1.2 排列组合专题

排到组合方法总结姜老师专版1 1 2 排列组合类型题总结排列组合类型题总结 一 邮信问题 一 邮信问题 把 4 封信投入 3 个邮箱有多少种方法 解析 这类问题首先分清哪个有限制条件 以有限制条件的为主体研究 即指数形式 有条件的为指数在上边无条件的在下边 练习 若 A a b c B 1 2 3 4 5 则从集合 A 到集合 B 一共可以有多少个不 同的映射 从集合 B 到集合 A 一共可以有多少个不同的映射 二 排序问题 二 排序问题 1 优限 先 法 特殊元素优先或特殊位置优先 例 4 名男生和 4 名女生排成一排 女生不排首末两端 则不同的排法数为 2 捆绑法 用于在一起相邻 整体性的问题 例 6 人站成一排 其中甲 乙 丙 3 人站在一起的所有排列的种数为 3 插空法 用于元素不相邻的问题 先排无条件的 再插空 有有序排列和无序排列 1 不同元素与不同元素间的间的不相邻 例 7 人站成一排 其中甲 乙 丙 3 人不在一起的所有排列的种数为 2 不同元素与相同元素间的不相邻 例 3 个人坐在 8 个座位上 若每个人的两边都要有空位 则不同的坐法有多少种 3 相同元素与相同元素间的不相邻 例 一排路灯有 10 盏 为了节约用电 灭掉 3 盏 要求不能灭两边的且灭灯不相连 有多少种方法 排到组合方法总结姜老师专版2 4 留位法 用于个别顺序固定的 先在所有位置上排无条件的 有条件还进入即可 例 五名学生站成一排 其中甲必须站在乙的左边 可以不相邻 的站法种数为 变式 若把英语单词 look 的字母顺序写错了 则可能出现的错误共有 种 练习 四名男生和三名女生排成一排 1 甲乙二人必须站在两端的排法有多少种 2 甲乙二人不能站在两端的排法有多少种 3 甲不站在排头 乙不站在排尾的排法有多少种 4 女生不相邻的排法有多少种 5 甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种 6 甲排在乙的右边有多少种不同的排法 三 排数字 三 排数字 例 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 1 能组成多少个无重复数字的四位奇数 2 能组成多少个无重复数字的四位偶数 3 能组成多少个无重复数字的四位数字 且个位小于十位数字 4 能组成多少个无重复且大于 345012 的数字 排大小 从高位到低位逐位排 排到组合方法总结姜老师专版3 练习 用数字 1 2 3 4 5 可以组成 个没有重复数字且比 13000 大的正整数 四 四 隔 档 板法隔 档 板法 处理无序分组问题 要点 元素相同 有两类 空与不空 把 n 个小球放入不同编号的 m 个盒子中 1 每个盒子至少放一个有多少种放法 2 盒子容量不限有多少种放法 解析 1 每个盒子至少放一个直接用档板法 把 n 个小球排成一排 中间产生 n 1 个空 插入 m 1 个档板 分成 m 份 放入盒中即可 故种 1 1 m n C 例 1 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 每盒中至少有 1 个 有多 少种放法 2 盒子容量不限 即盒子可以有空的 直接插空不会有空的 若讨论很麻烦 故此题 的处理方法是 将 n 个球和 m 1 个档板 分成 m 份用 m 1 个档板 全放在一起 共需要 n m 1 个位置 在这些位置上任意放 n 个球 或 m 1 个档板 有种 n mn C 1 或 这样可以保证隔板在一起 即可空盒 1 1 m mn C 例 2 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 有多少种放法 可空 变式 1 把 10 个苹果分给 3 个人 每人至少两个苹果有多少种分法 变式 2 把 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 要求每个盒子放球的个 数不小于基编号 有多少种放法 变式 3 A a1 a2 a60 B b1 b2 b25 每个象都有原象 且 f a1 f a2 f a60 这样的映射有多少个 排到组合方法总结姜老师专版4 五 能人问题 五 能人问题 方法 此类问题以哪类人分类都可 但主要是分类的标准一定要明确 可以按其中一类 人的参与情况分类 也可以以能人参加其中一项为标准分类 也可按能人的参与情况分 类 能人不参加 能人一人参加 能人两人参加 一般哪个情况少以哪个分类 例 车间有 11 名工人 其中 5 名是钳工 4 名是车工 另外 2 名老师傅即能当车工 又能当钳 工 现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工 4 名车工修理一台机床 问有多少种选派方法 练习 有 11 名划船运动员 其中有 5 人会左浆 4 人会右浆 还有甲 乙两人即会左浆 又会右 浆 现要派出 4 名左浆手 4 名右浆手 组成划船队 有多少种选派方案 六 分组问题 分配问题 六 分组问题 分配问题 它们的主体区别 分组问题没有序 分配问题有序 1 平均分组 配问题 对于 km 个不同的元素分成 k 组 每组 m 个 则 不同的分配种数是 有序 平均分组的种数是 无序 m mk m kmC C 1 m m C k k m m m mk m km A CCC 1 2 混合分配问题 是指在分配中既含有平均分配的情况 又含有不平均分配的成分 注 意平均分成 k 组的部分要除以 只后 k k A 再排列 排到组合方法总结姜老师专版5 如 10 个人分成三组 人数分别为 2 4 4 参加 3 种不同劳动 分法种数为 3 3 2 2 4 4 4 8 2 10 A A CCC 例 有 6 本不同的书按下列分配方式分配 问共有多少种不同的分配方法 1 分成 1 本 2 本 3 本三组 2 分给甲 乙 丙三人 其中一个人 1 本 一个人 2 本 一个人 3 本 3 分成每组都是 2 本的三个组 4 分给甲 乙 丙三人 每人 2 本 练习 1 3 名医生和 6 名护士 被分配到 3 所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名 护士 不同的分配方法共有 种 练习 2 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组 若把他们分配到 4 所学校去为学生体检 每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种 排到组合方法总结姜老师专版6 七 环状排列问题 七 环状排列问题 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的环状排列的种数有种 特殊的 n 个不同元素的环 m Am n 状全排列的种数为 n 1 由于环状有重复一样的 n An n 例 由 a b c d 四个元素组成的环状排列有多少个 八 涂色问题 八 涂色问题 1 区域涂色问题 根据分步计数原理 对各个区域分步涂色 这是处理染色问题的基本方法 例 1 用 5 种不同的颜色给图中标 的各部分涂色 每部分只涂一种颜色 相邻部分涂不同颜色 则不同的涂色方法有多少种 练习 用 4 种不同的颜色去涂矩形的四个区域 如图 要求相邻两个区域颜色不同 每 个区域只涂一种颜色 则一共有多少种涂法 2 点的涂色问题 例 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱的两端点异色 SABCD 如果只有 5 种颜色可供使用 那么不同的染色方法的总数是多少 1 432 排到组合方法总结姜老师专版7 1 2 排列组合类型题总结排列组合类型题总结 教师版 教师版 一 邮信问题 一 邮信问题 把 4 封信投入 3 个邮箱有多少种方法 解析 这类问题首先分清哪个有限制条件 以有限制条件的为主体研究 即指数形式 有条件的为指数在上边无条件的在下边 如本题中的信有条件 即一封信只能投入一个 信 箱 所以 3 种 3 种 3 种 3 种 共种 4 3 练习 若 A a b c B 1 2 3 4 5 则从集合 A 到集合 B 一共可以有多少个不 同的映射 从集合 B 到集合 A 一共可以有多少个不同的映射 125 243 二 排序问题 二 排序问题 1 优限 先 法 特殊元素优先或特殊位置优先 例 4 名男生和 4 名女生排成一排 女生不排首末两端 则不同的排法数为 先排男生 或 先排女生 6 6 2 4A A 4 4 4 6A A 2 捆绑法 用于在一起相邻 整体性的问题 例 6 人站成一排 其中甲 乙 丙 3 人站在一起的所有排列的种数为 4 4 3 3A A 3 插空法 用于元素不相邻的问题 先排无条件的 再插空 1 不同元素与不同元素间的间的不相邻 例 7 人站成一排 其中甲 乙 丙 3 人不在一起的所有排列的种数为 有序 先排其余 4 人 产生 5 个空 再排 3 人 3 5 4 4A A 2 不同元素与相同元素间的不相邻 例 3 个人坐在 8 个座位上 若每个人的两边都要有空位 则不同的坐法有多少种 解析 可以看作先将 5 个座位放好 三个人带着各自的座位坐在中间的 4 个空隙中的 排到组合方法总结姜老师专版8 三个位置上有 24 种 座位无序不排 半有序 3 4 A 3 相同元素与相同元素间的不相邻 例 一排路灯有 10 盏 为了节约用电 灭掉 3 盏 要求不能灭两边的且灭灯不相连 有多 少种方法 无序 3 6 C 4 留位法 用于个别顺序固定的 先在所有位置上排无条件的 有条件还进入即可 例 五名学生站成一排 其中甲必须站在乙的左边 可以不相邻 的站法种数为或 5 5 2 1 A 3 5 A 解 方法 1 留位法 在 5 个位置上先排 3 人 其余两人站入即可 3 5 A 方法 2 因两人可交换顺序 则有 2 种排法 顺序固定时 则排法少了一半 故选 5 5 2 1 A 变式 若把英语单词 look 的字母顺序写错了 则可能出现的错误共有 11 种 解析 同本例即 oo 无序不排 在四个位置上排 l k 即可 或去序都 1 11 2 4 A 2 2 4 4 A A 练习 四名男生和三名女生排成一排 1 甲乙二人必须站在两端的排法有多少种 240 5 5 2 2A A 2 甲乙二人不能站在两端的排法有多少种 2400 5 5 2 5A A 3 甲不站在排头 乙不站在排尾的排法有多少种 方法 1 直接 甲排尾 甲不排尾 共有 3720 6 6 A 1 5 A 5 5 1 5A A 6 6 A 1 5 A 5 5 1 5A A 方法 2 间接 2 3720 7 7 A 6 6 A 5 5 A 4 女生不相邻的排法有多少种 插空法 男生先排共产生 5 个空位 插入 3 个女生 共有 1440 种 4 4 A 3 5 A 4 4 A 3 5 A 5 甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种 先从 5 人 除甲乙 中 选二人排到甲乙中间有种排法 再排甲乙 此 4 人 2 5 A 2 2 A 视为一体与另 3 人排列有种 所以共有 960 种 4 4 A 2 5 A 2 2 A 4 4 A 排到组合方法总结姜老师专版9 6 甲排在乙的右边有多少种不同的排法 留位法 或 2520 种 5 7 A 7 7 2 1 A 三 排数字 三 排数字 例 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 1 能组成多少个无重复数字的四位奇数 末位 首位 中间 故共在 1 3 A 1 4 A 2 4 A 1 3 A 1 4 A 2 4 A 2 能组成多少个无重复数字的四位偶数 0 在末位 0 不在末位 先排末位 再首位 中间 即 3 5 A 1 2 A 1 4 A 2 4 A 1 2 A 1 4 A 2 4 A 共有 156 3 5 A 1 2 A 1 4 A 2 4 A 3 能组成多少个无重复数字的四位数字 且个位小于十位数字 没 0 先排后两位且不排列 再排前两位 故 60 2 5 C 2 3 A 2 3 2 5A C 有 0 在末位时 120 不在末位时 0 只能在第二位 30 3 5 A 1 3 2 5A C 共有 150 2 3 2 5A C 3 5 A 1 3 2 5A C 4 能组成多少个无重复且大于 345012 的数字 排大小 从高位到低位逐位排 269 练习 用数字 1 2 3 4 5 可以组成 个没有重复数字且比 13000 大的正整数 114 解 分两类 第一类 万位比 1 大 有 4 种不同的选法 其余任意排列 有个 964 4 4 A 第二类 万位为 1 则千位有 3 4 5 三种选法 其余任意排列 有个 183 3 3 A 共有 18 96 114 个 四 四 隔 档 板法隔 档 板法 处理无序分组问题 要点 元素相同 有两类 空与不空 把 n 个小球放入不同编号的 m 个盒子中 1 每个盒子至少放一个有多少种放法 2 盒子容量不限有多少种放法 解析 1 每个盒子至少放一个直接用档板法 把 n 个小球排成一排 中间产生 n 1 个空 插入 m 1 个档板 分成 m 份 放入盒中即可 故种 1 1 m n C 排到组合方法总结姜老师专版10 例 1 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 每盒中至少有 1 个 有多 少种放法 解 把 10 个小球排成一排 中间产生 9 个空 插入两个档板 分成 3 份 即可 故有 36 2 9 C 2 盒子容量不限 即盒子可以有空的 直接插空不会有空的 若讨论很麻烦 故此题 的处理方法是 将 n 个球和 m 1 个档板 分成 m 份用 m 1 个档板 全放在一起 共需要 n m 1 个位置 在这些位置上任意放 n 个球 或 m 1 个档板 有种 n mn C 1 或 这样可以保证隔板在一起 即可空盒 1 1 m mn C 例 2 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 有多少种放法 可空 解 10 个球和 2 个板共用 12 个位置 看板 2 12 C 变式 1 把 10 个苹果分给 3 个人 每人至少两个苹果有多少种分法 解析 10转化成例 1 先每人分 1 个 把余下的 7 个苹果再分给 3 人 隔板法 产生 6 个空插入 2 个板 15 种 20转化成例 2 先每人分两个再用例 2 方法 2 6 C 2 6 C 变式 2 把 10 个相同的小球放入编号为 1 2 3 的三个盒子中 要求每个盒子放球的个 数不小于基编号 有多少种放法 解析 10转化成例 1 先放球 1 号不放 2 号放 1 个 3 号放 2 个 变成例 1 即变成 每盒至少 1 个 15 2 6 C 20转化成例 2 1 号盒放 1 个 2 号盒放 2 个 3 号盒入 3 个 利用例 2 的方法 再 2 6 C 变式 3 A a1 a2 a60 B b1 b2 b25 每个象都有原象 且 f a1 f a2 f a60 这样的映射有多少个 解 此题相当于把 60 个小球放入 25 个盒子中 不空 则有种 24 59 C 五 能人问题 五 能人问题 方法 此类问题以哪类人分类都可 但主要是分类的标准一定要明确 可以按其中一类 排到组合方法总结姜老师专版11 人的参与情况分类 也可以以能人参加其中一项为标准分类 也可按能人的参与情况分 类 能人不参加 能人一人参加 能人两人参加 一般哪个情况少以哪个分类 例 车间有 11 名工人 其中 5 名是钳工 4 名是车工 另外 2 名老师傅即能当车工 又能当钳 工 现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工 4 名车工修理一台机床 问有多少种选派方法 解析 按钳工的参与情况分类 5 名钳工有 4 名被选上的方法有种 5 名钳工75 4 6 4 5 CC 有 3 名被选上的方法有种 5 名钳工有 2 名被选上的方法有100 4 5 1 2 3 5 CCC 种 共有 75 100 10 185 种 10 4 4 2 2 2 5 CCC 练习 有 11 名划船运动员 其中有 5 人会左浆 4 人会右浆 还有甲 乙两人即会左浆 又会 右 浆 现要派出 4 名左浆手 4 名右浆手 组成划船队 有多少种选派方案 解 5 名左浆手有 4 名被选上的方法有种 75 4 6 4 5 CC 5 名左浆手有 3 名被选上的方法有种 100 4 5 1 2 3 5 CCC 5 名左浆手有 2 名被选上的方法有种 共有 75 100 10 185 种 10 4 4 2 2 2 5 CCC 六 分组问题 分配问题 六 分组问题 分配问题 它们的主体区别 分组问题没有序 分配问题有序 1 平均分组 配问题 对于 km 个不同的元素分成 k 组 每组 m 个 则 不同的分配种数是 有序 平均分组的种数是 无序 m mk m kmC C 1 m m C k k m m m mk m km A CCC 1 2 混合分配问题 是指在分配中既含有平均分配的情况 又含有不平均分配的成分 注 意平均分成 k 组的部分要除以 只后再排列 k k A 如 10 个人分成三组 人数分别为 2 4 4 参加 3 种不同劳动 分法种数为 3 3 2 2 4 4 4 8 2 10 A A CCC 排到组合方法总结姜老师专版12 例 有 6 本不同的书按下列分配方式分配 问共有多少种不同的分配方法 1 分成 1 本 2 本 3 本三组 2 分给甲 乙 丙三人 其中一个人 1 本 一个人 2 本 一个人 3 本 3 分成每组都是 2 本的三个组 4 分给甲 乙 丙三人 每人 2 本 解析 1 分三步 先选一本有种选法 再从余下的 5 本书中选两本种选法 最 1 6 C 2 5 C 后余下的三本全选有种选法 故共有 60 种 分堆 3 3 C 1 6 C 2 5 C 3 3 C 2 由于甲 乙 丙是不同的三个人 在 1 的基础上再分配 所以共有 1 6 C 2 5 C 3 3 C 360 种 3 3 A 3 先 但这里面出现了重复 其实这就已经分配了 有序 要想分组无 2 6 C 2 4 C 2 2 C 序就要除以 所以有 15 种 可用 4 个元素举例好说一些 3 3 A 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC 4 在 3 的基础上再分配即可 共有 90 或直接 90 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC 3 3 A 2 6 C 2 4 C 2 2 C 练习 1 3 名医生和 6 名护士 被分配到 3 所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名 护士 不同的分配方法共有 种 540 3 3 A 2 6 C 2 4 C 2 2 C 练习 2 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组 若把他们分配到 4 所学校去为学生体检 每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种 答 37440 解析 先排 4 名医生排列数为 4 4 A 再排护士 由题知有两种情况 分配人数为 3 1 1 1 其中 3 人 其余三个 3 6 C 1 人可平均分组也可不分直接排 所以 480 分组 4 4 A 3 6 C 4 4 A 4 4 3 3 1 1 1 2 1 3 3 6 A A CCCC 排到组合方法总结姜老师专版13 分配人数为 2 2 1 1 的 2 2 行平均分组其余两个 1 人可直接排 或 2 2 2 4 2 6 A CC 故有 1080 或 1080 2 2 1 1 1 2 A CC 2 2 2 4 2 6 A CC 4 4 A 2 2 2 4 2 6 A CC 2 2 1 1 1 2 A CC 4 4 A 所以护士分配方法有 1560 3 6 C 4 4 A 2 2 2 4 2 6 A CC 4 4 A 所以共有排列方法 37440 3 6 C 4 4 A 2 2 2 4 2 6 A CC 4 4 A 4 4 A 七 环状排列问题 七 环状排列问题 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的环状排列的种数有种 特殊的 n 个不同元素的环 m Am n 状全排列的种数为 n 1 由于环状有重复一样的 n An n 例 由 a b c d 四个元素组成的环状排列有多少个 分析 由 a b c d 组成的全排列有 24 个 其中 4 个全排列 abcd bcda cdab dabc 4 4 A 在环状排列中只算作 1 个排列 故由 4 个不同元素组成的环状排列有 3 6 种 4 4 八 涂色问题 八 涂色问题 1 区域涂色问题 根据分步计数原理 对各个区域分步涂色 这是处理染色问题的基本方法 例 1 用 5 种不同的颜色给图中标 的各部分涂色 每部分只涂一种颜色 相邻部分涂不同颜色 则不同的涂色方法有多少种 分析 先给 号区域涂色有 5 种方法 再给 号涂色有 4 种方 法 接着给 号涂色方法有 3 种 由于 号与 不相邻 因此 号有 4 种涂法 根据分步计数原理 不同的涂色方法有5 4 3 4240 排到组合方法总结姜老师专版14 练习 用 4 种不同的颜色去涂矩形的四个区域 如图 要求相邻两个区域颜色不同