北京四中高中数学 平面向量的数量积基础知识讲解 新人教A版必修1

1 平面向量的数量积平面向量的数量积 学习目标学习目标 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表示 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 要点梳理要点梳理 要点一 要点一 平面向量的数量积平面向量的数量积 1 1 平面向量数量积平面向量数量积 内积内积 的定义的定义 已知两个非零向量a 与b 它们的夹角是 则数量叫与的数量积 记作a b 即有cosa b a b cos 0a ba b 并规定与任何向量的数量积为 0 0 2 一向量在另一向量方向上的投影 叫做向量b 在方向上的投影 cosb a 要点诠释 要点诠释 1 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成 今后要学到两个向量的外积 而a b 是两个向量的a b ab 数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中不是乘号 既不能省略 也不能用 代替 3 在实数中 若 且 则 但是在数量积中 若 且 不能推0a 0a b 0b 0a 0a b 出 因为其中有可能为 0 0b cos 2 投影也是一个数量 不是向量 当为锐角时投影为正值 当为钝角时投影为负值 当为直 角时投影为 0 当 0 时投影为 当 180 时投影为 b b 要点二 平面向量数量积的几何意义要点二 平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积 这是的几何意义 图 1 a b a a b a cosb a b 2 3 所示分别是两向量夹角为锐角 钝角 直角时向量在向量方向上的投影的情形 其中 a b b a 它的意义是 向量在向量方向上的投影是向量的数量 即 1 cosOBb b a 1 OB 11 a OBOB a 事实上 当为锐角时 由于 所以 当为钝角时 由于 所以 cos0 1 0OB cos0 2 当时 由于 所以 此时与重合 当时 由于 1 0OB 0 90 cos0 1 0OB O 1 B 0 0 所以 当当时 由于 所以 cos1 1 OBb 0 180 cos1 1 OBb 要点三 平面向量数量积的性质要点三 平面向量数量积的性质 设与b 为两个非零向量 是与同向的单位向量 a e b 1 cos e aa ea 2 0aba b 3 当与同向时 a ba b 当与反向时 特别的或a b a b a ba b 2 a aa aa a 4 cos a b a b 5 a ba b 要点四 向量数量积的运算律要点四 向量数量积的运算律 1 交换律 a bb a 2 数乘结合律 aba bab 3 分配律 abca cb c 要点诠释 要点诠释 1 已知实数 a b c b 0 则 ab bca c 但是 a bb c ac 2 在实数中 有 a b c a b c 但是 a b ca b c 显然 这是因为左端是与共线的向量 而右端是与a 共线的向量 而c 一般a 与不共线 c 要点五 向量数量积的坐标表示要点五 向量数量积的坐标表示 1 已知两个非零向量 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 2 设 则或 ax y 222 axy 22 axy 3 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 那么a 11 yx 22 yx 平面内两点间的距离公式 22 1212 axxyy 要点六 向量在几何中的应用要点六 向量在几何中的应用 3 1 证明线段平行问题 包括相似问题 常用向量平行 共线 的充要条件 1122 0 a bab bx yxy 2 证明垂直问题 常用垂直的充要条件 1212 00aba bx xy y 3 求夹角问题 由向量 数量积可知 若它们的夹角为 则 a b cosa ba b 利用 1212 2222 1122 cos x xy ya b abxyxy 4 求线段的长度 可以利用或 2 aa 22 122121 PPxxyy 典型例题典型例题 类型一 平面向量数量积的概念类型一 平面向量数量积的概念 例 1 已知 是三个非零向量 则下列命题中正确的个数为 a b c 反向 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a c b c A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 解析 1 b cos 由 及 为非零向量可得a b a a b a b a b cos 1 0 或 且以上各步均可逆 故叙述 是正确的 a b 2 若 反向 则 的夹角为 cos 且以上各步均可a b a b a b a b a b 逆 故叙述 是正确的 3 当 时 将向量 的起点确定在同一点 则以向量 为邻边作平行四边形 则该a b a b a b 平行四边形必为矩形 于是它的两条对角线长相等 即有 反过来 若 a b a b a b a 则以 为邻边的四边形为矩形 故叙述 是正确的 b a b a b 4 当 但与的夹角和与的夹角不等时 就有 反过来的由 a b a c b c a c b c 也推不出 故叙述 是不正确的 综上所述 在四个叙述中 前 3 个是正确a c b c a b 的 而第 4 个是不正确的 总结升华 需对以上四个叙述逐一判断 依据有两条 一是向量数量积的定义 二是向量加法与 减法的平行四边形法则 举一反三 举一反三 变式 1 如果 且 0 那么 a b a c a 4 A B C D 在方向上的投影相等b c b c b c b c a 答案 D 类型二 平面向量数量积的运算类型二 平面向量数量积的运算 例 2 已知 4 5 当 1 2 3 与的夹角为 30 时 分别求与a b a b a b a b a 的数量积 b 思路点拨 已知向量 与 求 只需确定其夹角 a b a b 解析 1 当 时 有 0 和 180 两种可能 a b 若与同向 则 0 b cos0 4 5 1 20 a b a b a 若与反向 则 180 cos180 4 5 1 20 a b a b a b 2 当 时 90 cos90 0 a b a b a b 3 当与的夹角为 30 时 cos30 4 5 a b a b a b 3 10 3 2 总结升华 1 在表示向量的数量积时 与之间必须用实心圆 来连接 而不能用a b 连接 也不能省略 2 求平面向量数量积的步骤是 求与的夹角 0 180 分别求 和a b a 求它们的数量积 即 cos b a b a b 举一反三 举一反三 变式 1 已知 5 4 求 a b a b 3 a b a 答案 35 解析 35a b a 2 cos 3 a aa baa b 例 3 1 若 4 6 求在方向上的投影 a a b b a 2 已知 6 为单位向量 当它们之间的夹角分别等于 60 90 120 时 求出在a e a 方向上的正投影 并画图说明 e 答案 1 2 略 3 2 解析 1 cos 6 又 4 a b a b a 5 4 cos 6 b 3 cos 2 b 2 在方向上的投影为 cos a e a 如上图所示 当 60 时 在方向上的正投影的数量为 cos60 3 a e a 当 90 时 在方向上的投影的数量为 cos90 0 a e a 当 120 时 在方向上的正投影的数量为 cos120 3 a e a 总结升华 要注意在方向上的投影与在方向上的投影不是不同的 a b b a 类型三 平面向量模的问题类型三 平面向量模的问题 例 4 已知 4 向量与的夹角为 求 a b a b 2 3 a b a b 解析 因为 2 2 16 2 2 16 a a b b 2 cos4 4 cos8 3 a bab 所以 22 2 216 16 16 4abababa b 同事可求 22 2 216 16 164 3abababa b 总结升华 关系式 2 2 可使向量的长度与向量的数量积互相转化 因此欲求 可求a a a b 并将此式展开 由已知 4 得 16 也可求得为 8 a b a b a b a a b b a b 将上面各式的值代入 即可求得被求式的值 举一反三 举一反三 高清课堂 平面向量的数量积高清课堂 平面向量的数量积 395485395485 例例 4 4 变式 1 已知 求 2 5 3aba b abab 答案 3523 解析 22 2 2425635abaabb 35ab 同理 23ab 6 变式 2 已知向量满足 且的夹角为 60 求 a b 6 4ab ab 与2abab 和 答案 2 192 13 解析 且的夹角为 60 6 4ab ab 与12a b 22 2762 19abaa bb 22 244522 13 abaa bb 总结升华 要根据实际问题选取恰当的公式 类型四 向量垂直 或夹角 问题类型四 向量垂直 或夹角 问题 例 5 已知是两个非零向量 同时满足 求的夹角 a b abab aab 与 思路点拨 利用 1212 2222 1122 cos x xy ya b abxyxy 求出两个向量的夹角 解析 法一 将两边平方得abab 22 11 22 a bab 22 23abaa bba 则 故的夹角为 30 22 2 22 1 3 2 cos 2 3 aa aabaa b a aba ab aa aab 与 法二 数形结合法 如图 构成一个等边三角形 向量 a bab ab 是向量与向量夹角的角平分线 所以向量与向量a b a ab 所成的夹角为 30 总结升华 注意两个向量夹角共起点 灵活应用两个向量夹角的两种求法 举一反三 举一反三 变式 1 已知向量 满足 2 4 且 2 4 求 a b a b a b a b a b 答案 120 解析 原式 22 24aa bb 4a b cos a b a b a b 41 82 120 a b 例 6 已知 都是非零向量 且 3与 7 5垂直 4与 7 2垂直 求与的夹a b a b a b a b a b a b 角 7 思路点拨 由题意知 0 解得 3750abab 472abab a b 解析 3与 7 5垂直 a b a b 3 7 5 0 a b a b 4与 7 2垂直 a b a b 4 7 2 0 a b a b 于是有 22 22 716150 73080 aa bb aa bb 由 得 2 2 a b b 将 代入 得 2 2 a b a b 2 2 1 cos 2 2 a bb a bb 0 180 60 总结升华 正确理解和把握向量数量积性质的运用 以及向量夹角的范围 由 2 2 不 a b b 能得出 2 同样由 2 2 也不能得出 或 a b a b a b a b 举一反三 举一反三 变式 1 已知与为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向 与向量 k 垂直 则a b a b a b k 答案 变式 2 设非零向量 满足 求证 a b c d da c ba b c AAad 证明 a daa c ba b ca c a ba b c a AAAAAAAA 0a c a ba c a b AAAA ad 类型五 平面向量数量积的坐标表示及运算类型五 平面向量数量积的坐标表示及运算 例 7 已知向量与同向 1 2 10 a b b a b 1 求向量的坐标 a 2 若 2 1 求 c b c a 8 解析 1 与同向 又 1 2 a b b 设 则 2 a b a 又 10 1 2 2 10 解得 2 0 a b 2 符合与同向的条件 2 4 a b a 2 1 2 2 1 0 0 b c b c a 总结升华 1 注意本题由与共线且同向的设法及验证 a b 2 通过本题可以看出 0 10 2 1 20 10 显然 b c a a b c 即向量运算结合律一般不成立 b c a a b c 举一反三 举一反三 变式 1 已知向量和 若 试求模为的向量的坐标 3 1 a 1 3 b a c b c 2c 解析 设 x y 则 c 3 1 3a cx yxy 1 3 3b cx yxy 由 及 得 解得 或 a c b c 2c 22 33 2 xyxy xy 31 2 31 2 x y 31 2 31 2 x y 所以或 3131 22 c 3131 22 c 总结升华 涉及向量数量积的坐标运算的问题 关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关 的模长公式和夹角公式 在这个过程中还要熟练运用方程的思想 值得注意的是 对于一些向量数量积 坐标运算的问题 有时考虑其几何意义可使问题快速获解 例 8 已知三个点 A 2 1 B 3 2 D 1 4 1 求证 AB AD 2 要使四边形 ABCD 为矩形 求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值 思路点拨 1 先用坐标把两条直线用向量表示来 然后利用向量数量积等于零证明 2 利用 向量相等求出 C 点的坐标 利用 1212 2222 1122 cos x xy ya b abxyxy 求出两条对角线的夹角 答案 1 略 2 4 5 解析 1 A 2 1 B 3 2 D 1 4 1 1