圆锥曲线练习题(文)

第 1 页 共 19 页 圆锥曲线练习题 文 圆锥曲线练习题 文 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 一 选择题一 选择题 1 双曲线的渐近线方程是 22 1 94 xy A B C D xy 2 3 xy 3 2 xy 4 9 xy 9 4 2 已知 P 是以 F1 F2为焦点的双曲线上一点 若 0 0 1 45 2 2 2 2 ba yx 则三角形的面积为 0 21 60PFF 21F PF A 16 B C D 316 3 316 2 316 3 设是椭圆上的一点 为焦点 则的M1 1625 22 yx 1 F 2 F 6 21 MFF 12 MFF 面积为 A B C D 16 3 3 16 23 16 23 16 4 若 则是方程表示双曲线的 条件Rk 3 k1 33 22 k y k x A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 5 设抛物线的顶点在原点 焦点与椭圆的右焦点重合 则此抛物线的方1 26 22 yx 程是 A y2 8xB y2 4x C y2 8x D y2 4x 6 已知点 A 抛物线 C 的焦点 F 射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M 与 2 0 2 4xy 其准线相交于点 N 则 FMMN A B C D 2 51 21 51 3 第 2 页 共 19 页 7 设是右焦点为的椭圆上三个不同的点 1122 9 4 5 A x yBC xyF 22 1 259 xy 则 成等差数列 是 的 AFBFCF 12 8xx A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既非充分也非必要 8 若是和的等比中项 则圆锥曲线的离心率是 m28 2 2 1 y x m A B C 或 D 或 3 2 5 3 2 5 2 3 2 5 9 已知 m 是两个正数 2 和 8 的等比中项 则圆锥曲线的离心率是 1 2 2 m y x A 或 B C D 或 2 3 2 5 2 3 5 2 3 5 10 已知椭圆 的左焦点为 则 22 2 1 25 xy m 0m 1 F4 0 m A B C D 9432 11 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于两点 是椭圆的一个焦点 1 1625 22 yx QP F 则周长的最小值是 PQF A 14 B 16 C 18 D 20 12 若椭圆过抛物线的焦点 且与双曲线有相同的 22 22 1 xy ab 2 8yx 22 1xy 焦点 则该椭圆的方程是 A B C D 22 1 42 xy 2 2 1 3 x y 22 1 24 xy 2 2 1 3 y x 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 第 3 页 共 19 页 二 填空题二 填空题 13 椭圆的 离心率为 1243 22 yx 14 已知 是椭圆的两个焦点 为椭圆上一点 且 1 F 2 F 22 1 259 xy C P 则的面积 12 90FPF 12 PFF 15 已知椭圆的左右焦点为 F1 F2 点 P 在椭圆上 且 PF1 6 则 22 1 2518 xy 12 FPF 16 以椭圆的两个焦点为边作正三角形 若椭圆恰好平1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21F F 分正三角形的另外两条边 且 则等于 4 21 FFa 三 解答题三 解答题 17 本小题满分 12 分 已知椭圆经过点 A 0 4 离心率为 22 22 x 1 0 y ab ab 5 3 1 求椭圆 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的中点坐标 5 4 第 4 页 共 19 页 18 12 分 已知椭圆的离心率为 椭圆 C 的长轴长为 22 22 1 0 xy Cab ba 3 2 4 1 求椭圆 C 的方程 2 已知直线与椭圆 C 交于 A B 两点 是否存在实数 k 使得以线段 3l ykx AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 19 本小题满分 12 分 已知椭圆经过点 离心率 22 22 10 xy Ca b ab 3 1 2 P 1 2 e 1 求椭圆的方程 C 第 5 页 共 19 页 2 不过原点的直线 与椭圆交于两点 若的中点在抛物线lC A BABM 上 求直线 的斜率的取值范围 2 4E yx lk 20 本小题满分 12 分 已知直线 l y x 2过椭圆33 C a b 0 的右焦点 且椭圆的离心率为 2 22 1 x ab 2 y 6 3 求椭圆 C 的方程 过点 D 0 1 的直线与椭圆 C 交于点 A B 求 AOB 的面积的最大值 21 已知椭圆 a b 0 的两个焦点分别为 离心率为 过 22 22 1 xy C ab 12 F F 1 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 且的周长为 8 1 F 2 MNF 求椭圆 C 的方程 第 6 页 共 19 页 过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A B 两点 证明 点 O 到直 线AB的距离为定值 并求出这个定值 22 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 离心率为 椭圆上的点到焦Cx 1 2 C 点距离的最大值为 3 求椭圆的标准方程 C 若过点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 求实 0 PmlC A B3APPB 数 的取值范围 m 第 7 页 共 19 页 参考答案参考答案 1 B 解析 分析 把双曲线的标准方程中的 1 换成 0 即得渐近线方程 化简即可得到所求 解 双曲线方程为 则渐近线方程为线 22 1 94 xy 22 0 94 xy 即 y x 2 3 故答案为 B 点评 本题考查双曲线的标准方程 以及双曲线的简单性质的应用 把双曲线的标准方程 中的 1 换成 0 即得渐近线方程 2 B 解析 试题分析 由双曲线的定义可知 1 12 10 PFPF 2 222 121212 2 cos60164FFPFPFPFPF 所以 1 平方减去 2 式可得 1212 113 64 sin606416 3 222 PFPFSPFPF 考点 双曲线的定义 余弦定理 三角形的面积公式 点评 根据双曲线的定义及余弦定理可推导出焦点三角形的面积公式 12 2 12 cot 2 F PF SbFPF 为 3 C 解析 因为设是椭圆上的一点 为焦点 则M1 1625 22 yx 1 F 2 F 6 21 MFF 的面积为 选 B 12 MFF 16 tan16 23 12 4 A 第 8 页 共 19 页 解析 略 5 C 解析 试题分析 的右焦点为 F 2 0 所以抛物线中 2 4 抛物线的方程1 26 22 yx 2 p p 是 y2 8x 故选 C 考点 本题主要考查抛物线 椭圆的标准方程及几何性质 点评 简单题 利用椭圆的几何性质可得抛物线焦点坐标 6 C 解析 55 5 2 5 2 5 22 5 55555 55 1 5 222 MNFM FAANMNFM FNFM FN MNFMMNC 则 故选 考点 本题主要考查抛物线的概念 标准方程 直线与抛物线相交的基础知识 考查几何 能力 7 A 解析 椭圆的右焦点 右准线为 离心率 则根据椭 22 1 259 xy 4 0 F 25 4 x 4 5 e 圆第二定义可得 若 12 4 254 2594 25 4 5454554 AFxBFCFx 成等差数列 则 即 AFBFCF2 BFAFCF 化简可得 反之也成立 所以 12 184 254 25 55454 xx 12 8xx 成等差数列 是 的充要条件 故选 A AFBFCF 12 8xx 答案 D 解析 试题分析 若 则圆锥曲线为椭圆 其离 2 2 8164mm 4m 2 2 1 y x m 第 9 页 共 19 页 心率为 若 则圆锥曲线为双曲线 其离心率为 故选 D 3 2 4m 2 2 1 y x m 5 考点 圆锥曲线的离心率 9 D 解析 试题分析 正数 m 是 2 8 的等比中项 m 4 椭圆 2 2 816m 的方程为 其离心率 故选 B 1 2 2 m y x 2 2 1 4 y x 4 13 22 e 考点 1 等比中项的性质 2 离心率 10 C 解析 由题意得 因为 所以 故选 C 22 2549m 0m 3m 考点 椭圆的简单几何性质 11 C 解析 试题分析 如下图设为椭圆的左焦点 右焦点为 根据椭圆的对称性可知 F 2 F 2 FQPF 所以的周长为OPOQ PQF 易知 2 2 22 102 PFFQPQPFPFPOaPOPO 的最小值为椭圆的短轴长 即点为椭圆的上下顶点时 的周长取得最2 OP P QPQF 小值 故选 C 102 418 第 10 页 共 19 页 考点 1 椭圆的标准方程及其几何性质 12 A 解析 试题分析 根据题意值抛物线的焦点为 双曲线的焦点在轴上且为 所 2 0 x 2 0 以椭圆的焦点在轴上 则由解得 所以所求椭圆的方程为x 222 2 2 c a abc 2 2 2 a b 选择 A 22 1 42 xy 考点 1 抛物线的焦点坐标 2 双曲线的焦点坐标 3 椭圆的标准方程 13 2 1 解析 试题分析 因为 所以 所以1243 22 yx1 34 22 yx 1 3 2 cba 所以椭圆的离心率 2 1 e 考点 椭圆的性质 14 9 解析 略 15 第 11 页 共 19 页 解析 略 16 13 解析 试题分析 根据题意 所以4 21 FF2 1 BF32 2 BF 3122 21 aBFBF31 a 考点 1 椭圆的定义 2 等边三角形的性质 17 1 2 1 1625 22 yx 5 6 2 3 解析 试题分析 1 待定系数法求椭圆方程 20 先求出直线方程代入椭圆方程 然后由韦 达定理求出两根之和 再求出中点横坐标 最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果 试题解析 1 因为椭圆经过点 A 所以 b 4 又因离心率为 所以 5 3 5 25 9 1 5 3 2 2 a a b a c 所以椭圆方程为 1 1625 22 yx 依题意可得 直线方程为 并将其代入椭圆方程 得 3 5 4 xy1 1625 22 yx 083 2 xx 2 设直线与椭圆的两个交点坐标为 则由韦达定理得 2211 yxyx3 21 xx 所以中点横坐标为 并将其代入直线方程得 22 3 21 xx 5 6 y 故所求中点坐标为 5 6 2 3 考点 求椭圆方程 直线与椭圆相交求弦的中点坐标 第 12 页 共 19 页 18 1 2 存在实数使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标 2 2 1 4 y x 11 2 k 原点 O 解析 试题分析 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质 直线与椭圆的位置关系等基础知 识 考查学生的分析问题解决问题的能力 转化能力 计算能力 第一问 利用椭圆的离 心率和长轴长列出方程 解出 a 和 c 的值 再利用计算 b 的值 从而得到椭圆 222 abc 的标准方程 第二问 将直线与椭圆联立 消参 利用韦达定理 得到 由 12 xx 12 x x 于以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O 所以 即 代0OA OB 1212 0 x xy y 入和 解出 k 的值 12 x x 12 y y 试题解析 1 设椭圆的焦半距为 c 则由题设 得 2 3 2 a c a 解得 所以 2 3 a c 222 431bac 故所求椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 y x 2 存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O 理由如下 设点 11 A x y 22 B xy 将直线 的方程代入 l3ykx 2 2 1 4 y x 并整理 得 22 4 2 310kxkx 则 12 2 2 3 4 k xx k 12 2 1 4 x x k 第 13 页 共 19 页 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O 所以 即 0OA OB 1212 0 x xy y 又 2 121212 3 3y yk x xk xx 于是 解得 22 22 16 30 44 kk kk 11 2 k 经检验知 此时 式的 0 符合题意 所以当时 以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O 11 2 k 考点 椭圆的标准方程及其几何性质 直线与椭圆的位置关系 19 1 2 22 1 43 xy 66 00 88 解析 试题分析 1 由已知 又椭圆过点 因此有 再结合 1 2 c e a 3 1 2 P 22 9 1 4 1 ab 联立可解得 2 这类题解题方法是设直线方程为 222 abc 2 3ab AB ykxm 1122 A x yB xy 把代入椭圆方程整理得 因此 00 M xyykxm 222 3484120kxkmxm 有 即 这是很重要的不等式 求的范围就要用它 另外有0 22 430km k 这样可得点的坐标为 而点在抛物线 12 2 8 34 km xx k M 22 43 3434 kmm M kk M 上 因此把此坐标代入抛物线方程可得的关系 代入刚才的 m k 2 2 1634 9 kk m 不等式 就可求出的范围 k 第 14 页 共 19 页 试题解析 1 22 1 43 xy C 2 设直线 1122 0 l ykxm mA x yB xy 00 M xy 由 22 3412 ykxm xy 得 6 分 222 3484120kxkmxm 0 2 22 84 34412kmkm 即 0 1 22 43km 又 12 2 8 34 km xx k 故 22 43 3434 kmm M kk 将代入得 22 43 3434 kmm M kk 2 4yx 2 2 1634 2 9 kk mko 将 2 代入 1 得 222 163481kk 解得且 即 12 分 66 88 k 0k k 66 00 88 考点 椭圆的标准方程 直线和圆锥曲线的位置关系 20 22 1 62 xy 3 解析 第 15 页 共 19 页 试题分析 通过分析可知直线 与轴的交点为 得 又 lx 2 0 2c 6 3 c e a 得 利用 可得即可求得椭圆方程为 6a 222 2bac 2 2 b 22 1 62 xy 可设直线方程为 AB1ykx 设 故 1122 A x yB xy 为此可联立 2 121212 11 4 22 AOBAODBOD SSSOD xxxxx x 整理得 利用韦达定理 求出 22 1 1 62 ykx xy 22 31 630kxkx 1212 22 63 3131 k xxx x kk A 可得 AOB S 2 22222 2 31 121 33 31 31 31 k kkk 令则 科当 即时 2 1 31 t k 22 323 1 1 AOB Sttt 1 t0k 的最大值为 AOB S 3 试题解析 椭圆的焦点为直线 与轴的交点 ab lx 直线 与轴的交点为 椭圆的焦点为 1 分lx 2 0 2 0 2c 又 3 分 6 3 c e a 6a 222 2bac 椭圆方程为 4 分 22 1 62 xy 直线的斜率显然存在 设直线方程为ABAB1ykx 第 16 页 共 19 页 设 由 得 1122 A x yB xy 22 1 1 62 ykx xy 22 31 630kxkx 显然 6 分0 1212 22 63 3131 k xxx x kk A 8 分 2 121212 11 4 22 AOBAODBOD SSSOD xxxxx x 22 22222 1361261 3 2 31 31 31 kk kkk 10 分 2 22222 2 31 121 33 31 31 31 k kkk 令则 2 1 31 t k 0 1t 22 323 1 1 AOB Sttt 即时 的最大值为 12 分1t 0k AOB S 3 考点 1 椭圆的标准方程 2 直线与曲线相交问题 21 22 1 43 xy 2 21 7 解析 试题分析 由的周长为 8 得 4a 8 由得 2 MNF 1 2 e 2 2 2 2 2 2 3 1 4 ac e a b a 从而可求得 b 分情况进行讨论 由题意 当直线 AB 的斜率不存在 此时可设 再由 A B 在椭圆上可求 此时易求点 O 到直线 AB 的距离 0000 A xxB xx 0 x 当直线 AB 的斜率存在时 设直线 AB 的方程为 y kx m 代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方 程 知 由 OA OB 得 即整理后0 1212 0 x xy y 1212 0 x xkxmkxm 代入韦达定理即可得 m k 关系式 由点到直线的距离公式可求得点 O 到直线 AB 的距离 综合两种情况可得结论 注意检验 0 第 17 页 共 19 页 试题解析 由题意知 4a 8 所以 a 2 因为 所以 1 2 e 所以椭圆 C 的方程 2 2 2 2 2 2 3 1 4 ac e a b a 2 3b 22 1 43 xy 由题意 当直线 AB 的斜率不存在 此时可设又 A B 两 0000 A xxB xx 点在椭圆 C 上 所以点 O 到直线 AB 的距离 22 2 00 0 12 1 437 xx x 122 21 77 d 当直线 AB 的斜率存在时 设直线 AB 的方程为 y kx m 消去 y 得 22 1 43 x ykxm y 222 3484120kxkmxm 由已知 设 0 1122 A xyB xy 2 1212 22 84 3434 12kmm xxx x kk 22 121212121212 0010OAOBx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 满足 所以点 O 到直线 2 22 22 2222 8412 343 10711 4 2 m kk k m kmmk 0 AB 的距离为定值 2 122 21 77 1 m d k 考点 椭圆标准方程 直线与圆锥曲线的位置关系 22 22 1 43 xy 33 3 3 22 解析 试题分析 椭圆上的点到焦点距离的最大值为 且离心率为 结合C3ac 1 2 求得的值 进而求椭圆方