子集 10 个元素共有 310种可能 每一种可能确定一个满足条件的集合对 所以 集合对有 310个 2 I的子集分三类 空集 非空真子集 集合I本身 确定一个子集分十步 第一步 1 或者属于该子集或者不属于 有两种 第二步 2 也有两种 第 10 步 0 也有两种 由乘法原理 子集共有个 非空真子集有 1022 个 1024210 5 配对方法 例 5 给定集合的个子集 满足任何两个子集的交集非 3 2 1 nI k k AAA 21 空 并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质 求的值 k 解 将I的子集作如下配对 每个子集和它的补集为一对 共得对 每一对不能同 1 2 n 在这个子集中 因此 其次 每一对中必有一个在这个子集中出现 否则 k 1 2 n kk 若有一对子集未出现 设为C1A与A 并设 则 从而可以在个 1 AA ACA 11 k 子集中再添加 与已知矛盾 所以 综上 AC1 1 2 n k 1 2 n k 用心 爱心 专心 3 6 竞赛常用方法与例问题 定理 4 容斥原理 用表示集合A的元素个数 则A BABABA 需要 xy此结论可CBACBCABACBACBA 以推广到个集合的情况 即n n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 1 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分 若 且 IAAA n 21 1 jinjiAA ji 则这些子集的全集叫I的一个 划分 n 定理 5 最小数原理 自然数集的任何非空子集必有最小数 定理 6 抽屉原理 将个元素放入个抽屉 必有一个抽屉放有不少于1 mn 1 nn 个元素 也必有一个抽屉放有不多于个元素 将无穷多个元素放入个抽屉必有1 mmn 一个抽屉放有无穷多个元素 例 6 求 1 2 3 100 中不能被 2 3 5 整除的数的个数 解 记 2 2 1001 100 3 2 1 xxxxAI记为整除能被且 由容斥原理 5 1001 3 1001 xxxCxxxB 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA 所以不能被 2 3 5 整除的数有74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 个 26 CBAI 例 7 S 是集合 1 2 2004 的子集 S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7 问 S 中最 多含有多少个元素 解 将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示 由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S 将这 11 个数按连续两个为一组 分成 6 组 其中一组只有一个数 若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个 则必有两个数在同一组 与已知矛盾 所以 S 至多含有其中 5 个数 又因为 2004 182 11 2 所以 S 一共至多含有 182 5 2 912 个元素 另一方面 当 时 恰有 且 S 满足题目条 2004 10 7 4 2 1 11 NkrttkrrS 912 S 件 所以最少含有 912 个元素 例 8求所有自然数 使得存在实数满足 2 nn n aaa 21 2 1 2 1 1 nn njiaa ji 解 当时 当时 当时 2 n1 0 21 aa3 n3 1 0 321 aaa4 n 下证当时 不存在满足条件 1 5 2 0 4321 aaaa5 n n aaa 21 令 则 n aaa 21 0 2 1 nn an 所以必存在某两个下标 使得 所以或ji 1 nji aaa 111 1 nnn aaaa 即 所以或 2 1aaa nn 1 2 a1 2 1 1 nnn aa nn a 2 1 nn an 1 2 a 若 考虑 有或 1 2 1 1 nnn aa nn a2 n a 2 2 nn aa 2 2aaa nn 用心 爱心 专心 4 即 设 则 导致矛盾 故只有2 2 a2 2 nn aa 121 nnnn aaaa 2 2 a 考虑 有或 即 设 则3 n a 2 3 nn aa 3 3aaa nn 3 3 a 2 3 nn aa 推出矛盾 设 则 又推出矛 0221 2aaaa nn 3 3 a 231 1aaaa nn 盾 所以故当时 不存在满足条件的实数 4 22 naan5 n 若 考虑 有或 即1 2 1 2 a nn an2 n a 1 2 nn aa 3 2aaa nn 这时 推出矛盾 故 考虑 有2 3 a 1223 aaaa 2 1 nn aa3 n a 或 即 3 于是 矛盾 因此 2 3 nn aa nn aa3 3 a 3 a 123 nn aaaa 所以 这又矛盾 所以只有 所以3 2 nn aa 1221 1aaaa nn 22 aan 故当时 不存在满足条件的实数 4 n5 n 例 9 设A 1 2 3 4 5 6 B 7 8 9 n 在A中取三个数 B中取两个 数组成五个元素的集合 求的最小值 i A 201 2 20 2 1 jiAAi ji n 解 16 min n 设B中每个数在所有中最多重复出现次 则必有 若不然 数出现次 i Ak4 kmk 则在出现的所有中 至少有一个A中的数出现 3 次 不妨设它是4 k 123 km i A 1 就有集合 1 其中 121 bmaa 1 1 365243 bmaabmaa61 iAai 为满足题意的集合 必各不相同 但只能是 2 3 4 5 6 这 5 个数 这不可能 所以 i a 4 k 20 个中 B中的数有 40 个 因此至少是 10 个不同的 所以 当时 如 i A16 n16 n 下 20 个集合满足要求 1 2 3 7 8 1 2 4 12 14 1 2 5 15 16 1 2 6 9 10 1 3 4 10 11 1 3 5 13 14 1 3 6 12 15 1 4 5 7 9 1 4 6 13 16 1 5 6 8 11 2 3 4 13 15 2 3 5 9 11 2 3 6 14 16 2 4 5 8 10 2 4 6 7 11 2 5 6 12 13 3 4 5 12 16 3 4 6 8 9 3 5 6 7 10 4 5 6 14 15 例 10 集合 1 2 3n 可以划分成个互不相交的三元集合 其中 n zyxzyx3 求满足条件的最小正整数 n 解 设其中第 个三元集为则 1 2 i 2 1 nizyx ii n i i zn 1 43 所以 当为偶数时 有 所以 当为奇数时 有 n i i z nn 1 4 2 13 3 nn388 nn 所以 当时 集合 1 11 4 2 13 5 3 15 6 138 n5 n5 n 9 12 7 10 14 8 满足条件 所以的最小值为 5 n 三 基础训练题 1 给定三元集合 则实数的取值范围是 1 2 xxx x 2 若集合中只有一个元素 则 012 2 RxRaxaxxA a 3 集合的非空真子集有 个 3 2 1 B 用心 爱心 专心 5 4 已知集合 若 则由满足条件的 01 023 2 axxNxxxMMN 实数组成的集合P a 5 已知 且 则常数的取值范围是 2 axxBxxA BA a 6 若非空集合 S 满足 且若 则 那么符合要求的集合 5 4 3 2 1 SSa Sa 6 S 有 个 7 集合之间的关系是 14 12 ZkkYZnnX 与 8 若集合 其中 且 若 则A中元素之和 1 xyxyxAZx Zy 0 yA 0 是 9 集合 且 则满足条件的值构 01 06 2 mxxMxxxPPM m 成的集合为 10 集合 则 9 12 2 RxxyyBRxxyxA BA 11 已知 S 是由实数构成的集合 且满足 1 若 则 如果2 1S Sa S a 1 1 S 中至少含有多少个元素 说明理由 S 12 已知 又C为单元素集合 BACaxyyxBxayyxA 求实数的取值范围 a 四 高考水平训练题 1 已知集合 且A B 则 0 yxByxxyxA x y 2 9 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 BCACBAIBIAI 则 8 6 4 1 BAC 1B CA 3 已知集合 当时 实 121 0310 2 mxmxBxxxA BA 数的取值范围是 m 4 若实数为常数 且 a a xax xAa则 1 1 1 2 5 集合 若 则 1 12 3 3 1 22 mmmNmmM 3 NM m 6 集合 则中的最小元素 27 35 NyybbBNxxaaABA 是 7 集合 且A B 则 0 2222 yxyxBxyyxyxA yx 8 已知集合 且 则的取值范围是 04 0 2 1 pxxB x x xAAB p 9 设集合 05224 01 22 yxxyxBxyyxA 问 是否存在 使得 并证明你的结 bkxyyxC Nbk CBA 论 10 集合A和B各含有 12 个元素 含有 4 个元素 试求同时满足下列条件的集合CBA 用心 爱心 专心 6 的个数 1 且C中含有 3 个元素 2 BAC AC 11 判断以下命题是否正确 设A B是平面上两个点集 222 ryxyxCr 若对任何 都有 则必有 证明你的结论 0 rBCAC rr BA 五 联赛一试水平训练题 1 已知集合 则实数的取ABBx mx xm zzBxxA 且 2 1 1 0 2 m 值范围是 2 集合的子集B满足 对任意的 则集合B 12 2 3 2 1 nnA ByxByx 中元素个数的最大值是 3 已知集合 其中 且 若P Q 2 2 dadaaQaqaqaP 0 aRa 则实数 q 4 已知集合 若是平 1 0 yxxyyxBaayxyxA BA 面上正八边形的顶点所构成的集合 则 a 5 集合 集合 4812 ZnlmlnmuuM 则集合 M 与N的关系是 121620 ZrqprqpuuN 6 设集合 集合A满足 且当时 则A 1995 3 2 1 MMA Ax Ax 15 中元素最多有 个 7 非空集合 则使成立的 223 5312 xxBaxaxABAA 所有的集合是 a 8 已知集合A B aC 不必相异 的并集 则满足条件的有序三 2 1 nCBA 元组 A B C 个数是 9 已知集合 问 1 1 1 22 yxyxCayxyxByaxyxA 当取何值时 为恰有 2 个元素的集合 说明理由 若改为 3 个元素集合 aCBA 结论如何 10 求集合B和C 使得 并且C的元素乘积等于B的元素和 10 2 1 CB 11 S 是Q的子集且满足 若 则恰有一个成立 并且若Qr 0 rSrSr 则 试确定集合 S SbSa SbaSab 12 集合 S 1 2 3 4 5 6 7 8 9