史上最全的数列通项公式的求法15种

最全的数列通项公式的求法 1 最全的数列通项公式的求法最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一 每年的高考题都会考察到 小题一般较易 大题一般较难 而作为给出 数列的一种形式 通项公式 在求数列问题中尤其重要 本文给出了求数列通项公式的常用方法 一 一 直接法直接法 根据数列的特征 使用作差法等直接写出通项公式 例例 1 根据下列数列的前几项 说出数列的通项公式 1 1 3 7 15 31 2 1 2 5 8 12 3 2 1 2 1 2 1 3 2 5 3 4 1 1 1 1 5 1 0 1 0 二 公式法 利用等差数列或等比数列的定义求通项 若已知数列的前n项和与的关系 求数列的通项可用公式求解 n S n a n a n a 2 1 1 1 nSS nS a nn n 注意 求完后一定要考虑合并通项 例例 2 已知数列的前项和满足 求数列的通项公式 n an n S1 1 2 naS n nn n a 已知数列的前项和满足 求数列的通项公式 n an n S 2 1 n Snn n a 已知等比数列的首项 公比 设数列的通项为 求数列 n a1 1 a10 q n b 21 nnn aab 的通项公式 n b 解析解析 由题意 又是等比数列 公比为 321 nnn aab n aq 故数列是等比数列 q aa aa b b nn nn n n 21 321 n b 1 2 11321 qqqaqaaab 1 1 1 qqqqqb nn n 三 归纳猜想法三 归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项 我们可以根据前几项的规律 归纳猜想出数列的通项 公式 然后再用数学归纳法证明之 也可以猜想出规律 然后正面证明 例例 3 2002 年北京春季高考 已知点的序列 其中 是线 0 NnxA nn 0 1 x 0 2 aax 3 A 段的中点 是线段的中点 是线段的中点 21A A 4 A 32A A n A 12 nn AA 1 写出与之间的关系式 n x 21 nn xx3 n 最全的数列通项公式的求法 2 2 设 计算 由此推测的通项公式 并加以证明 nnn xxa 1321 aaa n a 3 略 解析 解析 1 是线段的中点 n A 32 nn AA 3 2 21 n xx x nn n 2 aaxxa 0 121 2 12 232 2 x xx xxa axx 2 1 2 1 12 3 23 343 2 x xx xxa axx 4 1 2 1 23 猜想 下面用数学归纳法证明 2 1 1 Nnaa n n 当 n 1 时 显然成立 0 1aa 1 假设 n k 时命题成立 即 0 2 2 1 1 Nkaa k k 则 n k 1 时 k kk kkk x xx xxa 2 1 121kkk axx 2 1 2 1 1 aa kk 2 1 2 1 2 1 1 当 n k 1 时命题也成立 命题对任意都成立 Nn 变式变式 2006 全国 II 理 22 本小题满分 12 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且方程 x2 anx an 0 有一根为 Sn 1 n 1 2 3 求 a1 a2 an 的通项公式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 四 四 累加 乘 法累加 乘 法 对于形如型或形如型的数列 我们可以根据递推公式 写出 n 取 1 到 1 nfaa nn nn anfa 1 n 时的所有的递推关系式 然后将它们分别相加 或相乘 即可得到通项公式 例例 4 若在数列中 求通项 n a3 1 anaa nn 1n a 解析解析 由得 所以naa nn 1 naa nn 1 1 1 naa nn 2 21 naa nn 1 12 aa 将以上各式相加得 又1 2 1 1 nnaan3 1 a 最全的数列通项公式的求法 3 所以 n a3 2 1 nn 例例 5 在数列中 求通项 n a1 1 a n n n aa2 1 Nn n a 解析解析 由已知 又 n n n a a 2 1 1 1 2 n n n a a 2 2 1 2 n n n a a 2 1 2 a a 1 1 a 所以 n a 1 n n a a 2 1 n n a a 1 2 a a 1 a 1 2n 2 2n12 2 1 2 nn 五五 取倒 对 数法 取倒 对 数法 a 这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为 再利用待定系数法待定系数法求解 r nn paa 1 qpaa nn 1 b 数列有形如的关系 可在等式两边同乘以先求出0 11 nnnn aaaaf 1 1 nna a 1 n n a a 再求得 c 解法 这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为 1 nhang anf a n n n qpaa nn 1 例例 6 设数列满足求 n a 2 1 a N 3 1 n a a a n n n n a 解 原条件变形为两边同乘以得 3 11nnnn aaaa 1 1 nn aa 1 11 31 nn aa 1 1 3 2 11 2 11 2 11 3 n nnn aaa 132 2 1 n n a 例例 7 设正项数列满足 n 2 求数列的通项公式 n a1 1 a 2 1 2 nn aa n a 解 两边取对数得 设 1 22 log21log nn aa 1 log21log 1 22 nn aa 1log2 n a n b 则 是以 2 为公比的等比数列 1 2 nn bb n b11log1 21 b 11 221 nn n b 1 2 21log nan 12log 1 2 nan12 1 2 n n a 变式变式 1 已知数列 an 满足 a1 且 an 3 2 n1 n1 3na n2nN 2an1 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 不等式 a1 a2 an 2 n 2 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 11 3 2 nn an aa A 最全的数列通项公式的求法 4 3 已知数列 满足时 求通项公式 n a2 1 1 na nnnn aaaa 11 2 4 已知数列 an 满足 求数列 an 的通项公式 1 13 1 1 1 a a a a n n n 5 若数列 a 中 a 1 a n N 求通项a n11 n 2 2 n n a a n 六六 迭代法迭代法 迭代法就是根据递推式 采用循环代入计算 例 8 2003 高考 广东 设a 0为常数 且a n 3 n 1 2 a n 1 n 为正整数 证明对任意 n 1 a n 3 n 1 n 1 2 n 1 n 2 n a 0 证明 a n 3 n 1 2 a n 1 3 n 1 2 3 n 2 2 a n 2 3 n 1 2 3 n 2 2 2 3 n 3 2 a n 3 3 n 1 2 3 n 2 2 2 3 n 3 2 3 3 n 4 2 a n 4 3 n 1 2 3 n 2 2 2 3 n 3 1 n 1 2 n 1 1 n 2 n a 0 1 n 2 n a 0 前面的 n 项组成首项为 3 n 1 公比为 的等比数列 这 n 项的和为 3 n 1 n 1 2 n a n 3 n 1 n 1 2 n 1 n 2 n a 0 七 待定系数法 七 待定系数法 求数列通项公式方法灵活多样 特别是对于给定的递推关系求通项公式 观察 分析 推求数列通项公式方法灵活多样 特别是对于给定的递推关系求通项公式 观察 分析 推 理能力要求较高 通常可对递推式变换 转化成特殊数列 等差或等比数列 来求解 该方法理能力要求较高 通常可对递推式变换 转化成特殊数列 等差或等比数列 来求解 该方法 体现了数学中化未知为已知的化归思想 运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的体现了数学中化未知为已知的化归思想 运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的 转化方法 转化方法 1 1 通过分解常数 可转化为特殊数列通过分解常数 可转化为特殊数列 a a k k 的形式求解 一般地 形如的形式求解 一般地 形如 a a p p a a n1 n q q p 1p 1 pq 0pq 0 型的递推式均可通过待定系数法对常数 型的递推式均可通过待定系数法对常数 q q 分解法 设分解法 设 n a a k p k p a a k k 与原式比较系数可得 与原式比较系数可得 pkpk k qk q 即 即 k k 从而得等比数列 从而得等比数列 1 nn 1 p q a a k k n 例例 9 9 数列 a 满足a 1 a a 1 n 2 求数列 a 的通项公式 n1n 2 1 1 nn 解 由a a 1 n 2 得a 2 a 2 而a 2 1 2 1 n 2 1 1 nn 2 1 1 n1 数列 a 2 是以为公比 1 为首项的等比数列 n 2 1 最全的数列通项公式的求法 5 a 2 a 2 n 2 1 1 n n 2 1 1 n 说明 通过对常数说明 通过对常数 1 1 的分解 进行适当组合 可得等比数列的分解 进行适当组合 可得等比数列 a a 2 2 从而达到解决问题的目的 从而达到解决问题的目的 n 练习练习 1 数列 a 满足a 1 求数列 a 的通项公式 n1 073 1 nn aa n 解 由得073 1 nn aa 3 7 3 1 1 nn aa 设a 比较系数得解得 3 1 1 kak nn 3 7 3 k k 4 7 k 是以为公比 以为首项的等比数列 4 7 n a 3 1 4 3 4 7 1 4 7 1 a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 2 已知数列满足 且 求 n a1 1 a 1 32 nn aa n a 解 设 则 是 3 1 tata nn 123 1 ttaa nn 1 31 1nn aa 1 n a 以为首项 以 3 为公比的等比数列 1 1 a 11 1 323 1 1 nn n aa132 1 n n a 点评 求递推式形如点评 求递推式形如 p p q q 为常数 的数列通项 可用为常数 的数列通项 可用迭代法或迭代法或待定系数法构造待定系数法构造qpaa nn 1 新数列新数列来求得来求得 也可用也可用 归纳归纳 猜想猜想 证明证明 法来求 这也是近年高考考法来求 这也是近年高考考 1 1 1 p q ap p q a nn 得很多的一种题型 得很多的一种题型 2 2 递推式为 递推式为 p p q q 为常数 时 可同除为常数 时 可同除 得 得 令 令从而化归从而化归 1 1 n nn qpaa 1 n q1 1 1 n n n n q a q p q a n n n q a b 为为 p p q q 为常数 型 为常数 型 qpaa nn 1 例 例 1010 已知数列满足 求 n a1 1 a 1 23 n n n aa 2 n n a 解 将两边同除 得 1 23 n n n aa n 3 n n n n aa 3 2 1 3 1 1 1 33 2 1 3 n n n n aa 设 则 令 n n n a b 3 1 3 2 1 nn bb 3 2 1 tbtb nn tbb nn 3 1 3 2 1 条件可化成 数列是以为首项 3 t 3 3 2 3 1 nn bb 3 n b 3 8 3 3 3 1 1 a b 为公比的等比数列 因 3 2 1 3 2 3 8 3 n n b n n n a b 3 3 3 2 3 8 33 1 nnn nn ba 21 23 nn n a 3 形如banpaa nn 1 001 a p 解法 这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列 即令 与已知 1 1 yxnapynxa nn 递推式比较 解出 从而转化为是公比为的等比数列 yx yxnan p 例例 11 设数列 求 n a 2 123 4 11 nnaaa nnn a 最全的数列通项公式的求法 6 解 解 令 1 1 3 nn ax nyaxny 化简得 1 322 nn aaxnyx 所以解得 所以 22 21 x yx 1 0 x y 1 1 3 nn anan 又因为 所以数列是以 5 为首项 3 为公比的等比数列 1 15a n an 从而可得 11 5 3 5 3 nn nn anan 所以 变式 2006 山东 文 22 本小题满分 14 分 已知数列 中 在直线 y x 上 其中 n 1 2 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n a 11 1 2 2 nn anaa 点 令 求数列 是等比数列 求证数列 nnnn baab 3 1 的通项 n a 4 形如 2 1nn apaanbnc 001 a p 解法 这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列 即令 与已知递推式比较 解出 z 从而转 22 1 1 1 nn ax ny ncp axnync yx 化为是公比为的等比数列 2 n axnync p 例例 12 设数列 求 n a 2 11 4 321 2 nn aaann n a 5 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 解法一 待定系数法 先把原递推公式转化为 112nnnn saatsaa 其中 s t 满足 qst pts 解法二 特征根法 对于由递推公式 给出的数列 方 nnn qapaa 12 21 aa n a 程 叫做数列的特征方程 若是特征方程的两个根 当时 0 2 qpxx n a 21 x x 21 xx 数列的通项为 其中 A B 由决定 即把 n a 1 2 1 1 nn n BxAxa 21 aa 和 代入 得到关于 A B 的方程组 当时 2121 xxaa2 1 n 1 2 1 1 nn n BxAxa 21 xx 数列的通项为 其中 A B 由决定 即把和 n a 1 1 n n xBnAa 21 aa 2121 xxaa 代入 得到关于 A B 的方程组 2 1 n 1 1 n n xBnAa 最全的数列通项公式的求法 7 例例 13 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 变式变式 1 已知数列满足 n a 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN I 证明 数列是等比数列 II 求数列的通项公式 1nn aa n a III 若数列满足证明是等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n b 12 111 44 4 1 nn bbbb n anN n b 2 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 3 已知数列中 是其前项和 并且 n a n Sn 11 42 1 2 1 nn Sana 设数列 求证 数列是等比数列 2 1 2 1 naab nnn n b 设数列 求证 数列是等差数列 求数列的通项公式及前项和 2 1 2 n a c n n n n c n an 八 特征根法 八 特征根法 1 1 设已知数列设已知数列的项满足的项满足 其中其中求这个数列的通项公式 作出一个方求这个数列的通项公式 作出一个方 n adcaaba nn 11 1 0 cc 程程则当则当时 时 为常数列 即为常数列 即 其中 其中是以是以为公比为公比 dcxx 10 ax n a 0101 xbaaxaa nnn 时当 n bc 的等比数列 即的等比数列 即 011 1 1 xabcbb n n 2 2 对于由递推公式对于由递推公式 给出的数列给出的数列 方程 方程 叫做数列 叫做数列 nnn qapaa 12 21 aa n a0 2 qpxx 的特征方程 若的特征方程 若是特征方程的两个根 当是特征方程的两个根 当时 数列时 数列的通项为的通项为 其 其 n a 21 x x 21 xx n a 1 2 1 1 nn n BxAxa 中中 A A B B 由由决定 即把决定 即把和和 代入 代入 得到关于 得到关于 A A B B 的的 21 aa 2121 xxaa2 1 n 1 2 1 1 nn n BxAxa 方程组 方程组 当 当时 数列时 数列的通项为的通项为 其中 其中 A A B B 由由决定 即把决定 即把 21 xx n a 1 1 n n xBnAa 21 aa 和和 代入 代入 得到关于 得到关于 A A B B 的方程组 的方程组 2121 xxaa2 1 n 1 1 n n xBnAa 例例 1414 1 已知数列满足 求数列的通项 n a 0 0253 1221 Nnnaaabaaa nnn n a 公式 解法一 待定系数 迭加法 由 得0253 12 nnn aaa 且 3 2 112nnnn aaaa abaa 12 最全的数列通项公式的求法 8 则数列是以为首项 为公比的等比数列 于是 nn aa 1 ab 3 2 把代入 得 1 1 3 2 n nn abaann 3 2 1 abaa 12 3 2 23 abaa 2 34 3 2 abaa 2 1 3 2 n nn abaa 把以上各式相加 得 3 2 3 2 3 2 1 2 1 n n abaa 3 2 1 3 2 1 1 ab n abbaaaba nn n 23 3 2 3 3 2 33 11 解法二 特征根法 这种方法一般不用于解答题 数列 n a 0 0253 12 Nnnaaa nnn 的特征方程是 baaa 21 0253 2 xx 3 2 1 21 xx 1 2 1 1 nn n BxAxa 1 3 2 n BA 又由 于是baaa 21 故 3 23 3 2 baB abA BAb BAa 1 3 2 323 n n baaba 2 已知数列满足 求 n a 4 N 2 3 1 11 anaa nn n a 解 作方程 当时 2 3 2 3 1 0 xxx则4 1 a 2 11 2 3 1101 abxa 数列是以为公比的等比数列 n b 3 1 于是 N 3 1 2 11 2 3 2 3 3 1 2 11 3 1 111 1 nbabb n nn nn n 九 不动点法 形如九 不动点法 形如 hra qpa a n n n 1 最全的数列通项公式的求法 9 解法 如果数列满足下列条件 已知的值且对于 都有 其中 p q r h 均 n a 1 aN n hra qpa a n n n 1 为常数 且 那么 可作特征方程 当特征方程有且仅有一根时 则 r h arqrph 1 0 hrx qpx x 0 x 是等差数列 当特征方程有两个相异的根 时 则是等比数列 0 1 n ax 1 x 2 x 1 2 n n ax ax 例例 15 已知数列 n a满足性质 对于且求的通项公式 32 4 N 1 n n n a a an 3 1 a n a 例 例 已知数列满足 对于都有 n a N n 3 2513 1 n n n a a a 1 若求 2 若求 3 若求 4 当取哪些值时 无穷数列不 5 1 a n a 3 1 a n a 6 1 a n a 1 a n a 存在 变式变式 2005 重庆 文 22 本小题满分 12 分 数列记 1 0521681 111 naaaaaa nnnnn 且满足 1 2 1 1 n a b n n 求 b1 b2 b3 b4的值 求数列的通项公式及数列的前 n 项和 n b nnb a n S 十 换元法 十 换元法 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种 目的是代换后出现的整体数列具有 规律性 例例 16 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 故 代入得 2 11 1 1 24 nn ab 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 最全的数列通项公式的求法 10 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数列 因此 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111 3 423 nn n a 评注 本题解题的关键是通过将的换元为 使得所给递推关系式转化形式 124 n a n b 1 13 22 nn bb 从而可知数列为等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公 3 n b 3 n b n a 式 例例 18 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a 2 1 1 n n a a n a 解析解析 设 3 cos 2 1 1 a 2 1 1 n n a a 6 cos 2 a 32 cos 2 3 a 32 cos 1 n n a 总之 求数列的通项公式 就是将已知数列转化成等差 或等比 数列 从而利用等差 或等比 数列的通项公式求其通项 十一 双数列十一 双数列 解法 根据所给两个数列递推公式的关系 灵活采用累加 累乘 化归等方法求解 解法 根据所给两个数列递推公式的关系 灵活采用累加 累乘 化归等方法求解 例例 1919 已知数列中 数列中 当时 n a1 1 a n b0 1 b2 n 求 2 3 1 11 nnn baa 2 3 1 11 nnn bab n a n b 解 因 nn ba 2 3 1 11nn ba 2 3 1 11 nn ba 11 nn ba 所以 nn ba 11 nn ba1 112222 bababa nn 即 1 1 nn ba 又因为 nn ba 2 3 1 11nn ba 2 3 1 11 nn ba 3 1 11 nn ba 所以 nn ba 3 1 11 nn ba 3 1 22 2 nn ba 3 1 11 1 ba n 最全的数列通项公式的求法 11 即 2 1 3 1 n nn ba 1 3 1 n 由 1 2 得 3 1 1 2 1 1 n n a 3 1 1 2 1 1 n n b 十二 周期型十二 周期型 解法 由递推式计算出前几项 寻找周期 例例 20 若数列满足 若 则的值为 n a 1 2 1 12 2 1 0 2 1 nn nn n aa aa a 7 6 1 a 20 a 变式变式 2005 湖南 文 5 已知数列满足 则 n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a A 0B C D 3 3 2 3 十三 分解因式法十三 分解因式法 当数列的关系式较复杂 可考虑分解因式和约分化为较简形式 再用其它方法求得 an 例例 21 已知数列满足 n 且有条 1 0