河北省张家口市2020届高三数学12月阶段检测试题 文（含解析）

1 河北省张家口市河北省张家口市 20202020 届高三数学届高三数学 1212 月阶段检测试题月阶段检测试题 文 含解析 文 含解析 第第 卷 选择题共卷 选择题共 6060 分 分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每题小题 每题 5 5 分 共计分 共计 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 个选项正确个选项正确 1 若集合 则 11 2 322 x ax 2 340bxnxx ab a b c d 1 4 1 4 1 2 3 2 3 答案 c 解析 分析 首先解不等式确定集合 再由交集定义求得交集 a b 详解 由题意 15 axx 14 0 1 2 3 bxnx 1 2 3 ab 故选 c 点睛 本题考查集合的交集运算 求解时需选确定集合中的元素 然后才可以求交 a b 集运算 2 在公差不为零的等差数列中 且 成等比数列 则 d n a 3 16a 1 a 3 a 7 a d a 1b 2c 3d 4 答案 d 解析 分析 由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得 18 a a d 详解 由题意 13 2162aadd 73 4164aadd 成等比数列 1 a 3 a 7 a 即 解得 2 317 aa a 2 16 162 164 dd 4d 2 故选 d 点睛 本题考查等差数列的通项公式 考查等比数列的性质 属于基础题 3 已知 则 3 sin 65 4 cos 3 a b c d 4 5 3 5 4 5 3 5 答案 b 解析 分析 由 用诱导公式求解 6 4 3 3 2 详解 4 cos 3 33 cos sin 2665 故选 b 点睛 本题考查诱导公式 解题时需分析 已知角 和 未知角 的关系 确定选用什 么公式 4 若直线 过点 则的最小值等于 1 xy ab 0a 0b 1 2 2 ab a 9b 8c d 32 2 42 2 答案 a 解析 分析 把代入直线方程得满足的等量关系 用 1 的代换把凑配出基本不等式 1 2 a b 2zab 中的定值 然后用基本不等式求最小值 详解 直线 过点 1 xy ab 0a 0b 1 2 12 1 ab 当且仅当 即 122222 2 2 5529 abab abab abbaba 22ab ba 3 时等号成立 的最小值为 9 3ab 2 ab 故选 a 点睛 本题考查基本不等式求最值 解题时要注意基本不等式求最值的条件 一正二定 三相等 常常需要凑配出定值 1 的代换是常用凑配方法 5 已知 则下列命题中必然成立的是 abcdr a 若 则b 若 则 ab 22 acbc ab cd ab cd c 若 则d 若 则 22 acbc ab ab cacb 答案 c 解析 分析 由不等式的性质判断每一个命题是否正确 可举反例不等式不成立 详解 若 则 a 错 满足 但 0c 22 0acbc 2 1 10 2abcd ab cd 是 b 错 若 则 c 正确 但 ab cd 22 acbc 2 0c ab 3 2ab 32 d 错 32cc 故选 c 点睛 本题考查不等式的性质 掌握不等式的性质成立的条件是解题基础 对不一定成 立的不等式可通过举反例说明 6 已知点为双曲线 上的动点 点 点 若 pc 22 1 3664 xy 10 0a 10 0b15pa 则 pb a 27b 3c 3 或 27d 9 或 21 答案 a 解析 分析 求出双曲线的半焦距 说明是双曲线的焦点 根据双曲线的定义计算 但要由 c a b pb 已知条件确定点是否可能在两支上 p 4 详解 由题意 则 是双曲线的焦点 6 8ab 366410c a b 又 点在双曲线的左支上 15210 12paca p 2152 627pbpaa 故选 a 点睛 本题考查双曲线的定义 在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时 可用双曲线的 定义求解 注意双曲线的定义是 解题时如不能确定双曲线上的点在哪 12 2pfpfa 支上 则两支都有可能 7 已知菱形的边长为 2 点满足 则 abcd60bad e 31 44 aeadab ae ac a b c 6d 8 3 4 3 42 3 答案 c 解析 分析 把也用表示 后求数量积 ac ab ad 详解 是菱形 abcdac abad 31 44 ae acadababad 2231 44 adab adab 22 31 22 2 cos602 44 6 故选 c 点睛 本题考查平面向量的数量积 解题时选取为基底 其他向量用基底表示 ab ad 后再参与运算 8 已知函数 若 则实数的取值范围 xx f xee 11 22 log1 2log0fmfm m 5 是 a b c d 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 答案 d 解析 分析 先判断函数的奇偶性与单调性 然后利用这两个性质化函数不等式为对数不等式 再 f x 解之 详解 是奇函数 又是增函数 xx fxeef x f x xx f xee 由奇函数性质不等式可化为 11 22 log1 2log0fmfm 11 22 log 2log1 fmfm 由增函数性得 解得 11 22 log2log1mm 1 2 log1m 1 0 2 m 故选 d 点睛 本题考查函数的单调性与奇偶性 考查解对数不等式 本题这种类型的不等式有 两种 一种是奇函数 不等式为 转化为 一种是偶函 12 0f xf x 12 f xfx 数 不等式为 转化为 然后由单调性去函数符号 12 f xf x 12 fxfx f 9 已知三棱锥中 面 dabc ad abc3ad 1ab 2bc 则三棱锥的外接球的表面积为 6dc a b c d 8 6 4 8 6 答案 b 解析 分析 由面 得 由勾股定理计算出 从而知 于是可得 ad abcadac acabbc 则的中点到四顶点距离相等 为外接球球心 bcbd cdo a b c d 6 详解 面 面 同理 ad abcac abcadac adbc 22 633acdcac 即 而 平面 222 abbcac abbc adaba bc abd 取中点 连接 即为三棱锥 bcbd cdo oa ob oaocodob o 外接球球心 半径为 dabc 6 2 2 6 4 6 2 s 球 故选 b 点睛 本题考查球的表面积 考查三棱锥的外接球问题 解题关键是确定球心位置 本 题中利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等确定球心 一般棱锥的外接球球心在过各 面外心与该面垂直的直线上 10 过抛物线 的焦点的直线交该抛物线于 b两点 若 c 2 2xpy 0p fa 为坐标原点 则 5 afbf o af of a b c 6d 5 4 3 4 6 5 答案 d 解析 分析 过作准线的垂线 垂足分别为 是准线与抛物线对称轴的交点 作 a b m n k 于 交轴于 利用 及平行线截线段成比 adbn dade amaf bnbf 例可求得结论 详解 如图 过作准线的垂线 垂足分别为 是准线与抛物线对称轴的交 a b m n k 点 作于 交轴于 adbn dade 7 由抛物线定义知 设 则 amaf bnbf afa 5ama bfbna 由刚才的作图知是矩形 又 amnd dnamfka 4bda febd efaf edab 46 efa aa 2 3 efa 25 33 fkaaa 15 26 offka 6 5 5 6 afa of a 故选 d 点睛 本题考查抛物线的焦点弦性质 解题时过作准线的垂线 利用抛物线的定义 a b 得 利用平行线截线段成比例求解 方法简单易懂 amaf bnbf 11 定义在上的运算 若不等式对 r 1xyxy 2 1 35xxaa 恒成立 则实数的取值范围是 2 5x a a b 16 16 c d 23 23 答案 a 解析 分析 由新定义把不等式转化为 然后由 2 1 35xxaa 2 1 1 3 5xxaa 不等式恒成立求得的范围 a 详解 由题意 即 2 1 1 3 3 51 xxaxax 8 对恒成立 22 345xxaa 2 5x 当时 解得 2 5 x 22 37 34 24 xxx 6 2 56aa 或 1a 6a 故选 a 点睛 本题考查新定义 考查不等式恒成立问题 解题关键是利用新定义把 新不等式 转化为我们熟悉的不等式 然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围 12 已知函数 若 则的最大值为 2 0 0 x x x f x ex 1212 f xf xxx 12 xx a b c d 2 2 2ln22 3ln22 ln2 1 答案 d 解析 分析 根据 不妨设 得 这样可把变为一元函数 问题 12 f xf x 12 xx 2 1 2 x xe 12 xx 转化为求一元函数的最值 详解 作出的图象 如图 不妨设 f x 12 xx 12 f xf x 2 1 2 x xe 2 0 x 2 122 1 2 x xxex 设 则 1 2 x g xex 0 x 1 1 2 x g xe 1 2 2 x e 当时 递增 当时 递减 0ln2x 0 g x g x ln2x 0 g xg x 9 时 也是最大值 ln2x ln2 1ln2g xg 极大值 的最大值是 12 xx ln2 1 故选 d 点睛 本题考查方程根的分布 考查用导数研究函数的最值 解题关键是由已知 不妨设 得 这样可把变为一元函数 从而问题 12 f xf x 12 xx 2 1 2 x xe 12 xx 转化为求函数的最大值 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小題 每题小題 每题 5 5 分 共计分 共计 2020 分分 请把正确答案填写在答题纸相应的位请把正确答案填写在答题纸相应的位 置上置上 13 已知的内角 的对边分别为 且 abc a bcabc 2 2 abcab 则的面积为 30b 2a abc 答案 3 解析 分析 已知条件利用余弦定理求得 然后由三角形内角和可得 再由等腰三角形得 再由 cab 三角形面积公式求得面积 详解 2 2 abcab 222 abcab 222 1 cos 22 abc c ab 120c 30a 2ba 11 sin2 2sin1203 22 abc sabc 故答案为 3 点睛 本题考查余弦定理 三角形面积公式 解三角形中有三类公式 正弦定理 余弦 定理 三角形面积公式 掌握这些公式是解题基础 14 已知圆 和点 是圆上一点 线段的垂直平分线交 c 2 2 536xy 5 0b pbp 10 于点 则点的轨迹方程是 cpmm 答案 22 1 916 xy 解析 分析 根据双曲线的定义求轨迹方程 详解 在的中垂线上 mbp mpmb 6mcmbmcmppc 又 点轨迹是以为焦点 实轴长为 6 的双曲线 106bc m c b5 3ca 又关于原点对称 2222 534bca c b 点轨迹方程为 m 22 1 916 xy 故答案为 22 1 916 xy 点睛 本题考查用双曲线的定义求轨迹方程 属于基础题 根据双曲线定义确定动点轨 迹是双曲线 然后求出得标准方程 要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方 a b 程 15 已知双曲线 的右焦点为 是双曲线的一 c 22 22 1 xy ab 0a 0b fab 条渐近线上关于原点对称的两点 且线段的中点落在另一条渐近线上 0af bf afm 则双曲线的离心率为 c 答案 2 解析 分析 由得 从而有 因此可得坐标 于是 0af bf afbf oaobofc a b 有中点坐标 代入渐近线方程可得的等式 转化后可求得离心率 m a c e 11 详解 如图 设在渐近线上 a b b yx a 0af bf afbf oaobofc 而 是中点 由已知在渐近线 aab c 0 f maf 22 cab m m 上 b yx a 22 bbca a caa 2ca 2 c e a 故答案为 2 点睛 本题考查求双曲线的离心率 考查渐近线方程 考查向量的数量积与垂直的关 系 解题关键是寻找关于的等式 然后转化后可求得 题中用到一个结论 a b c c e a 在渐近线上在第一象限内的点 且 则有 b obc b a b 16 已知 分别满足以下三个方程 则 abc 1 2 log x ex 1 ln x x ln x ex a 的大小关系为 bc 答案 c ab 解析 分析 根据方程的根 确定的范围 从而得大小关系 a b c 12 详解 由题意 1 2 log0 a ea 01a 1 ln0b b 1b ln c ec 0c 0c cab 故答案为 cab 点睛 本题考查比较实数的大小 实质是考查方程根的分布 本题中方程的解只要通过 函数值的正负及函数定义域即可确定各自的取值范围 从而得出它们的大小关系 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 6 6 小题 共计小题 共计 7070 分分 17 若数列的前项和为 且 n a nn s21 nn sa nn 1 求数列的通项公式 n a 2 设 求数列的前项和 1 21 n n n b a n b n n t 答案 1 2 1 2n n a 23 3 2n n 解析 分析 1 时 由可得数列的递推关系 从而确定数列是等 11 as 2n 1nnn ass n a 比数列 易得其通项公式 2 数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得 因此用错位相减法求 n b 和 详解 1 数列的前项和为 且 n a nn s21 nn sa 当时 1n 111 21asa 1 1a 当时 2n 11 21 nn sa 得 即 常数 1 2 nn aa 1 2 n n a a 故数列是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 n a 13 所以 1 2n n a 2 由于 所以 1 2n n a 1 2121 2 n n n nn b a 所以 2 1321 222 n n n t 231 11321 2222 n n n t 得 整理得 21 1111121 2 222222 n nn n t 23 3 2 n n n t 点睛 本题考查由与的关系求通项公式 考查错位相减法求数列的和 在由 n s n a 时 要注意 与它们的求法不同 要分类求解 数列求和问题中有 1nnn ass 2n 1 a 两类数列的求和法一定要掌握 数列是等差数列 数列是等比数列 则数列 n a n b 的和的求法是裂项相消法 数列的和的求法是错位相减法 1 1 nn a a nn a b 18 在中 内角 所对的边分别为 已知 abc a bcabc 2 3sin2cos0 2 ac b 1 求角 的大小 b 2 若 求的面积的最大值 3b abc 答案 1 2 2 3 3 4 解析 分析 1 降幂后由诱导公式得 由两角和的正弦公式转化一个角的一个三 3sincos1bb 角函数后可求得 b 2 由余弦定理写出的关系式 结合基本不等式求得的最大值 从而得三角形面 a c ac 积的最大值 详解 1 中 内角 所对的边分别为 已知 abc a bcabc 14 2 3sin2cos0 2 ac b 所以 3sincos1bb 故 由于 2sin1 6 b 0b 解得 2 3 b 2 由余弦定理 222 2cosbacacb 得 22 323acacacacac 即 当且仅当时取等号 1ac ac 的面积 最大值为 abc 1133 sin1 2224 abc sacb 3 4 点睛 本题考查余弦定理 三角形面积公式 考查降幂公式 诱导公式 两角和的正弦 公式等 考查的知识点较多 属于中档题 19 如图 1 在直角梯形中 过 abcd abcdabbc 22cdabbc 点作 垂足为 现将沿折叠 使得 取的中点 aaecd eade aedeec adf 连接 如图 2 bfcfef 1 求证 平面平面 dab dae 2 若三棱锥的体积为 求 efbc 2 3ab 答案 1 见解析 2 2ab 解析 15 分析 1 折叠过程中保持不变 再由从而可证得 aede aeec ecab 于是有平面 从而证得面面垂直 abae abde ab dae 2 三棱锥换底有 只要设 则三角形面积为 到 e fbcf ebc vv abx ebc 2 1 2 x f 平面的距离等于的一半为 这样棱锥的体积就用表示出来了 由此可解得 ebcde2 x x x 详解 1 aecd abcd aeab deec abec deab 又 平面 aedee ab dae 平面 平面平面 ab dabdab dae 2 是的中点 设 则 fadabx bccedex 11 32 e fbcf bcebce vvsde 2 1 11 3 22 xx 3 1 12 x 2 3 所以 即 2x 2ab 点睛 本题考查面面垂直的证明 考查棱锥的体积 证面面垂直 根据其判定定理就是 要证线面垂直 从而只要证得两个线线垂直即可 一定要抓住定理的所有条件 缺一为 可 三棱锥的体积注意常常用换底法 换底后高易求 底面积也易得 这样体积易表示出 来 20 已知抛物线 上一点到其焦点的距离为 5 c 2 2 0 ypx p 4 rm f 1 求与的值 p m 2 设动直线与抛物线相交于 两点 问 在轴上是否存在与 2yk x ca bx 的取值无关的定点 使得 若存在 求出点的坐标 若不存在 kmamfbmf m 说明理由 答案 1 2 存在点 2p 4m 2 0m 解析 16 分析 1 由抛物线上点的焦半径为可求得 从 2 2 0 ypx p 00 r xy 0 2 p rfx p 而再求得 m 2 假设设存在点满足条件 令 条件 0m a 11 a x y 22 b xy 转化为 即 整理得 amfbmf ambm kk 12 12 0 yy xaxa 由直线方程与抛物线方程联立后消去 注意讨论的情 1212 40y yayy x0k 形 得的方程 由韦达定理得 代入它是与无 y 1212 yyy y 1212 40y yayy k 关的等式 从而可得 a 详解 1 根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 rm 解得 抛物线方程为 45 2 p 2p 2 4yx 点在抛物线上 得 4 rm 2 44m 4m 2 抛物线方程为 2 4yx 当 直线只与抛物线有一个交点 显然不成立 0k 当时 令 设存在点满足条件 0k 11 a x y 22 b xy 0m a 即 amfbmf ambm kk 即 12 12 0 yy xaxa 整理得 1212 40y yayy 整理得 2 2 4 yk x yx 2 4 80 y y k 12 4 yy k 12 8y y 17 4 480a k 解的 480a 2a 因此存在点满足题意 2 0m 点睛 本题考查抛物线的焦半径公式 考查直线与抛物线相交问题 对存在性命题 一 般是假设存在 然后根据这个存在性去推导计算 方法是设而不求思想方法 如果能求出 定点 说明真正存在 如果求不出说明假设错误 不存在定点满足题意 21 已知椭圆 的左 右焦点分别为 c 22 22 1 xy ab 0ab 1 2 0f 且经过点 2 2 0f 2 1m 1 求椭圆的标准方程 c 2 若斜率为 2 的直线与椭圆交于 两点 且 求该直线的方程 ca b 2ab 答案 1 2 或 22 1 42 xy 3 110 2 10 yx 3 110 2 10 yx 解析 分析 1 由椭圆定义得 求得后 再由 求得 得椭圆方程 12 2aafaf a 222 bac b 2 设出直线方程为 同时设交点坐标 由直线方程 2yxm 11 a x y 22 b xy 与椭圆方程联立消元后中得 再由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求 121 2 xx x x 得 m 详解 1 由椭圆的定义 可知 2 12 22 21 14aafaf 解得 2a 又 2 22 22ba 18 所以椭圆的标准方程为 c 22 1 42 xy 2 设直线 的方程为 l 2yxm 联立 得 22 2 1 42 yxm xy 22 98240 xmxm 得 22 64721440mm 3 23 2m 设 11 a x y 22 b xy 12 8 9 m xx 2 12 24 9 m x x 2 121212 554abxxxxx x 22 64816 52 819 mm 解得 3 110 10 m 直线 的方程为 或 l 3 110 2 10 yx 3 110 2 10 yx 点睛 本题考查求椭圆的标准方程 考查直线与椭圆相交的弦长