四川省乐山市2016届高考第二次调研数学试卷(文科)(解析版)

第 1 页 共 24 页 2016 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷 文科 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 已知全集 U 0 1 2 3 4 集合 A 1 2 3 B 2 4 则 UA B 为 A 4 B C 0 2 4 D 1 3 2 设命题 p 函数 f x ex在 R 上为增函数 命题 q 函数 f x cos2x 为奇函数 则下列命题 中真命题是 A p q B p qC p q D p q 3 已知 i 是虚数单位 若 z 1 i i 1 则 z 的虚部为 A B C D 4 等差数列 an 中 a1 a9 10 a2 1 则数列 an 的公差为 A 1B 2C 3D 4 5 在 ABC 中 tanB 2 tanC 则 A 等于 A B C D 6 一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积是 A 112 B 80C 72D 64 7 抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A B 两点 O 为坐标原点 若 AF 3 且 AOB 的 面积为 则点 B 的纵坐标为 第 2 页 共 24 页 A 1B C D 8 若实数 x y 满足 则 z 3x 2y的值域是 A 0 6 B 1 9 C 2 8 D 3 7 9 函数的图象可能是 A B C D 10 定义域为 R 的函数 f x 满足 f x 2 2f x 2 当 x 0 2 时 f x 若 x 0 4 时 t2 f x 恒成立 则实数 t 的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 D 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 11 lg lg的值是 12 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 若 ABO 90 则实数 t 的值为 13 执行如图所示的程序框图 则输出 S 的值为 第 3 页 共 24 页 14 设 F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 P 为双曲线 C 在第一象限上的一点 若 则 PF1F2内切圆的面积为 15 定义 x x R 表示不超过 x 的最大整数 例如 1 5 1 0 5 1 给出下列结论 函数 y sinx 是周期为 2 的周期函数 函数 y sinx 是奇函数 函数 y sinx 的值域是 1 0 1 函数 y sinx cosx 不存在零点 其中正确命题的序号是 写出所有正确命题的序号 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤证明过程或推演步骤 16 已知函数 f x cos2 x x 求 f 的值 若对于任意的 x 0 都有 f x c 求实数 c 的取值范围 17 为调查乘客的候车情况 公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人 将他们的候车 时间 单位 分钟 作为样本分成 5 组 如下表所示 组别候车时间人数 一 0 5 2 二 5 10 6 第 4 页 共 24 页 三 10 15 4 四 15 20 2 五 20 25 1 求这 15 名乘客的平均候车时间 估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数 若从上表第三 四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查 求抽到的两人恰好来自不 同组的概率 18 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 四边形 ABCD 为直角梯形 1 求证 PC BC 2 E 为 PB 中点 F 为 BC 中点 求四棱锥 D EFCP 的体积 19 已知数列 an 是等比数列 首项 a1 1 公比 q 0 其前 n 项和为 Sn 且 S1 a1 S3 a3 S2 a2 成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn cn 满足 且 bn cn 1 令 Tn为数列 cn 的前 n 项和 若 Tn m 恒成立 求 m 的最大值 20 设椭圆的离心率为 且内切于圆 x2 y2 9 1 求椭圆 C 的方程 2 过点 Q 1 0 作直线 l 不与 x 轴垂直 与该椭圆交于 M N 两点 与 y 轴交于点 R 若 试判断 是否为定值 并说明理由 21 已知函数 若 a 1 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 第 5 页 共 24 页 若函数 f x 在其定义域内为增函数 求 a 的取值范围 在 的条件下 设函数 若在 1 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 g x0 成立 求实数 a 的取值范围 第 6 页 共 24 页 2016 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷 文科 年四川省乐山市高考第二次调研数学试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 已知全集 U 0 1 2 3 4 集合 A 1 2 3 B 2 4 则 UA B 为 A 4 B C 0 2 4 D 1 3 考点 交 并 补集的混合运算 专题 函数的性质及应用 分析 由条件利用补集的定义求得 CUA 再根据两个集合的交集的定义求得 CUA B 的结 果 解答 解 已知全集 U 0 1 2 3 4 集合 A 1 2 3 B 2 4 则 CUA 0 4 CUA B 4 故选 A 点评 本题主要考查求集合的补集 两个集合的交集的定义和求法 属于基础题 2 设命题 p 函数 f x ex在 R 上为增函数 命题 q 函数 f x cos2x 为奇函数 则下列命题 中真命题是 A p q B p qC p q D p q 考点 复合命题的真假 专题 转化思想 函数的性质及应用 简易逻辑 分析 先判定命题 p q 的真假 再利用复合命题真假的判定方法即可得出 解答 解 命题 p 函数 f x ex在 R 上为增函数 是真命题 命题 q 函数 f x cos2x 为偶函数 因此是假命题 q 是真命题 则下列命题中真命题是 p q 故选 D 第 7 页 共 24 页 点评 本题考查了复合命题真假的判定方法 函数的性质 考查了推理能力与计算能力 属于中 档题 3 已知 i 是虚数单位 若 z 1 i i 1 则 z 的虚部为 A B C D 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 转化思想 数系的扩充和复数 分析 利用复数的运算法则 模的计算公式 虚部定义即可得出 解答 解 z 1 i i 1 z 1 i 则 z 的虚部为 故选 B 点评 本题考查了复数的运算法则 模的计算公式 虚部定义 考查了推理能力与计算能力 属 于基础题 4 等差数列 an 中 a1 a9 10 a2 1 则数列 an 的公差为 A 1B 2C 3D 4 考点 等差数列的通项公式 专题 计算题 方程思想 转化思想 等差数列与等比数列 分析 利用等差数列的通项公式即可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d a1 a9 10 a2 1 2a1 8d 10 a1 d 1 联立解得 d 2 故选 B 点评 本题考查了等差数列的通项公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 第 8 页 共 24 页 5 在 ABC 中 tanB 2 tanC 则 A 等于 A B C D 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 三角函数的求值 分析 利用诱导公式知 tanA tan B C 利用两角和的正切可求得 tan B C 的值 从而可 知 tanA 的值 A 0 于是可得答案 解答 解 在 ABC 中 tanB 2 tanC tanA tan B C tan B C 1 又 A 0 A 故选 A 点评 本题考查两角和与差的正切函数 考查诱导公式的应用 考查运算求解能力 属于中档 题 6 一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积是 第 9 页 共 24 页 A 112 B 80C 72D 64 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由三视图可知此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体 代入数据分别求棱柱与棱 锥的体积即可 解答 解 由三视图可知 此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体 棱柱的体积为 4 4 4 64 棱锥的体积为 4 4 3 16 则此几何体的体积为 80 故选 B 点评 本题考查了三视图的识图与计算能力 属于基础题 7 抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A B 两点 O 为坐标原点 若 AF 3 且 AOB 的 面积为 则点 B 的纵坐标为 A 1B C D 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 规律型 转化思想 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用抛物线的性质求出 A 的坐标 通过三角形的面积求解即可 解答 解 由题意可知 OF 1 AF 3 可得 xA 2 代入抛物线方程 不妨令 A 在 x 轴上方 解得 yA 2 AOB 的面积为 可得 yA yB 3 yB 第 10 页 共 24 页 同理可得 yB 故选 C 点评 本题考查抛物线的简单性质的应用 考查计算能力 8 若实数 x y 满足 则 z 3x 2y的值域是 A 0 6 B 1 9 C 2 8 D 3 7 考点 简单线性规划 专题 计算题 作图题 不等式的解法及应用 分析 由题意作出其平面区域 令 m x 2y 化为 y x m m 相当于直线 y x m 的纵截 距 由几何意义可求得 0 x 2y 2 从而得到答案 解答 解 由题意作出其平面区域 令 m x 2y 化为 y x m m 相当于直线 y x m 的纵截距 故由图象可知 0 x 2y 2 故 1 z 9 故选 B 点评 本题考查了简单线性规划 作图要细致认真 属于中档题 第 11 页 共 24 页 9 函数的图象可能是 A B C D 考点 函数的图象 专题 函数的性质及应用 分析 由函数的解析式 可求出函数的定义域 可排除 B D 答案 分析 x 2 1 时 函数 值的符号 进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案 解答 解 若使函数的解析式有意义 则 即 即函数的定义域为 2 1 1 可排除 B D 答案 当 x 2 1 时 sinx 0 ln x 2 0 则 0 可排除 C 答案 故选 A 点评 本题考查的知识点是函数的图象 熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答 的关键 第 12 页 共 24 页 10 定义域为 R 的函数 f x 满足 f x 2 2f x 2 当 x 0 2 时 f x 若 x 0 4 时 t2 f x 恒成立 则实数 t 的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 D 2 考点 分段函数的应用 函数恒成立问题 专题 函数的性质及应用 不等式的解法及应用 分析 由 f x 2 2f x 2 求出 x 2 3 以及 x 3 4 的函数的解析式 分别求出 0 4 内的四段的最小值 注意运用二次函数的最值和函数的单调性 再由 t2 f x 恒成立即 为由 t2 f x min 解不等式即可得到所求范围 解答 解 当 x 2 3 则 x 2 0 1 则 f x 2f x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 即为 f x 2x2 10 x 10 当 x 3 4 则 x 2 1 2 则 f x 2f x 2 2 2 当 x 0 1 时 当 x 时 f x 取得最小值 且为 当 x 1 2 时 当 x 2 时 f x 取得最小值 且为 当 x 2 3 时 当 x 时 f x 取得最小值 且为 当 x 3 4 时 当 x 4 时 f x 取得最小值 且为 1 综上可得 f x 在 0 4 的最小值为 若 x 0 4 时 t2 f x 恒成立 则有 t2 第 13 页 共 24 页 解得 1 t 故选 C 点评 本题考查分段函数的运用 主要考查分段函数的最小值 运用不等式的恒成立思想转化为 求函数的最值是解题的关键 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 11 lg lg的值是 1 考点 对数的运算性质 专题 计算题 分析 直接利用对数的运算性质求解即可 解答 解 1 故答案为 1 点评 本题考查对数的运算性质 基本知识的考查 12 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 若 ABO 90 则实数 t 的值为 5 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题 平面向量及应用 分析 利用已知条件求出 利用 ABO 90 数量积为 0 求解 t 的值即可 解答 解 因为知 所以 3 2 t 又 ABO 90 所以 可得 2 3 2 2 t 0 解得 t 5 故答案为 5 点评 本题考查向量的数量积的应用 正确利用数量积公式是解题的关键 13 执行如图所示的程序框图 则输出 S 的值为 第 14 页 共 24 页 考点 程序框图 专题 算法和程序框图 分析 由已知中的程序框图 可知 该程序的功能是计算并输出变量 S 的值 模拟程序的运行过 程 分析出各变量的变化情况 可得答案 解答 解 第 1 次执行循环体后 S i 1 满足继续循环的条件 第 2 次执行循环体后 S i 2 满足继续循环的条件 第 3 次执行循环体后 S sin i 3 满足继续循环的条件 第 4 次执行循环体后 S sin i 4 满足继续循环的条件 第 5 次执行循环体后 S sin i 5 满足继续循环的条件 第 6 次执行循环体后 S sin sin2 i 6 满足继续循环的 条件 第 7 次执行循环体后 S sin sin2 i 7 满足继 续循环的条件 第 8 次执行循环体后 S sin sin2 i 8 满足继续循环的条件 第 9 次执行循环体后 S sin sin2 sin3 i 9 不满足继续循 环的条件 第 15 页 共 24 页 由 S sin sin2 sin3 2 故输出的 S 值为 故答案为 点评 本题考查的知识点是程序框图 当循环的次数不多 或有规律时 常采用模拟循环的方法 解答 14 设 F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 P 为双曲线 C 在第一象限上的一点 若 则 PF1F2内切圆的面积为 4 考点 双曲线的简单性质 专题 方程思想 定义法 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 求得双曲线的 a b c 运用双曲线的定义 结合条件可得 PF1 8 PF2 6 可得 PF1F2 为直角三角形 设内切圆的半径为 r 运用面积相等 解方程可得 r 2 即可得到所求面积 解答 解 双曲线的 a 1 b 2 c 5 由双曲线的定义可得 PF1 PF2 2a 2 又 解得 PF1 8 PF2 6 F1F2 2c 10 即有 82 62 102 可得 PF1F2为直角三角形 设内切圆的半径为 r 可得 r PF1 PF2 F1F2 PF1 PF2 即有 r 8 6 10 8 6 解得 r 2 第 16 页 共 24 页 可得内切圆的面积为 4 故答案为 4 点评 本题考查三角形的内切圆的面积 注意运用等积法 判断 PF1F2为直角三角形是解题的 关键 同时考查双曲线的定义 属于中档题 15 定义 x x R 表示不超过 x 的最大整数 例如 1 5 1 0 5 1 给出下列结论 函数 y sinx 是周期为 2 的周期函数 函数 y sinx 是奇函数 函数 y sinx 的值域是 1 0 1 函数 y sinx cosx 不存在零点 其中正确命题的序号是 写出所有正确命题的序号 考点 函数的值 函数零点的判定定理 专题 计算题 阅读型 分类讨论 函数的性质及应用 分析 根据三角函数的性质 判断比较容易 要分类讨论 根据 sinx 的取值讨论 cosx 的取值 从而解得 解答 解 sin 2 x sinx sin 2 x sinx 正确 sin 0 sin 1 不正确 y sinx 的值域为 1 1 函数 y sinx 的值域是 1 0 1 故 正确 当 sinx 1 时 1 sinx 0 cosx 1 则 sinx cosx 0 当 sinx 0 时 0 sinx 1 cosx 0 则 sinx cosx 0 当 sinx 1 时 sinx 1 则 sinx cosx 1 故 正确 故答案为 点评 本题考查了三角函数的性质的应用及学生的学习能力的应用 同时考查了分类讨论的思想 应用 属于中档题 第 17 页 共 24 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤证明过程或推演步骤 16 已知函数 f x cos2 x x 求 f 的值 若对于任意的 x 0 都有 f x c 求实数 c 的取值范围 考点 三角函数的最值 三角函数的恒等变换及化简求值 专题 计算题 三角函数的求值 分析 由条件利用二倍角的余弦公式求出的值 利用三角恒等变换化简 f x 的解析式为 由 x 的范围求出角的 范围 可得 f x 的最大值 可得实数 c 的取值范围 解答 解 函数 因为 所以 所以当 即时 f x 取得最大值 所以 f x c 等价于 故当 f x c 时 c 的取值范围是 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 正弦函数的定义域 值域 属于中档题 17 为调查乘客的候车情况 公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人 将他们的候车 时间 单位 分钟 作为样本分成 5 组 如下表所示 组别候车时间人数 一 0 5 2 二 5 10 6 第 18 页 共 24 页 三 10 15 4 四 15 20 2 五 20 25 1 求这 15 名乘客的平均候车时间 估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数 若从上表第三 四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查 求抽到的两人恰好来自不 同组的概率 考点 古典概型及其概率计算公式 频率分布表 专题 概率与统计 分析 用每一段的中间值乘以每一段的频率然后作和即得 15 名乘客的平均候车时间 查出 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数 得到 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的频 率 用频率乘以 60 即可得到答案 用列举法写出从第三组和第四组中随机各抽取 1 人的所有事件总数 查出两人恰好来自不同 组的事件个数 则两人恰好来自不同组的概率可求 解答 解 由图表得 所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10 5 分钟 由图表得 这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8 所以 这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 设第三组的乘客为 a b c d 第四组的乘客为 e f 抽到的两个人恰好来自不同的组 为 事件 A 所得基本事件共有 15 种 即 ac ab ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 抽到的两人恰好来自不同组的事件共 8 种 分别是 ae af be bf ce cf df df 其中事件 A 包含基本事件 8 种 由古典概型可得 即所求概率等于 点评 本题考查了频率分布表 考查了古典概型及其概率计算公式 考查了学生读取图表的能力 是基础的计算题 第 19 页 共 24 页 18 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 四边形 ABCD 为直角梯形 1 求证 PC BC 2 E 为 PB 中点 F 为 BC 中点 求四棱锥 D EFCP 的体积 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置关系 专题 转化思想 转化法 空间位置关系与距离 分析 1 根据线面垂直的性质定理进行证明即可 2 根据条件求出四棱锥的高 利用棱锥的体积公式进行求解即可 解答 证明 1 PA 平面 ABCD BC 面 ABCD PA BC 连接 AC AD CD AD CD AC BC AB 2 AB2 AC2 BC2 BC AC BC 面 PAC PC 面 PAC PC BC 2 由 1 知 BC PC 且 PC E 为 PB 中点 F 为 BC 中点 SEFCP SPBC 则 VD EFCP VD PBC VP DBC 点评 本题主要考查空间直线和直线垂直的判定以及三棱锥体积的计算 根据相应的判定定理以 及棱锥的体积公式是解决本题的关键 第 20 页 共 24 页 19 已知数列 an 是等比数列 首项 a1 1 公比 q 0 其前 n 项和为 Sn 且 S1 a1 S3 a3 S2 a2 成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn cn 满足 且 bn cn 1 令 Tn为数列 cn 的前 n 项和 若 Tn m 恒成立 求 m 的最大值 考点 数列的求和 等比数列的通项公式 专题 方程思想 转化思想 等差数列与等比数列 不等式的解法及应用 分析 1 由于 S1 a1 S3 a3 S2 a2成等差数列 可得 2 S3 a3 S2 a2 S1 a1 解得 q 可 得 an 2 数列 bn cn 满足 log2an 1 n bn n n 2 由于 bn cn 1 可得 cn 再利用 裂项求和 与数列的单调性即可得出 解答 解 1 S1 a1 S3 a3 S2 a2成等差数列 2 S3 a3 S2 a2 S1 a1 4a3 a1 1 q2 公比 q 0 解得 q an 2 数列 bn cn 满足 log2an 1 n bn n n 2 bn cn 1 cn 数列 cn 的前 n 项和 Tn Tn m 恒成立 m T1 第 21 页 共 24 页 m 的最大值为 点评 本题考查了递推关系 等差数列与等比数列的通项公式 裂项求和 方法 考查了推理能 力与计算能力 属于中档题 20 设椭圆的离心率为 且内切于圆 x2 y2 9 1 求椭圆 C 的方程 2 过点 Q 1 0 作直线 l 不与 x 轴垂直 与该椭圆交于 M N 两点 与 y 轴交于点 R 若 试判断 是否为定值 并说明理由 考点 椭圆的简单性质 专题 方程思想 分析法 平面向量及应用 直线与圆 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 利用圆 x2 y2 9 的直径为 6 可得 a 3 结合离心率公式 参数 a b c 的关系即可 得出 2 把直线的方程与椭圆的方程联立 利用根与系数的关系 向量相等即可得到定值 解答 解 1 由圆 x2 y2 9 的直径为 6 依题意知 2a 6 所以 a 3 又因为 e 所以 c 2a 则 b 1 所以椭圆 C 的方程为 y2 1 2 即 为定值 理由如下 依题意知 直线 l 的斜率存在 故可设直线 l 的方程为 y k x 1 设 M x1 y1 N x2 y2 R 0 y3 由消去 y 并整理 得 1 9k2 x2 18k2x 9k2 9 0 即有 x1 x2 x1x2 第 22 页 共 24 页