2010高三数学高考《立体几何初步》专题学案：三垂线定理

用心 爱心 专心 第第 5 课时课时 三垂线定理三垂线定理 1 和一个平面相交 但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线 斜线和平面的交点叫做 2 射影 1 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影 2 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时 直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线 3 如图 AO 是平面 斜线 A 为斜足 OB B 为垂足 AC OAB 1 BAC 2 OAC 则 cos 4 直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角 斜线和平面所成角 是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5 三垂线定理 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直 那么它 也和 垂直 逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条 垂直 那么它也和这条 垂 直 例例 1 已知 Rt ABC 的斜边 BC 在平面 内 A 到 的距离 2 两条直角边和平面 所成角分别 是 45 和 30 求 1 斜边上的高 AD 和平面 所成的角 2 点 A 在 内的射影到 BC 的距离 答案 答案 1 60 2 3 3 2 变式训练变式训练 1 如图 道旁有一条河 河对岸有电塔 AB 塔顶 A 到道路距离为 AC 且测得 BCA 30 在道路上取一点 D 又测得 CD 30m CDB 45 求电塔 AB 的高度 解 解 BC 30 AB BC tan30 103 例例 2 如图 矩形纸片 A1A2A3A4 B C B1 C1 基础过关基础过关 典型例题典型例题 C O B A D A B C 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 分别为 A1 A4 A2A3的三等分点 将矩形片沿 BB1 CC1折成三棱柱 若面对角线 A1B1 BC1 求证 A2C A1B1 解 解 取 A2B1中点 D1 A2C1 B1C1 C1D1 A2B1 又 A1A2 面 A2B1C1 C1D1 A1A2 C1D1 面 A1A2B1B BD1是 BC1在面 A2B 上的射影 由 A1B1 BC1 BD1 A1B1 取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 A2DBD1 A2DBD1是平行四边形 由 BD1 A1B1 A1B1 A2D A2C A1B1 变式训练 2 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 3 AA1 4 M 为 AA1中点 P 是 BC 上 一点 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长 29 设这条最短路线与 CC1交点 N 求 1 PC 和 NC 的长 2 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 大小 解 解 将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上 点 P 运动到点 P1的位置 连接 MP1 则 MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到点 M 的最短路线 设 PC x 则 P1C x 在 Rt MAP1中 由勾股定理得 x 2 PC P1C 2 5 2 1 1 AP CP MA NC NC 5 4 2 连接 PP1 则 PP1就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线 作 NH PP1于 H 又 CC1 平面 ABC 连结 CH 由三垂线定理得 CH PP1 NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成的平面角 锐角 在 Rt PHC 中 PCH 2 1 PCP1 60 CH 2 PC 1 在 Rt PHC 中 tanNHC 5 4 故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角大小为 arctan 5 4 例例 3 如图在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E 是棱 BC 的中点 点 F 是棱 CD 上的动点 1 试确定点 F 的位置 使得 D1E 面 AB1F B1 A1 B C A4 A1 A2 B1 C1 A3 A2 C1 C B D1 C1 B1 A1 B A D F CE A1 C1 B1 M N C P B A 用心 爱心 专心 2 当 D1E 面 AB1F 时 求二面角 C1 EF A 大小 解 解 1 连结 A1B 则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1内的射影 AB1 A1B D1E AB1 于是 D1E 平面 AB1F D1E AF 连结 DE 则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影 D1E AF DE AF ABCD 是正方形 E 是 BC 的中点 当且仅当 F 是 CD 的中点时 DE AF 即当点 F 是 CD 的中点时 D1E 面 AB1F 2 当 D1E 平面 AB1F 时 由 1 知点 F 是 CD 的中点 又已知点 E 是 BC 的中点 连结 EF 则 EF BD 连 AC 设 AC 与 EF 交点 H 则 CH EF 连 C1H 则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射 影 C1H EF 即 C1HC 是二面角 C1 EF C 的平面角 在 Rt C1HC 中 C1C 1 CH 4 1 AC 4 2 tan C1HC 22 1 CH CC C1HC arctan 22 AHC1 arctan22 变式训练变式训练 3 正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长 a 点 P 在 AC 上 Q 在 BC1上 AP BQ a 1 求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值 2 求证 PQ AD 1 解 解 过 Q 作 QM CC1交 BC 于 M 则 QM 面 ABCD QPM 就是所求角 BC BM BC BQ 1 即 a a BC BM 2 a aa BC CM 2 2 a aa AC CP 2 2 AC CP BC CM PM AB 在 Rt PQM 中 PM a 2 12 QM a 2 2 tan QPM PM QM a a 2 12 2 2 2 1 2 由 1 可知 PM BC PQ 在面 ABCD 内的射影是 PM PQ BC 又 AD BC PQ AD 例例 4 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AD AA1 1 AB 2 点 E 在棱 AB 上移动 用心 爱心 专心 1 证明 D1E A1D 2 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 ACD1的距离 3 AE 等于何值时 二面角 D1 EC D 的大小为 4 1 证明 证明 AE 平面 AA1DD1 A1D AD1 A1D D1E 2 设点 E 到面 ACD1的距离为 h 在 ACD1中 AC CD1 5 AD1 2 CAD S 1 2 1 2 2 1 5 2 3 而 ADC S 2 1 AE BC 2 1 ABCD V 1 3 1 ABC S DD1 3 1 CAD S 1 h 2 1 1 2 3 h h 3 1 3 过 D 作 DH CE 于 H 连 D1H DE 则 D1H CE DHD1为二面角 D1 EC D 的平面 角 设 AE x 则 BE 2 x 在 Rt D1DH 中 DHD1 4 DH 1 在 Rt ADE 中 DE 2 1x 在 Rt DHE 中 EH x 在 Rt DHC 中 CH 3 CE 54 2 xx 则 x 3 54 2 xx 解得 x 2 3 即当 x 2 3时 二面角为 D1 EC D 的大小为 4 变式训练变式训练 4 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 且 PD a PA PC 2a 1 求证 PD 面 ABCD 2 求直线 PB 与 AC 所成角 3 求二面角 A PB D 大小 证明 证明 1 PC 2a PD DC a PD2 DC2 PC2 PDC 是直角三角形 PD DC 同理 PD DA 又 DA DC D PD 平面 ABCD 2 连 BD ABCD 是正方形 AC BD 又 PD 平面 ABCD AC PB 三垂线定理 PB 与 AC 所成角为 90 3 设 AC BD 0 作 AE PB 于 E 连 OE A A1 C1 D 1 B C E D B1 P A B C D 用心 爱心 专心 AC BD PD 平面 ABCD AC 面 ABCD PD AC AC 平面 PDB 又 OE 是 AE 在平面 PDB 内的射影 OE PB AEO 就是二面角 A PB O 的平面角 又 AB a PA a2 PB a3 PD 面 ABCD DA AB PA AB 在 Rt PAB 中 AE PB PA AB AE a 3 6 AO a 2 2 sin AEO 2 3 AEO 60 1 求直线和平