1993考研数二真题及解析

BornBorn toto winwin 19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 0 limln x xx 2 函数由方程所确定 则 yy x 222 sin 0 x xyexy dy dx 3 设 则函数的单调减少区间是 1 1 2 0 x F xdt x t F x 4 tan cos x dx x 5 已知曲线过点 且其上任一点处的切线斜率为 则 yf x 1 0 2 x y 2 ln 1 xx f x 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 变量是 0 x 2 11 sin xx A 无穷小 B 无穷大 C 有界的 但不是无穷小 D 有界的 但不是无穷大 2 设 则在点处函数 2 1 1 1 2 1 x x f x x x 1x f x A 不连续 B 连续 但不可导 C 可导 但导数不连续 D 可导 且导数连续 3 已知 设 则为 2 0 1 1 12 xx f x x 1 x F xf t dt 02 x F x A B 3 1 01 3 12 xx xx 3 11 01 33 12 xx xx C D 3 1 01 3 1 12 xx xx 3 11 01 33 1 12 xx xx 4 设常数 函数在内零点个数为 0k ln x f xxk e 0 BornBorn toto winwin A 3 B 2 C 1 D 0 5 若 在内 则在内 f xfx 0 0 0fxfx f x 0 A B 0 0fxfx 0 0fxfx C D 0 0fxfx 0 0fxfx 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 设 其中具有二阶导数 求 2 sin yf x f 2 2 d y dx 2 求 2 lim 100 x xxx 3 求 4 0 1 cos2 x dx x 4 求 3 0 1 x dx x 5 求微分方程满足初始条件的特解 2 1 2cos 0 xdyxyx dx 0 1 x y 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 设二阶常系数线性微分方程的一个特解为 试 x yyye 2 1 xx yex e 确定常数 并求该方程的通解 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 设平面图形由与所确定 求图形绕直线旋转一周所得旋A 22 2xyx yx A2x 转体的体积 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 作半径为的球的外切正圆锥 问此圆锥的高为何值时 其体积最小 并求出该最小值 rhV 七 七 本题满分本题满分 6 6 分分 设 常数 证明 0 x ae a a x axa 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 BornBorn toto winwin 设在上连续 且 证明 其中 fx 0 a 0 0f 2 0 2 a Ma f x dx 0 max x a Mfx 19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 0 解析 这是个型未定式 可将其等价变换成型 从而利用洛必达法则进行求解 0 0000 2 1 ln limlnlimlimlim0 11xxxx x x xxx xx 洛 2 答案 222 22 2 cos 2 cos 2 x yexxy yxyxy 解析 这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数 将方程两 222 sin 0 x xyexy 边对求导 得x 222 cos 22 20 x xyxyyeyxyy 化简得 222 22 2 cos 2 cos 2 x yexxy y yxyxy 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点可导 则复合函数 ug x x yf x ug x 在点可导 且其导数为 yf g x x BornBorn toto winwin 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 3 答案 1 0 4 x 解析 由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性 0 将函数两边对求导 得 1 1 2 x F xdt t x 1 2F x x 若函数严格单调减少 则 即 F x 1 20F x x 1 2 x 所以函数单调减少区间为 F x 1 0 4 x 相关知识点 函数的单调性 设函数在上连续 在内可导 yf x a b a b 1 如果在内 那么函数在上单调增加 a b 0fx yf x a b 2 如果在内 那么函数在上单调减少 a b 0fx yf x a b 4 答案 1 2 2cosxC 解析 3 2 tansin sin cos coscoscos xx dxdxxxdx xxx 31 22 coscos2cosxdxxC 5 答案 222 111 1 ln 1 222 xxx 解析 这是微分方程的简单应用 由题知 分离变量得 两边对积分有 2 ln 1 dy xx dx 2 ln 1 dyxxdx x 222 1 ln 1 ln 1 1 2 yxxdxxd x 由分部积分法得 22222 2 1112 ln 1 1 1 ln 1 1 2221 x xd xxxxdx x 22 222 1 1 ln 1 2 11 1 ln 1 22 xxxdx xxxC 因为曲线过点 故 所以所求曲线为 yf x 1 0 2 1 2 C BornBorn toto winwin 222 111 1 ln 1 222 yxxx 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 D 解析 因为当时 是振荡函数 所以可用反证法 0 x 1 sin x 若取 则 1 1 k x k 2 2 11 11 sin sin0 kk kk xx 则 2 1 1 2 2 k x k 22 2 22 111 sin 2 1 2 2 kk kk xx 因此 当时 有及 但变量或等于 0 或趋于 这表k 1 0 k x 2 0 k x 2 11 sin xx 明当时它是无界的 但不是无穷大量 即 D 选项正确 0 x 2 答案 A 解析 利用函数连续定义判定 即如果函数在处连续 则有 0 x 00 0 lim lim xxxx f xf xf x 由题可知 22 1111 1 1 lim limlimlim 1 2 11 xxxx xx f xx xx 22 1111 1 1 lim limlimlim 1 2 11 xxxx xx f xx xx 因在处左右极限不相等 故在处不连续 因此选 A f x1x 1x 3 答案 D 解析 这是分段函数求定积分 当时 故 所以01x 01xt 2 f tt 233 11 1 11 1 33 x xx F xf t dtt dttx 当时 故 所以12x 12 tx 1f t 1 11 11 xx x F xf t dtdttx 应选 D 4 答案 B BornBorn toto winwin 解析 判定函数零点的个数等价于判定函数与的交点个数 f x yf x x 对函数两边对求导 得 ln x f xxk e x 11 fx xe 令 解得唯一驻点 0fx xe 即 0 0 0 fxxef x fxexf x 严严严严严严 严严严严严严 所以是极大值点 也是最大值点 最大值为 xe ln0 e f eekk e 又因为 00 lim lim ln lim lim ln xx xx x f xxk e x f xxk e 由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点 不相同 0 e e 故函数在内零点个数为 2 选项 B 正确 ln x f xxk e 0 5 答案 C 解析 方法一方法一 由几何图形判断 由知为奇函数 图形关于原点对称 f xfx f x 在内图形单调增加且向上凹 0 0 0 fxfxf x 根据图可以看出在内增加而凸 选 C f x 0 0 0fxfx 方法二方法二 用代数法证明 对恒等式两边求导 得 f xfx fxfxfxfx 当时 有 所以 0 x 0 x 0 0fxfxfxfx 故应选 C 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 解析 222 sin cos 2yf xf xfxx 22 cos 2yf xfxx BornBorn toto winwin 2222 cos 2cos 2f xfxxf xfxx 22 cos 2 f xfxx 2222222 sin 2 cos 2 f xfxxf xfxx 22 cos 2f xfx 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点可导 则复合函数 ug x x yf x ug x 在点可导 且其导数为 yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 2 解析 应先化简再求函数的极限 22 2 2 100 100 lim 100 lim 100 xx xxxxx xxx xx 2 2 100100 limlim 1 100 1001 xx x xx x x 因为 所以0 x 2 2 100100100 limlim50 1 1 1 1 1001 1001 xx x x x 3 解析 先进行恒等变形 再利用基本积分公式和分部积分法求解 2 444 000 sec1 tan 1 cos222 xxx dxdxxdx x 44 4 0 00 1111sin tantan 0 222 42cos x xxxdxdx x 4 4 0 0 111 cosln cos 82cos82 dxx x 1121 ln cos ln cos0 lnln2 82482284 4 解析 用极限法求广义积分 23 33 000 1 1 1 1 1 1 1 xx dxdxxxdx xx BornBorn toto winwin 12 2 0 0 121 1 1 lim 22 1 b b x xx x 2 21111 lim0 2 1 222 b b b 5 解析 所给方程是一阶线性非齐次微分方程 其标准形式是 2 22 2cos 10 11 xx yyx xx 通解为 22 22 11 2 cos 1 xx dxdx xx x yeedxC x 22 22 1 1 11 2 cos 1 d xd x xx x eedxC x 22 1sin cos 11 xC xdxC xx 代入初始条件 得 所以 所求特解为 0 1 x y 2 sin0 1 01 C 1C 2 sin1 1 x y x 相关知识点 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为 yp x yq x 其中为常数 p x dxp x dx yeq x edxC C 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 要确定常数 只需将特解代入原微分方程后 用比较系数法即得 对于特解 有 2 1 xx yex e 22 2 1 2 2 xxxxx yeex eex e 222 2 2 4 2 4 3 xxxxxxx yex eeex eex e 代入方程 得恒等式 x yyye 222 4 3 2 2 1 xxxxxxx ex eex eex ee 化简得 2 42 32 1 xxxx eexee 比较同类项系数 得 420 32 10 BornBorn toto winwin 解之得 3 2 1 于是原方程为 所对应的齐次微分方程的特征方32 x yyye 320yyy 程为 解之得 2 320rr 12 1 2rr 所以微分方程的通解为32 x yyye 2 222 121212 1 xxxxxxxxx yc ec eyc ec eex ec ec exe 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 利用定积分求旋转体的体积 用微元法 等价于 22 2xyx 22 1 1xy 解法一解法一 考虑对的积分 则边界线为y 与 2 1 11xy 2 01 xyy 如右图所示 当时 yydy 22 12 2 2 dVxdyxdy 222 2 11 2 yydy 22 21 1 yydy 所以 1 22 0 21 1 Vyydy 对于 令 则 所以 1 2 0 1y dy sinyt cosdytdt 21 22 22 000 0 111 1cos 1 cos2 sin2 2224 y dytdtt dttt 对于 1 3 11 22 00 0 1 1 1 1 1 33 y ydyydy 所以 1 22 0 11 21 1 2 43 Vyydy 解法二解法二 取为积分变量 则边界线为x 与 2 1 2yxx 2 01 yxx 如右图所示 当时 xxdx BornBorn toto winwin 12 2 2 2 2 2 2 dVxyy dx xxxx dx 所以 1 2 0 2 2 2 Vxxxx dx 令 则 所以1xt 1 xt dxdt 1 2 0 2 2 xxxx dx 0 2 1 1 2 1 1 1 ttttdt 0 222 1 111ttttdt 再令 则 sint cosdtd 所以 00 2222 1 2 111 cossincossin1 costtttdtd 0000 222 2222 cossincossincoscosdddd 0000 22 2222 1 1 cos2 coscossinsincos 2 dddd 00 0 33 0 2 2 22 11cossin sin2sin 2233 111 1 43343 所以 1 2 0 11 2 2 2 2 43 Vxxxx dx 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题 设圆锥底半径为 如图 R BCR ACh ODr 由 有 22 BCOD ADOAOD ACAD 222 2 Rrhr R h hrrhhr 于是圆锥体积 2 22 11 2 332 h VR hrrh hr 对上式两端对求导 并令 得h0V 2 22 22 12 2 1 4 0 3 2 3 2 h h hrhh hr Vrr hrhr A D O C B BornBorn toto winwin 得唯一驻点 且4hr 24 0 4 0 rhr V rhV 所以为极小值点也是最小值点 最小体积 4hr 3 8 4 3 Vrr 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 首先应简化不等式 从中发现规律 当 常数时 原不等式两边取自然对数可化为0 x ae 或 ln lnaaxaxa ln lnaxa axa 证法一证法一 令 则 ln