北京各区中考数学 二次函数及压轴题人教版

1 朝阳朝阳 24 本小题满分 7 分 已知直线 y kx 3 与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 轴交于点 C 抛物线 2 3 4 yxmxn 经过点 A 和点 C 动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线 与 x 轴的另一个交点 B 向点 A 运动 点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运 动速度的 2 倍 1 求此抛物线的解析式和直线的解析式 2 如果点 P 和点 Q 同时出发 运动时间为 t 秒 试问当 t 为何值时 PQA 是直角 三角形 3 在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D 使得 ACD 的面积最大 若存在 求出 点 D 坐标 若不存在 请说明理由 崇文崇文 2 已知抛物线 2 1yaxbx 经过点 A 1 3 和点 B 2 1 1 求此抛物线解析式 2 点 C D 分别是x轴和y轴上的动点 求四边形 ABCD 周长的最小值 3 过点 B 作x轴的垂线 垂足为 E 点 点 P 从抛物线的顶点出发 先沿抛物线的对称 轴到达 F 点 再沿 FE 到达 E 点 若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE 上运动速度 的2倍 试确定点 F 的位置 使得点 P 按照上述要求到达 E 点所用的时间最短 要求 简 述确定 F 点位置的方法 但不要求证明 23 已知 P 3 m 和 Q 1 m 是抛物线 2 21yxbx 上 的两点 1 求b的值 2 判断关于x的一元二次方程 2 21xbx 0 是否有实数根 若有 求出它的实 数根 若没有 请说明理由 3 将抛物线 2 21yxbx 的图象向上平移k k是正整数 个单位 使平移后 的图象与x轴无交点 求k的最小值 东城东城 18 已知 二次函数 2 yaxbxc 0 a 中的xy 满足下表 2 x y o C1 A 1 x 1 0123 y 03 4 3 m 1 m的值为 2 若 1 A py 2 1 B py 两点都在该函数的图象上 且0p 试比较 1 y与 2 y的大小 23 已知抛物线 C1 2 2yxx 的图象如图所示 把 C1的图象沿y轴翻折 得到抛物线 C2的图象 抛物线 C1与抛物线 C2的图象合称图象 C3 1 求抛物线 C1的顶点 A 坐标 并画出抛物线 C2的图 象 2 若直线ykxb 与抛物线 2 0 yaxbxc a 有且只有一个交点时 称直线与 抛物线相切 若直线yxb 与抛物线 C1相切 求 b的值 3 结合图象回答 当直线yxb 与图象 C3 有两个交点时 b的取值范围 24 如图 在平面直角坐标系中 A 2 3 0 B 2 3 2 把矩形 OABC 逆时针旋 转30 得到矩形 111 OA BC 1 求 1 B点的坐标 2 求过点 2 0 且平分矩形 111 OA BC面积的直线l方程 3 设 2 中直线l交y轴于点 P 直接写出 1 PC O 与 11 PB A 的面积和的值及 1 POA 与 11 PBC 的面积差的值 备用图 3 丰台丰台 23 本小题满分 7 分 已知二次函数2 2 mmxxy 1 求证 无论 m 为任何实数 该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点 2 当该二次函数的图象经过点 3 6 时 求二次函数的解析式 3 将直线 y x 向下平移 2 个单位长度后与 2 中的抛物线交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 一个动点 P 自 A 点出发 先到达抛物线的对称轴上的某点 E 再到达 x 轴上的某点 F 最后运动到点 B 求使点 P 运动的总路径最短的点 E 点 F 的坐标 并求出这个最短总路径的长 25 本小题满分 8 分 已知抛物线2 2 xxy 1 求抛物线顶点 M 的坐标 2 若抛物线与 x 轴的交点分别为点 A B 点 A 在点 B 的左边 与 y 轴交于点 C 点 N 为线段 BM 上的一点 过点 N 作 x 轴的垂线 垂足为点 Q 当点 N 在线段 BM 上运动时 点 N 不与点 B 点 M 重合 设 NQ 的长为 t 四边形 NQAC 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围 3 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P 使 PAC 为直角三角形 若存在 求出所 有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 海淀海淀 23 关于x的一元二次方程 2 40 xxc 有实数根 且c为正整数 1 求c的值 2 若此方程的两根均为整数 在平面直角坐标系xOy中 抛物线 2 4yxxc 与x轴 交于A B两点 A在B左侧 与y轴交于点C 点P为对称轴上一点 且四边形 OBPC为直角梯形 求PC的长 3 将 2 中得到的抛物线沿水平方向平移 设顶点 D的坐标为 m n 当抛物线与 2 中的直角梯形 OBPC只有两个交点 且一个交点在PC边上时 直接写 出m的取值范围 24 点P为抛物线 22 2yxmxm m为常数 0m 4 上任一点 将抛物线绕顶点G逆时针旋转90 后得到的新图象与y轴交于A B两点 点 A在点B的上方 点Q为点P旋转后的对应点 1 当2m 点P横坐标为 4 时 求Q点的坐标 2 设点 Q a b 用含m b的代数式表示a 3 如图 点Q在第一象限内 点D在x轴的正半轴上 点C为OD的中点 QO 平分 AQC 2AQQC 当QDm 时 求m的值 石景山石景山 23 已知 axy 与 x b y 3 两个函数图象交点为 nmP 且nm nm 是关于 x的一元二次方程 0372 2 kxkkx的两个不等实根 其中k为非负整数 1 求k的值 2 求ba 的值 3 如果 0 ccy与函数axy 和 x b y 3 交于BA 两点 点A在点B的左侧 线段 2 3 AB 求c的值 25 已知 如图 1 等边ABC 的边长为32 一边在x轴上且 0 31 A AC 交 y轴于点E 过点E作EF AB交BC于点F 1 直接写出点CB 的坐标 2 若直线 01 kkxy将四边形EABF的面积两等分 求k的值 3 如图 2 过点CBA 的抛物线与y轴交于点D M为线段OB上的一个动点 过x轴上一点 0 2 G作DM的垂线 垂足为H 直线GH交y轴于点N 当 M点在线段OB上运动时 现给出两个结论 CDMGNM DCMMGN 其中有且只有一个结论是正确的 请 你判断哪个结论正确 并证明 图 1 图 2 5 西城西城 23 已知关于 x 的方程032 1 3 2 mxmmx 1 求证 无论 m 取任何实数时 方程总有实数根 2 若关于x的二次函数32 1 3 2 1 mxmmxy的图象关于 y 轴对称 求这个二次函数的解析式 已知一次函数22 2 xy 证明 在实数范围内 对于 x 的同一个值 这两个 函数所对应的函数值 y1 y2均成立 3 在 2 的条件下 若二次函数 y3 ax2 bx c 的图象经过点 5 0 且在实 数范围内 对于 x 的同一个值 这三个函数所对应的函数值 y1 y3 y2均成立 求二次函数 y3 ax2 bx c 的解析式 25 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数333 xy的图象与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 点 C 的坐标为 3 0 连结 BC 1 求证 ABC 是等边三角形 2 点 P 在线段 BC 的延长线上 连结 AP 作 AP 的垂直平分线 垂足为点 D 并 与 y 轴交于点 D 分别连结 EA EP 若 CP 6 直接写出 AEP 的度数 若点 P 在线段 BC 的延长线上运动 P 不与点 C 重合 AEP 的度数是否变 化 若变化 请说明理由 若不变 求出 ADP 的度数 3 在 2 的条件下 若点 P 从 C 点出发在 BC 的延长线上匀速运动 速度为每秒 1 个单位长度 EC 与 AP 于点 F 设 AEF 的面积为 S1 CFP 的面积为 S2 y O A B C 1 1 x 6 x y O y S1 S2 运动时间为 t t 0 秒时 求 y 关于 t 的函数关系式 宣武宣武 24 已知 将函数 3 3 yx 的图象向上平移 2 个单位 得到一个新的函数的图像 1 求这个新的函数的解析式 2 若平移前后的这两个函数图象分别与 y 轴交于O A两点 与直线 3x 交于C B两点 试判断以A B C O四点为顶点的 四边形形状 并说明理由 3 若 中的四边形 不包括边界 始终覆盖着二次函数 2 1 2 22 bbxxy 的图象的一部分 求满足条件的实数 b 的取值范围 25 已知 如图 在直角坐标系中 已知点 0 P的坐标为 10 将线段 0 OP按逆时 针方向旋转45 再将其长度伸长为 0 OP的 2 倍 得到线段 1 OP 又将线段 1 OP按逆时针 方向旋转45 长度伸长为 1 OP的 2 倍 得到线段 2 OP 如此下去 得到线段 3 OP 4 OP n OP n为正整数 1 求点 6 P的坐标 2 求 56 POP 的面积 3 我们规定 把点 nnn P xy 012 3n 的横坐标 n x 纵坐标 n y都取绝对值后得到的新坐标 nn xy 称之为点 n P的 绝对坐标 根据图中点 n P的分布规律 请你猜想点 n P 的 绝对坐标 并写出来 大兴大兴 24 若 21 x x是关于x的一元二次方程 0 0 2 acbxax的两个根 则方程的两个根 21 x x和系数cba 有如下关系 a c xx a b xx 2121 我们把它们称为根与 系数关系定理 如果设二次函数 0 2 acbxaxy的图象与 x 轴的两个交点为 0 0 21 xBxA 利 Ox y 0 10 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 7 用根与系数关系定理我们又可以得到 A B 两个交点间的距离为 444 4 2 2 2 2 21 2 2121 a acb a acb a c a b xxxxxxAB 请你参考以上定理和结论 解答下列问题 设二次函数 0 2 acbxaxy 的图象与 x 轴的两个交点为 0 0 21 xBxA 抛 物线的顶点为 C 显然ABC 为等腰三角形 1 当ABC 为等腰直角三角形时 求 4 2 的值acb 2 当ABC 为等边三角形时 acb4 2 3 设抛物线1 2 kxxy与 x 轴的两个交点为 A B 顶点为 C 且 90ACB 试 问如何平移此抛物线 才能使 60ACB 25 已知抛物线 2 2yxxa 0a 与y轴相交于点A 顶点为M 直线 1 2 yxa 分别与x轴 y轴相交于BC 两点 并且与直线AM相交于点N 1 填空 试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标 则 MN 2 如图 11 将NAC 沿y轴翻折 若点N的对应点N 恰好落在抛物线上 AN 与 x轴交于点D 连结CD 求a的值和四边形ADCN的面积 3 在抛物线 2 2yxxa 0a 上是否存在一点P 使得以PACN 为顶点 的四边形是平行四边形 若存在 求出P点的坐标 若不存在 试说明理由 8 6 6 1 2 3 5 4 1 2 3 4 5 487 6 5 3 2 16 54321 y y x x O 23 已知抛物线 2 442yaxaxa 其中a是常数 1 求抛物线的顶点坐标 2 若 2 5 a 且抛物线与x轴交于整数点 坐标为整数的点 求此抛物线的解析式 25 如图 在平面直角坐标系xOy中 点 3 1 A关于x轴的对称点为C AC与 x轴交于点B 将 OCB沿OC翻折后 点 B落在点D处 1 求点C D的坐标 2 求经过O D B三点的抛物线的解析式 3 若抛物线的对称轴与OC交于点E 点P为 线段OC上一点 过点P作y轴的 平行线 交抛物线于点Q 当四边形EDQP为等腰梯形时 求出点P的坐标 当四边形EDQP为平行四边形时 直接写出点P的坐标 房山房山 23 已知 抛物线 1 C 2 445yaxaxa 的顶点为 P 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 点 B 的横坐标是 1 1 求抛物线的解析式和顶点P的 坐标 2 将抛物线沿 x 轴翻折 再向右 平移 平移后的抛物线 2 C的顶 点为 M 当点 P M 关于点 B 成中心对称时 求平移后的抛 物线 2 C的解析式 3 直线 3 5 yxm 与抛物线 1 C 2 C的对称轴分别交于点 O y x A 9 E F 设由点 E P F M 构成的四边形的面积为 s 试用含 m 的代数式表示 s 25 如图 在平面直角坐标系xOy中 直线 l1 36 3yx 交 x 轴 y 轴于 A B 两 点 点 M m n 是线段 AB 上一动点 点 C 是线段 OA 的三等分点 1 求点 C 的坐标 2 连接 CM 将 ACM 绕点 M 旋转 180 得 到 A C M 当 BM 1 2 AM 时 连结 A C AC 若过原点 O 的直线 l2将四边形 A CAC 分成面积相等的两个四 边形 确定此直线的解析式 过点 A 作 A H x 轴于 H 当点 M 的坐标为何 值时 由点 A H C M 构成的四边形为梯形 怀柔怀柔 23 已知二次函数 y x2 x c 1 若点 A 1 n B 2 2n 1 在二次函数 y x2 x c 的图象上 求此二次函数 的最小值 2 若 D 2 y1 E x2 2 两点关于坐标原点成中心对称 试判断直线 DE 与抛物线 y x2 x c 的交点个数 并说明理由 3 8 24 已知如图 在梯形ABCD中 24ADBCADBC 点M是AD的中点 MBC 是等边三角形 1 求证 梯形ABCD是等腰梯形 2 动点P Q分别在线段BC和MC上运动 且60MPQ 保持不变 设 PCxMQy 求y与x的函数关系式 3 在 2 中 当y取最小值时 判断PQC 的形状 并说明理由 25 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 抛物线 2 14 10 189 yxx 与 正半轴交于点 A 与 轴交于点 B 过点 B 作 x 轴的平行线 BC 交抛物线于点 C 连结 AC 现有两动点 P Q 分 别从 O C 两点同时出发 点 P 以每秒 4 个单位的速度 沿 OA 向终点 A 移动 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 点 P 停止运动时 点 Q 也同时停止运动 线 段 OC PQ 相交于点 D 过点 D 作 DE OA 交 CA 于点 E 射 线 QE 交 x 轴于点 F 设动点 P Q 移动的时间为 t 单位 秒 y x B OA M A D C B P M Q 60 10 1 2 3 4 4 3 2 1 x y O 1 2 3 4 4 3 2 1 1 求 A B C 三点的坐标 2 当 t 为何值时 四边形 PQCA 为平行四边形 请写出计算过程 3 当 0 t 9 2 时 PQF 的面积是否总为定值 若是 求出此定值 若不是 请说明理由 4 当 t 时 PQF 为等腰三角形 门头沟门头沟 23 关于 x 的一元二次方程01 2 2 1 22 xmxm 1 当 m 为何值时 方程有两个不相等的实数根 2 点 A 1 1 是抛物线1 2 2 1 22 xmxmy上的点 求抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 若点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称 是否存在与抛物线只交 于点 B 的直线 若存在 请求出直线的解析式 若不存在 请说明 理由 25 如图 抛物线经过 A 3 0 B 0 4 C 4 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点 P 从 点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动 同时另 一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动 经过 t 秒 的移动 线段 PQ 被 BD 垂直平分 求 t 的值 3 在 2 的条件下 M 为抛物线的对称轴上一动点 当 MQ MC 的值最小时 请 求出点 M 的坐标 密云密云 y x O Q PDC B A 11 24 如图 将腰长为5的等腰 Rt ABC C 是直角 放 在平面直角坐标系中的第二象限 使顶点 A 在 y 轴上 顶点 B 在抛物线 2 2yaxax 上 顶点 C 在 x 轴 上 坐标为 1 0 1 点 A 的坐标为 点 B 的坐标为 2 抛物线的关系式为 其顶点坐标为 3 将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90 到达AB C 的位置 请判断点 B C 是否在 2 中的抛物线上 并说明理由 25 如图 在梯形ABCD中 3510ADBCADDCBC 梯形的高为 4 动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速 度向终点C运动 动点N同时从C点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动 设运动的 时间为t 秒 1 当MNAB 时 求t的值 2 试探究 t为何值时 MNC 为等腰三角形 顺义顺义 23 已知 抛物线 2 1 22ykxkxk 与x轴有两个不同的交 点 1 求k的取值范围 2 当k为整数 且关于x的方程31xkx 的解是负数时 求抛 物线的解析式 3 在 2 的条件下 若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画 出一个最大的正方形 使得正方形的一边在x轴上 其对边 的两个端点在抛物线上 试求出这个最大正方形的边长 25 如图 直线 1 l ykxb 平行于直线1yx 且与直线 2 l 1 2 ymx 相交于点 1 0 P 1 求直线 1 l 2 l的解析式 2 直线 1 l与 y 轴交于点 A 一动点C从点 A 出发 先沿平行于 x 轴的方向运动 到达直 线 2 l上的点 1 B处后 改为垂直于 x 轴的方向运动 到达直线 1 l上的点 1 A处后 再沿 12 第 22 题图 第 22 题图 平行于 x 轴的方向运动 到达直线 2 l上的点 2 B处后 又改为垂直于 x 轴的方向运动 到达直线 1 l上的点 2 A处后 仍沿平行于 x 轴的方向运动 照此规律运动 动点C依次经 过点 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 A n B n A 求点 1 B 2 B 1 A 2 A的坐 标 请你通过归纳得出点 n A n B的坐标 并求当动点C到达 n A处时 运动的总路径的长 通州通州 22 如图 所示 直角梯形 OABC 的顶点 A C 分别在 y 轴正半轴与x轴负半轴上 过点 B C 作直线l 将直线l平移 平移后的直线l与x轴交于点 D 与y轴交于点 E 1 将直线l向右平移 设平移距离 CD 为t t 0 直角梯形 OABC 被直线l扫过 的面积 图中阴影部份 为s s关于t的函数图象如图 所示 OM 为线段 MN 为抛物线的一部分 NQ 为射线 且 NQ 平行于 x 轴 N 点横坐标为 4 求梯 形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积 2 当24t 时 求 S 关于t的函数解析式 25 在平面直角坐标系中 抛物线 2 23yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 13 o y x 左侧 与 y 轴交于点 C 顶点为 D 直线 CD 与 x 轴交于点 E 1 请你画出此抛物线 并求 A B C D 四点的坐标 2 将直线 CD 向左平移两个单位 与抛物线交于点 F 不与 A B 两点重合 请你 求出 F 点坐标 3 在点 B 点 F 之间的抛物线上有一点 P 使 PBF 的面积最大 求此时 P 点坐标 及 PBF 的最大面积 4 若平行于 x 轴的直线与抛物线交于 G H 两点 以 GH 为直径的圆与 x 轴相切 求该圆半径 17 已知二次函数 2 2yxbxb 的图象的顶点在 x 轴的负半轴上 求出此二次函数 的解析式 延庆延庆 23 已知 关于x的一元二次方程0 2 2 nmxnmmx 1 求证 方程 有两个实数根 2 求证 方程 有一个实数根是 1 3 设方程 的另一个根为 1 x 若2 nm m为正整数且方程 有两个不相等的 整数根时 确定关于x的二次函数nmxnmmxy 2 2 的解析式 4 在 3 的条件下 把 Rt ABC 放在坐标系内 其中 CAB 90 点 A B 的坐 标分别为 1 0 4 0 BC 5 将 ABC 沿 x 轴向右平移 当点 C 落在抛 物线上时 求 ABC 平移的距离 24 如图 已知抛物线 C1 52 2 xay的顶点为 P 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 点 B 的横坐标是 1 14 1 求P点坐标及a的值 2 如图 1 抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称 将抛物线 C2向右平移 平移后 的抛物线记