2011年《新高考数学全案》高考数学总复习配套测评卷单元检测卷（四）导数及应用（选修 文 理）新人教版

20112011 年年 新高考全案新高考全案 高考总复习配套测评卷高考总复习配套测评卷 单元检测卷单元检测卷 四四 导数及应用导数及应用 选修选修 文文 理理 时间 90 分钟 满分 150 分 一 选择题 共 8 小题 每小题 7 分 满分 56 分 1 山东东营第一学期期末 函数f x x3 3x 1 在闭区间 3 0 上的最大值 最 小值分别是 A 1 1 B 1 17 C 3 17 D 9 19 解析 f x 3x2 3 令f x 0 得x 1 则它们的极值点为f 1 f 1 端点处f 3 f 0 又f 1 1 f 1 3 f 3 3 3 3 3 1 17 f 0 1 则最大值为 3 最小值为 17 答案 C 2 已知f x x2 2xf 1 则f 0 等于 A 0 B 4 C 2 D 2 解析 因为f x 2x 2f 1 令x 1 可得f 1 2 2f 1 所以得f 1 2 又令x 0 可得f 0 2f 1 4 答案 B 3 2008 安徽文 设函数f x 2x 1 x 0 则f x 1 x A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 答案 A 4 曲线y 2x x3在横坐标为 1 的点处的切线为l 则点P 3 2 到直线l的距离为 A B 7 2 2 9 2 2 C D 11 2 2 9 10 10 答案 A 5 2008 海南 宁夏理 由直线x x 2 曲线y 及x轴所围图形的面积是 1 2 1 x A B 15 4 17 4 C ln2 D 2ln2 1 2 答案 D 6 2009 全国卷 理 已知直线y x 1 与曲线y ln x a 相切 则a的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 解析 设切点P x0 y0 则y0 x0 1 y0 ln x0 a 又 y x x0 1 1 x0 a x0 a 1 y0 0 x0 1 a 2 故答案选 B 答案 B 7 2008 福建理 已知函数y f x y g x 的导函数的图象如右图 那么y f x y g x 的图象可能是 答案 D 8 2008 广东理 设a R R 若函数y eax 3x x R R 有大于零的极值点 则 A a 3 B a 3 C a D a 1 3 1 3 答案 B 二 填空题 共 6 小题 每小题 7 分 满分 42 分 9 2009 广州一模 若xdx 1 则实数a的值是 a 0 答案 2 10 2009 福建 14 若曲线f x ax3 lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取 值范围是 解析 f x 3ax2 1 x f x 存在垂直于y轴的切线 f x 0 有解 即 3ax2 0 有解 1 x 3a 而x 0 a 0 1 x3 答案 0 11 2009 江苏 3 函数f x x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x2 10 x 11 3 x 1 x 11 0 解得 1 x 11 故减区间为 1 11 答案 1 11 12 函数y x sinx x 的最大值是 2 答案 13 广东惠州高二模拟 如图 函数g x f x x2的图象在点P处的切线方程是 1 5 y x 8 则f 5 f 5 解析 F 5 f 5 5 5 8 3 所以f 5 2 又F x f x x 所以 2 5 F 5 f 5 5 1 解得f 5 3 f 5 f 5 5 2 5 答案 5 14 2009 陕西卷文 设曲线y xn 1 n N N 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐 标为xn 则x1 x2 xn的值为 解析 对y xn 1 n N N 求导得y n 1 xn 令x 1 得在点 1 1 处的切线的斜 率k n 1 在点 1 1 处的切线方程为y 1 k xn 1 n 1 xn 1 不妨设 y 0 xn 则x1 x2 xn n n 1 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1 1 n 1 答案 1 n 1 三 解答题 共 4 小题 满分 52 分 15 本小题满分 12 分 已知函数f x x3 mx2 m2x 1 m为常数 且m 0 有极大 值 9 1 求m的值 2 若斜率为 5 的直线是曲线y f x 的切线 求此直线方程 解 本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力 1 f x 3x2 2mx m2 x m 3x m 0 则x m或x m 1 3 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 x m m m m 1 3 m 1 3 m 1 3 f x 0 0 f x 极大值 极小值 从而可知 当x m时 函数f x 取得极大值 9 即f m m3 m3 m3 1 9 m 2 2 由 1 知 f x x3 2x2 4x 1 依题意知f x 3x2 4x 4 5 x 1 或x 1 3 又f 1 6 f 1 3 68 27 所以切线方程为y 6 5 x 1 或y 5 x 68 27 1 3 即 5x y 1 0 或 135x 27y 23 0 16 天津卷 21 本小题满分 12 分 已知函数f x x4 ax3 2x2 b x R R 其中 a b R R 1 当a 时 讨论函数f x 的单调性 10 3 2 若函数f x 仅在x 0 处有极值 求a的取值范围 解 1 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 当a 时 f x x 4x2 10 x 4 2x 2x 1 x 2 10 3 令f x 0 解得x1 0 x2 x3 2 1 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 f x 0 0 0 f x 极小值 极大值 极小值 所以f x 在 0 2 内是增函数 在 0 2 内是减函数 1 2 1 2 2 f x x 4x2 3ax 4 显然x 0 不是方程 4x2 3ax 4 0 的根 为使f x 仅在x 0 处有极值 必须 4x2 3ax 4 0 成立 即有 9a2 64 0 解此不等式 得 a 8 3 8 3 这时 f 0 b是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 8 3 8 3 17 本小题满分 14 分 设函数f x ax3 bx2 3a2x 1 a b R R 在x x1 x x2处 取得极值 且 x1 x2 2 1 若a 1 求b的值 并求f x 的单调区间 2 若a 0 求b的取值范围 分析 本小题主要考查函数的导数 单调性 极值 最值等基础知识 考查综合利 用导数研究函数的有关性质的能力 解 f x 3ax2 2bx 3a2 1 当a 1 时 f x 3x2 2bx 3 由题意知x1 x2为方程 3x2 2bx 3 0 的两根 所以 x1 x2 4b2 36 3 由 x1 x2 2 得b 0 从而f x x2 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 故f x 在 1 1 单调递减 在 1 1 单调递增 2 由 式及题意知x1 x2为方程 3x2 2bx 3a2 0 的两根 所以 x1 x2 4b2 36a3 3a 从而 x1 x2 2 b2 9a2 1 a 由上式及题设知 0 a 1 考虑g a 9a2 9a3 g a 18a 27a2 27a a 2 3 故g a 在 0 单调递增 在 1 单调递减 从而g a 在 0 1 的极大值为g 2 3 2 3 2 3 4 3 又g a 在 0 1 上只有一个极值 所以g 为g a 在 0 1 上的最大值 且最小值 2 3 4 3 为g 1 0 所以b2 0 即b的取值范围为 4 3 2 3 3 2 3 3 18 本小题满分 14 分 已知x 3 是函数f x aln 1 x x2 10 x的一个极值点 1 求a 2 求函数f x 的单调区间 3 若直线y b与函数y f x 的图象有 3 个交点 求b的取值范围 解 1 因为f x 2x 10 a 1 x 所以f 3 6 10 0 a 4 因此a 16 2 由 1 知 f x 16ln 1 x x2 10 x x 1 f x 2 x2 4x 3 1 x 当x 1 1 3 时 f x 0 当x 1 3 时 f x 0 所以f x 的单调增区间是 1 1 3 f x 的单凋减区间是 1 3 3 由 2 知 f x 在 1 1 内单调增加 在 1 3 内单调减少 在 3 上单调增 加 且当x 1 或x 3 时 f