因式分解讲义

中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 1 环球雅思学科教师辅导教案环球雅思学科教师辅导教案 授课主题授课主题 因式分解 教学目标教学目标1 使学生理解并掌握因式分解的概念 2 能够熟练的运用提公因式法公式法 分组分解法 十字相乘法来解决常见的 因式分解题 授课日期及时段授课日期及时段 教学内容教学内容 知识点一 因式分解的概念及注意事项知识点一 因式分解的概念及注意事项 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 它和整式乘法互为逆运算 在初中代数中占有重要地位和作用 在其它学科中也有广泛应用 学习本章知识时 应注意以下几点 1 因式分解的对象是多项式 2 因式分解的结果一定是整式乘积的形式 3 分解因式 必须进行到每一个因式都不能再分解为止 4 公式中的字母可以表示单项式 也可以表示多项式 5 结果如有相同因式 应写成幂的形式 6 题目中没有指定数的范围 一般指在有理数范围内分解 知识点二 因式分解基本方法知识点二 因式分解基本方法 方法一方法一 提公因式法提公因式法 1 提公因式法分解因式的一般形式 如 ma mb mc m a b c 这里的字母 a b c m 可以是一个系数不为 1 的 多字母的 幂指数大于 1 的整式 2 提公因式法分解因式 关键在于观察 发现多项式的公因式 3 找公因式的一般步骤 因式分解 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 2 1 若各项系数是整系数 取系数的最大公约数 2 取相同的字母 字母的指数取较低的 3 取相同的多项式 多项式的指数取较低的 4 所有这些因式的乘积即为公因式 4 注意事项 多项式的公因式应是各项所共有的最高因式 公因式的系数原则上是不定的 但对整系数的多项式 其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数 对分数系数的多项式 其公因式的系数一般取所有分母的 最小公倍数分之一 公因式的字母取各项共有的字母 各相同字母的指数取其次数最低的 公因式可以是 单项式也可以是多项式 有时要进行适当变形才能出现公因式 题型展示 题型展示 1 将下列各式分解因式 1 y 2b x y 3a x 2 32 18 12nmnm 3 3 2 6 2 3xyyx 4 22222 8 3 4 1 pqabqpba 2 下列分解因式结果正确的是 A B 6 2 2 2 6xxxxx 2 2 223 xxxxxx C D 2 baabaabbaa 2 363 2 xxnxnnx 提高练习提高练习 1 如果b a 6 ab 7 那么的值是 22 abba A 42B 42 C 13D 13 2 若 4x3 6x2 2x2 2x k 则k 3 2 a b 3 4 b a 2 2 a b 2 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 3 4 36 29 12 33 5 分解因式 1 2 2 yxyxyx 4 8 2 xybyxa 6 计算与求值 29 20 03 72 20 03 13 20 03 14 20 03 7 先化简 再求值 a 8 a b a 8 c 8 a 其中a 1 b c 2 1 2 1 8 已知 求的值 8 1 2 yx2 xy 4334 2yxyx 方法二方法二 公式法公式法 知识精读知识精读 把乘法公式反过来 就可以得到因式分解的公式 主要有 平方差公式abab ab 22 完全平方公式aabbab 222 2 立方和 立方差公式ababaabb 3322 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点 熟练地掌握公式 但有时需要经过适当 的组合 变形后 方可使用公式 用公式法因式分解在求代数式的值 解方程 几何综合题中也有广泛的应用 因此 正确掌握公式法 因式分解 熟练灵活地运用它 对今后的学习很有帮助 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 4 题型展示 题型展示 例 1 已知 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3 求的值 aabbaccbc 222 222 解 aabbaccbc 222 222 abc abc 22 2 abc 2 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3 原式 abc 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 2 mmm m 说明 本题属于条件求值问题 解题时没有把条件直接代入代数式求值 而是把代数式因式分解 变 形后再把条件带入 从而简化计算过程 例 2 已知 abcabc 00 333 求证 abc 555 0 证明 abcabcabc abcabbcca 333222 3 把代入上式 abcabc 00 333 可得 即或或abc 0a 0b 0c 0 若 则 a 0bc abc 555 0 若或 同理也有b 0c 0abc 555 0 说明 利用补充公式确定的值 命题得证 abc 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 5 例 3 若 求的值 xyxxyy 3322 279 xy 22 解 xyxy xxyy 3322 27 且xxyy 22 9 1 923 22 yxyxyx 又xxyy 22 92 两式相减得xy 0 所以xy 22 9 说明 按常规需求出的值 此路行不通 用因式分解变形已知条件 简化计算过程 xy 常见题型 常见题型 例 1 因式分解 xxy 32 4 解 xxyx xyx xy xy 3222 4422 说明 因式分解时 先看有没有公因式 此题应先提取公因式 再用平方差公式分解彻底 例 2 分解因式 288 3223 x yx yxy 解 288244 322322 x yx yxyxy xxyy 22 2 xy xy 说明 先提取公因式 再用完全平方公式分解彻底 提高练习提高练习 1 利用提公因式法简化计算过程 例 计算 1368 987 521 1368 987 456 1368 987 268 1368 987 123 2 分解因式 1 4122 2332 m nm nmn 2 n 为正整数 a xabxacxadx nnnn2211 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 6 3 a ababaab ba 3222 22 3 计算 的结果是 22 1110 A B C D 2100 210 2 1 方法三方法三 分组分解法分组分解法 知识精读知识精读 把各项适当分组 先使分解因式能分组进行 再使分解因式在各组之间进行 分组时要用到添括号 括号前是 号 括到括号里的各项都不变符号 括号前面是 号 括到括号里的各项都改变符号 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式 或者可以直接运用公式 使用这种方法的关键在于分 组适当 而在分组时 必须有预见性 能预见到下一步能继续分解 而 预见 源于细致的 观察 分 析多项式的特点 恰当的分组是分组分解法的关键 应用分组分解法因式分解 不仅可以考察提公因式法 公式法 同时它在代数式的化简 求值及一 元二次方程 函数等学习中也有重要作用 题型展示 题型展示 例 1 分解因式 mnmnn 222 141 解 mnmnn 222 141 m nmmnn m nmnmmnn mnmn mnmnmnmn 2222 2222 22 41 212 1 11 说明 观察此题 直接分解比较困难 不妨先去括号 再分组 把 4mn 分成 2mn 和 2mn 配成完全 平方和平方差公式 例 2 已知 求 ab cd 的值 abcdacbd 2222 110 且 解 ab cd abcd 11 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 7 ab cdcd ab abcabdcdacdb abccdbabdcda bc acbdad bdac acbd bcad 2222 2222 2222 acbd 0 0原式 说明 首先要充分利用已知条件中的 1 任何数乘以 1 其值不变 其次利abcd 2222 11 用分解因式将式子变形成含有 ac bd 因式乘积的形式 由 ac bd 0 可算出结果 例 3 分解因式 xx 3 23 分析 此题无法用常规思路分解 需拆添项 观察多项式发现当 x 1 时 它的值为 0 这就意味着 的一个因式 因此变形的目的是凑这个因式 xxx 123 3 是x 1 解一 拆项 xxxxx 333 233322 31121 13 22 2 xxxx x xxx 解二 添项 xxxxxx xxxx xxx 3322 2 2 2323 113 13 说明 拆添项法也是分解因式的一种常见方法 请同学们试拆一次项和常数项 看看是否可解 常见题型常见题型 例 1 分解因式 12 22 mnmn 解 12 22 mnmn 12 1 11 22 2 mmnn mn mnmn 说明 观察此题是四项式 应采用分组分解法 中间两项虽符合平方差公式 但搭配在一起不能分解 到底 应把后三项结合在一起 再应用完全平方公式和平方差公式 例 2 分解因式 xyxy 22 解 xyxy 22 xyxy 22 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 8 xy xyxy xy xy1 说明 前两项符合平方差公式 把后两项结合 看成整体提取公因式 例 3 分解因式 xxx 32 3412 解 xxx 32 3412 xxx 32 4312 x xx xxx 22 434 322 说明 分组的目的是能够继续分解 提高练习提高练习 1 填空题 分解因式 分解因式 分解因式 133 22444 311 22 22 33 aabb xxxyyy mnmnm n 2 已知 abcaa cabcb cb 0 3223 求的值 方法四方法四 十字相乘法十字相乘法 知识精读知识精读 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法 重点是运用公式 进行因式分解 掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数 即把 xab xabxa xb 2 常数项分解成两个数的积 且其和等于一次项系数 对于二次三项 a b c 都是整数 且 来说 如果存在四个整数axbxc 2 a 0 满足 并且 那么二次三项式即acac 1122 a aac cc 1212 a ca cb 1221 axbxc 2 可以分解为 这里要确定四个常数 a a xa ca c xc c 12 2 122112 a xca xc 1122 acac 1122 分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂 因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 9 题型展示题型展示 例 1 若能分解为两个一次因式的积 则 m 的值为 xymxy 22 56 A 1B 1C D 2 1 解 解 xymxyxy xymxy 22 5656 6 可分解成或 因此 存在两种情况 23 32 1 x y 2 2 x y 3 x y 3 x y 2 由 1 可得 由 1 可得 m 1m 1 故选择 C 说明 对二元二次多项式分解因式时 要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积 再通过待定系 数法确定其系数 这是一种常用的方法 例 2 已知 a b c 为互不相等的数 且满足 acba cb 2 4 求证 abbc 证明 证明 acba cb 2 4 acba cb aaccbcacabb acb acb acb acb abbc 2 222 2 2 2 40 244440 440 20 20 说明 抓住已知条件 应用因式分解使命题得证 例 3 若有一因式 求 a 并将原式因式分解 xxxa 32 57 x 1 解 解 有一因式 xxxa 32 57 x 1 当 即时 x 10 x 1xxxa 32 570 a3 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 10 xxx xxxxx xxx xx xxx xxx xx 32 322 2 2 2 573 4433 14131 143 113 13 说明 由条件知 时多项式的值为零 代入求得 a 再利用原式有一个因式是 分解时x 1x 1 尽量出现 从而分解彻底 x 1 常见题型常见题型 例 1 把分解因式的结果是 22224 954yyxyx 解 解 22224 954yyxyx yxx yxx yxxx 242 222 22 459 491 1 23 23 说明 多项式有公因式 提取后又符合十字相乘法和公式法 继续分解彻底 例 2 因式分解 675 2 xx 解 解 67521 35 2 xxxx 说明 分解系数时一定要注意符号 否则由于不慎将造成错误 12 1 11 22 2 mmnn mn mnmn 说明 观察此题是四项式 应采用分组分解法 中间两项虽符合平方差公式 但搭配在一起不能分解 到底 应把后三项结合在一起 再应用完全平方公式和平方差公式 例 2 分解因式 xyxy 22 解 xyxy 22 xyxy 22 xy xyxy xy xy1 说明 前两项符合平方差公式 把后两项结合 看成整体提取公因式 中国教育培训领军品牌中国教育培训领军品牌 11 例 3 分解因式 xxx 32 3412 解 xxx 32 3412 1234 23 xxx x xx xxx 22 434 322 说明 分组的目的是能够继续分解 提高练习提高练习 1 a bab 22 1639 2 1574 2122 xx yy nnnn 3 xxxx 2 2 2 322372 小结小结 本节课主要讲解了因式分解的四种常用方法 提公因式 公式法 分组分解法 十字相乘法 以 及常见题中常出现的因式分解的题型如何使用这四种方法的讲解 如何运用这四种方法是本节课的重点 课后作业课后作业 1 已知 求的值 x x 1 3x x 4 4 1 2 aa 23