四川省2010届高三数学专题训练4 立体几何（文）（2010年3月成都研讨会资料）旧人教版

用心 爱心 专心 专题四专题四 立体几何专项训练立体几何专项训练 一 选择题 1 如图 点E是正方体ABCD A1B1C1D1的棱DD1的中点 则过点E且与直线AB B1C1都相交 的直线的条数是 A 0B 1 C 2D 无数条 2 P是正三棱锥P ABC的侧棱PC上一点 侧棱端点除外 则 APB的大小满 足 A 1200APB B 18060APB C 9060APB D 600APB 3 一个广告气球被一束入射角为 的平行光线照射 其在水平面上的投影是一个 长半轴为 5m 的椭圆 则制作这个广告气球至少需要的面料是 A 100 sinm2 B 100 2 cos m2 C 100 2 sin m2 D 100 cos m2 4 正四棱锥的底面边长为x 侧棱长为y 则 y x 的取值范围是 A 2 2 0 B 2 0 C 1 0 D 2 1 0 5 长方体的各顶点都在半径为 R 的球面上 则该长方体的最大体积是 A 3 6 3 7 RB 3 8 3 3 R C 3 4 2 3 R D 3 8 3 9 R 6 在水平横梁上 A B 两点各挂长为 50cm 的细线 AM BN AB 60cm 在 MN 处挂长为 60cm 的木条 MN 平行于横梁 木条中点为 O 若木条绕其中点 O 水平方向旋转60 则木条比原来 升高了 A 10cmB 5cm C 10 3cmD 5 3cm 7 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 点M在棱AB上 且AM 3 1 点P是平面ABCD内的动 点 且点P到直线A1DA的距离与点P到点M的距离的平方差等于 1 则点P的轨迹是 A 抛物线 B 双曲线 C 直线 D 以上都不对 8 如图 已知正方体 1111 DCBAABCD 上 下底面中心分别为 21 O O 将正方体绕直线 21O O旋转一周 其中由线段 1 BC旋转所得图形是 DC BA O2 O1 C1 D1 C B1 A1 A B D E D1 C1B1 A1 D CB A 用心 爱心 专心 二 填空题 9 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD为平行四边形 PA a AB 2PA ABC 60 则D到平面PBC的距离为 10 设ba 是异面直线 点A B在a上运动 2 AB 点C D在b上运动 2 CD E F G H分别是AD BD BC AC的中点 给出下列命题 四面体 ABCD的体积是常数 四边形EFGH的面积是常数 ba 可能与平面AEC都成 900 四边形EFGH是菱形 其中正确命题的序号是 11 如图 正四棱锥V ABCD的侧棱长与底边长相等 点E是棱VA的中点 点O是 底面中心 则异面直线EO与BC所成的角是 12 有一个正四棱锥 它的底面边长和侧棱长均为a 现在要用一张正方形的包装 纸将它完全包住 不能裁剪纸 但可以折叠 那么包装纸的最小边长应为 三 解答题 13 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形 这个四边形是由两个全等 的直角三角形组成的 并且这三个四边形也全 等 如左图 若用剩下的部分折成一个无盖的 正三棱柱形容器 如右图 则当容器的高为多 少时 可使这个容器的容积最大 并求出容积 的最大值 14 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ABACAA 90BAC D为棱 1 BB的中点 1 求 异面直线 1 C D与 1 AC所成的角 2 求平面DCA1与平面ADC所成的角的大小 H G F E D C BA b a A B C D O V E 用心 爱心 专心 15 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 边长为a PD a PA PC a2 求证 PD 平面ABCD 求异面直线PB与AC所成的角 求二面角A PB D的大小 在这个四棱锥中放入一个球 求球的最大半径 求四棱锥外接球的半径 16 如图 在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面 1111 ABC D是梯形 且 1111 ABDC 1111111 1 1 2 ADD DDCAB 11 ADAC E是棱 11 AB的中点 1 求证 CDAD 2 求点 1 C到平面 11 CD B的距离 3 求二面角 11 DCEB 的大小 用心 爱心 专心 专题四立体几何专项训练参考答案 一 选择题 DABB DABD 8 显然在旋转过程中 线段 1 BC上任意一点到轴 21O O的距离为定值 设线段 1 BC的中点为M 线段 21O O的中点为O 则OM是异面直线 21O O和 1 BC的公垂线段 设N是线段 1 BC上任意一点 N在轴 21O O上的 射影为P 我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可 如图 以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系 不失一般性 设点N在线段MC1上 设正方体边长为 2 tMN dPN 则由异面 直线 21O O和 1 BC所成角为 450知 2 2 0 0 2 2 1 2 2 tPttN 故在 Rt OPN中 由 222 ONPNOP 得 1 22 1 1 2 1 2 1 2 22222 t dtttd 即d与t满足双曲线关系 故选D 二 填空题 9 a 10 11 3 12 a 2 26 三 解答题 13 解析 设容器的高为x 则容器底面正三角形的边长为xa32 32 32 34 34 1 4 3 32 0 32 4 3 2 xaxax a xxaxxV 54 3 323234 16 1 3 3 axaxax 当且仅当 54 18 3 3234 3 max a Vaxxax 时即 故当容器的高为 a 18 3 时 容器的容积最大 其最大容积为 54 3 a 14 解法一 1 连结 1 AC交 1 AC于点E 取AD中点F 连结EF 则EF 1 C D z y x M O O2 O1 C1 D1 C B1A1 A B D N P 用心 爱心 专心 直线EF与CA1所成的角就是异面直线 1 C D与 1 AC所成的角 设ABa 则 22 1111 3C DC BB Da 22 11 5ACACAAa 22 2ADABBDa CEF 中 1 15 22 CEACa 1 13 22 EFC Da 直三棱柱中 90BAC 则 ADAC 2222 26 22 a CFACAFaa 222 222 533 15 442 cos 21553 2 22 aaa CEEFCF CEF CE EF aa 异面直线 1 C D与 1 AC所成的角为 15 arccos 15 2 直三棱柱中 90BAC AC 平面 11 ABB A 则 1 ACAD 又2ADa 1 2ADa 1 2AAa 则 222 11 ADADAA 于是 1 ADAD 1 AD 平面ACD 又 1 AD 平面 1 ACD 平面 1 ADC 平面ADC 故平面 DCA1与平面ADC所成的角为 900 解法二 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设ABa 则 11 0 0 2 0 0 0 2 0 Aa CaCaa D aa 于是 11 0 2 C DaaaACaa 11 11 11 cos C D AC C D AC C DAC 22 0215 1535 aa aa 异面直线 1 C D与 1 AC所成的角为 15 arccos 15 2 1 0 0 0 0 ADaaADaaACa 22 11 00 0AD ADaaAD AC z y x D B1 A1 C A B C1 用心 爱心 专心 则 11 ADAD ADAC 1 AD 平面ACD 平面 1 ADC 平面ADC 故平面DCA1与平面ADC所成的角为 900 15 解析 1 要证PD 平面ABCD 只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线 而所给 已知量都是数 故可考虑勾股定理的逆定理 PD a AD a PA 2a PD2 DA2 PA2 同理 PDA 90 即PD DA PD DC AO DC D PD 平面ABCD 从图形的特殊性 应先考虑PB与AC是否垂直 若不垂直然后再转化 连结BD ABCD是正方形 BD AC PD 平面ABCD PD AC PD BD D AC 平面PDB PB 平面PDB AC PB PB与AC所成的角为 90 由于AC 平面PBD 所以用垂线法作出二面角的平面角 设AC BD O 过A作AE PB于E 连OE AO 平面PBD OE PB AEO为二面角 A PB D的平面角 PD 平面ABCD AD AB PA AB 在Rt PDB中 aBDPDPB3 22 在Rt PAB中 AEPBABPAS 2 1 2 1 a a aa PB ABPA AE 3 2 3 2 aACAO 2 2 2 1 在Rt AOE中 2 3 sin AE AO AEO AEO 60 二面角A PB D的大小为 60 当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大 即球心到各个面的距离均相等 联想到 用体积法求解 设此球半径为R 最大的球应与四棱锥各个面都相切 设球心为S 连结 SA SB SC SD SP 则把此四棱锥分为五个棱锥 设它们的高均为R 3 3 1 3 1 aPDSV ABCDABCDP 222 2 2 2 2 1 2 1 aSaaaSSaSS ABCDPBCPABPDCPAD 3 1 3 1 3 ABCDPBCPABPDCPAD PBCSPABSABCDSPDCSPDASABCDP SSSSSRa VVVVVV 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 1 222223 aaaaaRa aR 2 2 1 用心 爱心 专心 球的最大半径为 a 2 2 1 四棱锥的外接球的球心到P A B C D五的距离均为半径 只要找出球心的位置即可 在Rt PDB中 斜边PB的中点为F 则PF FB FD不要证明FA FC FP即可 设PB的中点为F 在Rt PDB中 FP FB FD 在Rt PAB中 FA FP FB 在Rt PBC中 FP FB FC FP FB FA FC FD 故F为四棱锥外接球的球心 FP为外接球的半径 FP PB 2 1 aFP 2 3 四棱锥外接球的半径为a 2 3 说明 本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点 内切 和 外接 等有关问题 首先要弄清几何体之间的相互关系 主要是指特殊的点 线 面之间关系 然后把相关的元素放到这些关系中解决问题 例如本例中球内切于四棱锥 中时 球与四棱锥的五个面相切 即球心到五个面的距离相等 求体积或运用体和解决问题时 经常使用等积变形 即把一个几何体割补成其它几个几何 体的和或差 4 立体几何的推理必须做到言必有据 论证严密 16 解析 本题考查多面体中的线面关系 求二面角 求点到平面的距离 考查多面体中的 线面关系 求点到平面的距离 二面角 证明 连接 1 AD 11 AD DA 是正方形 11 ADDA 又 11 ADAC 1 AD 平面 1 ACD 1 ADCD 又 1 DDCD CD 平 面 1 AD CDAD 2 解 在平面 1111 ABC D中 过 1 C点作 111 C KD B 垂足为K 连接CK 又过 1 C点作 1 C HCK 垂足为H 则 1 C H为点 1 C到平面 11 CD B的距离 在 111 C B D 中 有 1111111 sin135C K D BDC C B 1 2 12 1 2 55 C K 在 1 Rt CC K 中 11 1 1 1 6 5 61 1 5 CC C K C H CK 点 1 C到平面 11 CD B的距离为 6 6 解法 2 用等体积法 设点 1 C到平面 11 CD B的距离为h 在 11 CD B 中 1111 2 5 3 CDD BCB 11 CD B 为直角三角形 由 用心 爱心 专心 11 111 1 C C D BCCD B VV 得1 12sin13523 h 6 6 h 点 1 C到平面 11 CD B的 距离为 6 6 3 解 111 2 D EDCCEAD 取线段CE的中点F 连接 1 D F 则 1 D FCE 1 CEAD 11 ABCE 再取线段 1 CB的中点G 连接FG 1 FGEB CEFG 1 D FG 是二面角 11 DCEB 的平面角 在 1 D FG 中 1 6 2 D F 1 2 FG 取线段 11 BC的中点L 连接GL 则 222 11 DGGLD L 在 11 DC L 中 2 1 125 12 1cos135 222 D L 2 1 5111 244 DG 由余弦定理知 22 1 6111 6 224 cos 36 1 2 22 D FG 二面角 11 DCEB 的大小 为 6 arccos 3 空间向量解法 空间向量解法 1 证明 用基向量法 设 11 D Aa 1a 11 DCb 1b 1 D Dc 1c 1 ACbca 1 D Aac 11 ACD A 11 0AC D A 0bcaac 22 0cab cb a 0a b 1111 2 ABb D Aa 1111 0AB D A 1111 ABD A 即 1111 ABAD CDAD 2 解 构建空间直角坐标系 运用向量的坐标运算 以 1 D为原点 11 D A 11 DC 1 D D所在直线分别为 x y z轴 建立如图所示的空间直角 系 则 1 0 0 0 D 0 1 1 1 1 0 CE 1 1 2 0 B 1 0 1 1 DC 1 1 1 0 D E 用