北京市昌平区2013届高三数学第二次质量抽测 理（昌平二模）（含解析）

1 昌平区昌平区 20122012 20132013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数数 学学 试试 卷 理科 卷 理科 满分 150 分 考试时间 120 分钟 2013 42013 4 考生须知 考生须知 1 本试卷共 6 页 分第 卷选择题和第 卷非选择题两部分 2 答题前考生务必将答题卡上的学校 班级 姓名 考试编号用黑色字迹的签字笔填写 3 答题卡上第 I 卷 选择题 必须用 2B 铅笔作答 第 II 卷 非选择题 必须用黑色字迹的 签字笔作答 作图时可以使用 2B 铅笔 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分 4 修改时 选择题部分用塑料橡皮擦涂干净 不得使用涂改液 保持答题卡整洁 不要 折叠 折皱 破损 不得在答题卡上做任何标记 5 考试结束后 考生务必将答题卡交交监考老师收回 试卷自己妥善保存 第 卷 选择题卷 选择题 共共 4040 分 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符 合题目要求的一项 1 已知集合 则 21 x Ax 1 Bx x AB A B C D 1 x x 0 x x 01 xx 1 x x 答案 C 解析 所以 选 C 21 0 x Axx x AB 01 xx 2 已知命题 那么下列结论正确的是 px R2x A 命题 B 命题 2pxx R 2pxx R C 命题 D 命题 2pxx R 2pxx R 答案 B 解析全称命题的否定是特称命题 所以命题 选 B 2pxx R 3 圆的圆心到直线 为参数 的距离为 22 2 1xy 3 2 xt yt t A B 1 C D 2 2 22 2 答案 A 解析直线的直角方程为 所以圆心到直线的距离为 选 A 10 xx 0 2 12 22 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 2 2 22 侧 侧 侧 3 3 4 4 设与抛物线的准线围成的三角形区域 包含边界 为 0 0 xy xy 2 4yx D 为内的一个动点 则目标函数的最大值为 yxPD2zxy A B C D 1 023 答案 D 解析抛物线的准线方程为 所以做出对应的三角形区域如图1x 由 得 平移直线 由2zxy 1 22 z yx 1 22 z yx 图象可知当直线经过点 D 时 直线的截距最小 此时 z 最大 由 1 22 z yx 1 22 z yx 得 即 代入得最大值 选 D 1 0 x xy 1 1 x y 1 1 D 2zxy 2123zxy 5 在区间上随机取一个数 则事件 发生的概率为 0 x 1 tancos 2 xx g A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 答案 C 解析由得 解得 所以事件 发生 1 tancos 2 xx g 1 sin 2 x 5 66 x 1 tancos 2 xx g 的概率为 选 C 5 2 66 3 6 已知四棱锥的三视图如图所示 PABCD 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A 3 B 2 5 C 6 D 8 3 E D C BA 答案 C 解析由三视图可知该几何体是四棱锥 顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点 底面边 长分别为 4 2 后面是等腰三角形 腰为 3 所以后面的三角形的高为 此 22 325 三角形的面积为 两个侧面面积为 前面三角形的面积为 1 452 5 2 1 2 33 2 所以四棱锥 P ABCD 的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积 22 1 4 5 26 2 6 选 C 7 如图 在边长为 2 的菱形ABCD 中 为的中点 60BAD ECD 则的值为AE BD A 1 B C D 357 答案 A 解析 因为 所以 1 2 AEADDEADAB BDADAB 60BAD 所以 1 cos602 22 2 AD ABADAB 1 2 AE BDADABADAB 选 A 22 22 1111 2221 2222 ADABAB AD 8 设等比数列的公比为 其前项的积为 并且满足条件 n aqn n T 1 1a 给出下列结论 99100 10a a 99 100 1 0 1 a a 01q 99101 10aa 的值是中最大的 使成立的最大自然数等于 198 100 T n T1 n T n 其中正确的结论是 A B C D 答案 B 解析 由得 由得 即 99 100 1 0 1 a a 99100 1 1 0aa 99100 10a a 99100 1a a 所以 所以 正确 因为 99100 1 01aa 100 99 0 1 a q a 100 01a 所以 即 错误 2 99101100 1aaa 99101 10aa 所以 错误 100 01a 1009910099 TTaT 4 而 2 198121981 19821979910099100 1Ta aaa aa aa aa a 所以使成立的最大自然数 199121991 199219899101100 1Ta aaa aa aa aa 1 n T 等于 198 所以 正确 所以选 B n 第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 110110 分 分 一 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 二项式的展开式中的系数为 5 1 2 x x 3 x 答案 80 解析展开式的通项公式为 由 解得 555 2 155 1 2 2 kkkkkk k TCxCx x 523k 1k 所以 所以的系数为 80 1433 252 80TCxx 3 x 10 双曲线的一条渐近线方程为 则 2 2 2 1 0 y xb b 3yx b 答案 解析双曲线的渐近线方程为 即 ybx 3b 11 如图 切圆O于点 为圆O的直径 交圆O于点 为的中ABAACBCDECD 点 且则 5 6 BDAC CD AE E D C B A O 答案 42 6 解析连结 AD 则 设 则 同时90ADC CDx 2 5 5 ABBD BCx 所以 即 2222 5 36ABBCACx 2 5 365 5 xx 2 5360 xx 解得或 舍去 即 则4x 9x 4CD 所以 22 2 36 1620DEADACCD 所以 22222 2 20 24AEDEAD 242 6AE 5 12 执行如图所示的程序框图 若 是时 输出的值为 6i S 若 是时 输出的值为 2013i S 开始 10iS 1 2 i i a cos i SSa 输出S 结束 1ii 图 1 是 否 答案 52013 解析若 是时 当时 当时 6i 1i 1 111 2 aS cos 2i 当时 2 2 101 2 aS cos 3i 3 3 11112 2 aS cos 当时 当时 4i 4 4 12224 2 aS cos 5i 当时 此时不满足条件输出 5 5 11415 2 aS cos 6i 5S 6 是 因为的周期是 所以 所以2013i 1 2 i i a cos 2 4 2 1234 4aaaa 12201312342013 503 Saaaaaaaa 1 503 42013a 13 已知函数 若关于的方程有两个不同的实 2 4 1 4 log 04 x f xx xx x f xk 根 则实数的取值范围是 k 答案 解析当单调递减 且 当时 单调 4 4 1xf x x 4 1 12 x 04x 2 logf xx 递增 且 所以要使方程有两个不同的实根 则有 2 log2f xx f xk 12k 14 曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点C 1 1lx 2 1ly 2 0kk 的轨迹 给出下列四个结论 曲线过点 C 1 1 曲线关于点对称 C 1 1 若点在曲线上 点分别在直线上 则不小于PC A B 12 l lPAPB 2 k 设为曲线上任意一点 则点关于直线 点及直线对称的点 0 PC 0 P1x 1 1 1y 分别为 则四边形的面积为定值 1 P 2 P 3 P 0123 P PP P 2 4k 其中 所有正确结论的序号是 答案 解析设动点为 则由条件可知 将代入得 所以 x y 2 11xyk 1 1 2 0k 不成立 故方程不过此点 所以 错 把方程中的被代换 被 代换 方x2x y2y 程不变 故此曲线关于对称 正确 由题意知点 P 在曲线 C 上 点 A B 分别 1 1 在直线上 则 所以 故 正确 12 l l1 1PAxPBy 22PAPBPA PBk 由题意知点 P 在曲线 C 上 根据对称性 则四边形的面积为 0123 P PP P 所以 正确 综上所有正确结论的序号是 2 21 214114xyxyk 7 P F E D C BA 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 sin 2 2 3cos Rf xxx x 求 6 f 求的最小正周期及单调递增区间 xf 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥中 底面是边长为的正方形 PABCD ABCD2 侧面底面 且 PAD ABCD 2 2 PAPDAD 分别为 的中点 EFPCBD 求证 平面 EFPAD 求证 面平面 PAB PDC 在线段上是否存在点使得AB G 二面角的余弦值为 说明理由 CPDG 1 3 17 本小题满分 13 分 某市为了提升市民素质和城市文明程度 促进经济发展有大的提速 对市民进行了 生活满 意 度的调查 现随机抽取 40 位市民 对他们的生活满意指数进行统计分析 得到如下分 布表 满意级别 非常满意 满意 一般 不满意 满意指数 分 90 60 30 0 人数 个 15 17 6 2 I 求这 40 位市民满意指数的平均值 II 以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数 若从全市市民 人 数很多 中任选 3 人 记 表示抽到满意级别为 非常满意或满意 的市民人数 求 的分 布列 III 从这 40 位市民中 先随机选一个人 记他的满意指数为 然后再随机选另一个m 人 记他的满意指数为 求的概率 n60nm 8 18 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 ln 0 2 f xxax a 若求在处的切线方程 2 a f x 1 1 f 求在区间上的最小值 f x 1 e III 若在区间上恰有两个零点 求的取值范围 f x 1 e a 19 本小题满分 13 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的长 轴为 过点的直线 与轴垂直 椭ABBlx 圆的离心率 为椭圆的左焦点 3 2 e F 且 1AFBF g I 求此椭圆的方程 II 设是此椭圆上异于的任意一点 轴 为垂足 延长到点使P A BPHx HHPQ 得 连接并延长交直线 于点为的中点 判定直线与以为HPPQ AQl MNMBQNAB 直径的圆的位置关系 O 20 本小题满分 14 分 设数列对任意都有 其中 n a Nn 112 2 nn knb aapaaa kb 是常数 p I 当 时 求 0k 3b 4p 123n aaaa II 当 时 若 求数列的通项公式 1k 0b 0p 3 3a 9 15a n a III 若数列 n a中任意 不同 两项之和仍是该数列中的一项 则称该数列是 封 闭数列 当 时 设 n S是数列 n a的前n项和 1k 0b 0p l y x N M Q P HFOBA 9 试问 是否存在这样的 封闭数列 n a 使得对任意 21 2aa Nn 都有 且 若存在 求数列 n a的首项0 n S 123 1111111 1218 n SSSS 的所有取值 若不存在 说明理由 1 a 10 昌平区昌平区 20122012 20132013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数数 学学 试卷试卷 参考答案 理科 参考答案 理科 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符 合题目要求的一项 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D CC A B 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 10 803 11 12 42 652013 13 14 1 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 解 4 分 2 sin 2 2 3cossin23cos232sin 2 3 3 f xxxxxx 6 分 3 2sin 3232 3 6332 f 的最小正周期 8 分 2sin 2 3 3 f xx 2 2 T 又由可得 5 222 Z 2321212 kxkkxkk 函数的单调递增区间为 13 分 xf 5 Z 1212 kkk 16 本小题满分 14 分 证明证明 连结 ACBDF 为正方形 为中点 ABCDFAC 为中点 EPC 在中 2 分CPA EFPA 且平面 平面 4 分PA PADEF PAD EFPAD平面 证明证明 因为平面平面 平面面 PAD ABCDPAD ABCDAD 为正方形 平面ABCDCDAD CD ABCD 11 G z y x O P F E D C BA 所以平面 CD PAD 6 分CDPA 又 所以是等腰直角三角形 2 2 PAPDAD PAD 且 即 2 APD PAPD 且 面 CDPDD CDPD PDC 面 PA PDC 又面 PA PAB 面面 9 分PAB PDC 如图 取的中点 连结 ADOOP OF PAPD POAD 侧面底面 PAD ABCD PADABCDAD 平面平面 POABCD 平面 而分别为的中点 O F AD BD OFAB 又是正方形 故 ABCDOFAD 2 2 PAPDAD PAPD 1OPOA 以为原点 直线分别为轴建立空间直角坐标系 O OA OF OP x y z 则有 1 0 0 A 0 1 0 F 1 0 0 D 0 0 1 P 若在上存在点使得二面角的余弦值为 连结AB GCPDG 1 3 PG DG 设 1 0 02 Gaa 由 知平面的法向量为 PDC 1 0 1 PA 设平面的法向量为 PGD nx y z 1 0 1 2 0 DPGDa 由可得 令 则 0 0n DPn GD 00 200 xyz xa yz 1x 2 1yz a 12 故 2 1 1 n a 2 2 221 cos 4 34 2 22 n PA n PA n PA a a 解得 1 2 a 所以 在线段上存在点 使得二面角的余弦值为 AB 1 1 0 2 GCPDG 1 3 14 分 17 本小题满分 13 分 解 解 记表示这 40 位市民满意指数的平均值 则X 分 2 分 1 90 1560 1730 60 2 63 75 40 X 的可能取值为0 1 2 3 125 1 5 1 5 4 0 300 3 CP 125 12 5 1 5 4 1 211 3 CP 125 48 5 1 5 4 2 122 3 CP 125 64 5 1 5 4 3 033 3 CP 的分布列为 0 12 3 P 125 1 125 12 125 48 125 64 8 分 设所有满足条件60 mn的事件为A 满足600 nm且的事件数为 11 217 34A A 满足900 nm且的事件数为 11 215 30A A 满足9030 nm且的事件数为 11 615 90A A 2 40 34309077 780 P A A 所以满足条件60 mn的事件的概率为 13 分 77 780 13 18 本小题满分 13 分 解 I 2 a 2 12 2ln 2 f xxx fxx x 1 1 1 1 2 ff 在处的切线方程为 3 分 f x 1 1 f2230 xy 由 2 axa fxx xx 由及定义域为 令0a 0 0 fxxa 得 若在上 在上单调递增 1 01 aa 即 1 e 0fx xf 1 e 因此 在区间的最小值为 f x 1 e 1 1 2 f 若在上 单调递减 在上 2 1e 1e aa 即1 a 0fx xf e a 单调递增 因此在区间上的最小值为 0fx xf f x 1 e 1 1 ln 2 faaa 若在上 在上单调递减 2 e e aa 即 1 e 0fx xf 1 e 因此 在区间上的最小值为 f x 1 e 2 1 e e 2 fa 综上 当时 当时 01a min 1 2 fx 2 1ea min 1 1 ln 2 fxaa 当时 9 分 2 ea 2 min 1 e 2 fxa III 由 II 可知当或时 在上是单调递增或递减函数 不01a 2 ea xf 1 e 可能存在两个零点 当时 要使在区间上恰有两个零点 则 2 1ea f x 1 e 即 此时 2 1 1 ln 0 2 1 1 0 2 1 e e0 2 aa f fa 2 e 1 e 2 a a 2 1 ee 2 a 14 所以 的取值范围为 13 分a 2 1 e e 2 19 本小题满分 13 分 解 由题意可知 0 Aa 0 B a 0 Fc 1AFBFac ac g 222 1acb 又 解得 3 2 e 2222 2 222 13 4 caba e aaa 2 4a 所求椭圆方程为 5 分 2 2 1 4 x y 设 则 00 P xy 00 2 Q xy 00 2 2 xx 由 2 0 A 得 0 0 2 2 AQ y k x 所以直线方程AQ 0 0 2 2 2 y yx x 由得直线 2 0 B l2 x 的方程为 0 0 8 2 2 y M x 0 0 4 2 2 y N x 由 0 0 000 2 00 4 2 22 24 NQ y y xx y k xx 又点的坐标满足椭圆方程得到 P 22 00 44xy 所以 22 00 44xy 00000 22 000 22 442 NQ x yx yx k xyy 直线的方程 NQ 0 00 0 2 2 x yyxx y 化简整理得到 即 22 0000 244x xyyxy 00 24x xyy 15 所以点到直线的距离ONQ 22 00 4 2 4 dO xy 圆的半径 直线与为直径的圆相切 13 分NQABO 20 本小题满分 14 分 解 I 当 时 0k 3b 4p 112 3