天津市2013届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）新人教A版

1 天津一中天津一中 2012 20132012 2013 学年高三年级二月考数学试卷 文 学年高三年级二月考数学试卷 文 一 选择题 每小题 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 如果复数的实部和虚部互为相反数 那么实数等于 2 12 ai i a A B 2 C D 2 2 3 2 3 答案 D 解析 因为 2 2 1 2 22 4 224 12 12 1 2 555 aiaiiaaiaa i iii 实部和虚部为相反数 则有 解得 选 D 224 0 55 aa 2 3 a 2 设是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 m n 若 则 若 则 m n mn 若 则 若 则 mn mn m m 其中正确命题的序号是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 解析 根据线面垂直的性质可知 正确 中两个平面不一定平行 所以错误 平行于同一个平面的直线可能会相交或异面 所以错误 正确 3 在正三棱锥中 分别是的中点 有下列三个论断 PABC D E AB AC 平面 平面 其中正确论断的个数为 PBAC ACPDEAB PDE A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 答案 C 解析 过做于 则 又正三角形中 所以PPOABC OPOAC BEAC 所以 正确 错误 因为与相交 所以 不正确 所ACPBE ACPB ABAC 以正确的论断有 1 个 选 C 2 4 数列 中 则 的通项为 n a12 1 11 nn aaa且 n a A B C D 21 n n 2 n 2 1 2 n 答案 A 解析 由得 所以数列是以为 1 21 nn aa 1 1222 1 nnn aaa 1 n a 2q 公比 首项为的等比数列 所以 所以 选 A 1 12a 1 12 22 nn n a 21 n n a 5 在中 若 则是 ABC cos4 cos3 Ab Ba ABC A 等腰或直角三角形B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角 答案 C 解析 由和正弦定理可得 即 cos4 cos3 Ab Ba cossin cossin AB BA sincossincosAABB 所以 所以或 即或 即sin2sin2AB 22AB 22AB AB 2 AB 又 所以 即 所以是直角三角形 选 C 2 C 4 3 b a ab AB ABC 6 为得到函数的图像 只需将函数sin2yx 的图像 cos 2 3 yx A 向左平移 5 12 个长度单位B 向右平移 5 12 个长度单位 C 向左平移 5 6 个长度单位 D 向右平移 5 6 个长度单位 答案 A 解析 因为 sin2cos 2 cos 2 22 yxxx 所以只需将函数 55 cos 2 cos 2 cos 2 362122 yxxx sin2yx 的图像向左平移 5 12 个长度单位 即可得到的图象 选 A cos 2 3 yx 7 数列 n a的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 答案 B 解析 8 定义在上的可导函数满足 且 则的解集 0 f x xfxf x 1 0f 0 f x x 3 为 A B C D 0 1 0 1 1 1 答案 C 解析 因为 所以当时 2 f xxfxf x xx 0 x 2 0 f xxfxf x xx 即函数在 上单调递减 又 所以 所以不等式解为 0 1 0f 1 0 1 f 0 f x x 即不等式的解集为 选 C 1x 1 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若某空间几何体的三视图如下图所示 则该几何体的体积是 答案 2 解析 由三视图可知该几何体是底面为直接梯形的四棱锥 四棱锥的高是 2 底面梯形 的面积为 所以四棱锥的体积为 12 2 3 2 1 3 22 3 10 设为公比的等比数列 若和是方程的两根 则 n a1q 2004 a 2005 a 2 4830 xx 20062007 aa 答案 18 解析 由题意知 所以 所以 20042005 2aa 20042005 3 4 aa 20042005 13 22 aa 所以 2005 2004 3 a q a 22 2006200720042005 2 318aaaaq 11 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa 答案 45 解析 在等差数列中 也成等差数列 即 36396 S SS SS 39663 2 SSSSS 所以 9663 232 363 945SSSS 4 12 O是平面上一点 CBA 是平面上不共线三点 动点P满足 OPOAABAC 时 则的值为 1 2 PA PBPC A 答案 0 解析 当时 即 所以 1 2 1 2 OPOAABAC 1 2 OPOAABAC 即是的中点 所以 所以 1 2 APABAC PBC0PBPC 0PA PBPC A 13 求函数在区间 4 2 上的最大值 2 sin3sin cosf xxxx 答案 3 2 解析 2 1 cos23 sin3sin cossin2 22 x f xxxxx 3111 sin2cos2sin 2 22262 xxx 因为 所以 所以当时 函数取得 42 x 5 22 2366 xx 2 62 x 最大值为 13 1 22 14 如图 二面角的大小是 60 线段 l AB Bl 与 所成的角为 30 则与平面所成的角的正弦值是 ABlAB 答案 3 4 解析 过做连结 则为二面角的平面角 即A AOACBC OB OCACO 与平面所成的角为 因为 设 则60ACO AB ABO 30ABC 1AC 5 所以 3 2 2 ABAO 3 3 2 sin 24 AO ABO AB 三 解答题 三 解答题 15 16 17 1815 16 17 18 每题每题 1313 分 分 19 2019 20 每题每题 1414 分 分 15 在中 角 的对边分别为 已知ABC ABCabc 且 求角的大小 求 3 2cos cos2 2 ABC 39c 9ab C 的面积 ABC 16 在直三棱柱中 分别是棱上的点 点 不同 111 ABCABC 1111 ABAC DE 1 BCCC D 于点 且为的中点 求证 1 平面平面 CADDEF 11 BCADE 11 BCC B 2 直线平面 1 AFADE 17 设数列的前n项和为Sn 2n2 为等比数列 且 n a n b 112211 baabba 求数列和的通项公式 设 求数列前n项和Tn n a n b n n n b a c n c 18 如图 四面体ABCD中 O E分别是BD BC的中点 2 2 CACBCDBDABAD 求证 平面BCD AO 求异面直线AB与CD所成角的余弦值 III 求点E到平面ACD的距离 C A D B O E 6 19 已知数列 n a的前n项和 n S和通项 n a满足 1 1 2 nn Sa 求数列 n a的通项公式 求证 1 2 n S 设函数 1 3 logf xx 12 nn bf af af a 求 123 1111 n n T bbbb 20 已知函数在是增函数 在 0 1 为减函数 xaxxfln 2 2 1 xaxxg I 求 的表达式 II 求证 当时 方程有唯一解 xf xg0 x2 xgxf 当时 若在 内恒成立 求的取值范围 1 b 2 1 2 x bxxf x 1 0 b 参考答案 参考答案 一 选择题 一 选择题 DDCACABC 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 2 10 18 11 45 12 0 13 14 3 2 3 4 三 解答题 三 解答题 15 16 17 1815 16 17 18 每题每题 1313 分 分 19 2019 20 每题每题 1414 分 分 15 解解 由已知得 3 分 2 3 2cos2cos1 2 CC 7 所以 解得 所以 6 分 2 4cos4cos10CC 1 cos 2 C 60C 由余弦定理得 即 222 2coscababC 22 39abab 又 所以 由 得 10 分9ab 22 281abab 14ab 所以 的面积 13 分ABC 1137 3 sin14 2222 SabC 16 解解 是直三棱柱 平面 又 平面 111 ABCABC 1 CC ABCAD ABC 1 CCAD 又 平面 平面 又 1 ADDECCDE 111 BCC BCCDEE AD 11 BCC B 平面 平面 2 为的中点 AD ADEADE 1111 ABAC F 11 BC 111 AFBC 又 平面 且平面 1 CC 111 ABC 1 AF 111 ABC 11 CCAF 又 平面 平面 111 CCBC 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 111 ABC 由 1 知 平面 AD 11 BCC B 1 AFAD 又 平面平面 直线平面 AD 1 ADEAF ADE 1 AFADE 17 分析及解分析及解 当 2 1 11 San时 24 1 22 2 22 1 nnnSSan nnn 时当 故 an 的通项公式为的等差数列 4 2 24 1 daana nn 公差是即 设的公比为则 n b q 22111 1 4 4 baabqdb dq 故 即的通项公式为 1 1 1 1 2 4 n n n bbq n b 1 2 4 n n b II 4 12 4 2 24 1 1 n n n n n n n b a c 121 12 231 1 3 45 4 21 4 41 43 45 4 23 4 21 4 n nn nn n Tcccn Tnn 两式相减得 54 56 9 1 54 56 3 1 4 12 4444 213 1321 n n n nn n nT n nT 8 18 I 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD 在中 由已知可得AOC 1 3 AOCO 而2 AC 222 AOCOAC 即90 o AOC AOOC BDOCO 平面 4 分AO BCD II 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知ME AB O E D C 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在中 OME 121 1 222 EMABOEDC 是直角斜边 AC 上的中线 OM AOC 1 1 2 OMAC 8 分 2 cos 4 OEM III 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 11 33 E ACDA CDE ACDCDE VV h SAO S 在中 ACD 2 2 CACDAD 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E 到平面 ACD 的距离为 12 分 21 7 A B M D E O C 9 19 解 当2n 时 11 1111 1 1 2222 nnnnn aaaaa 1 2 nnn aaa 1 1 3 n n a a 3 分 由 111 1 1 2 Saa 得 1 1 3 a 数列 n a是首项 1 1 3 a 公比为 1 3 的等比数列 1 111 333 nn n a 5 分 证法 1 由 1 1 2 nn Sa 得 11 1 23 n n S 7 分 1 1 1 3 n 111 1 232 n 1 2 n S 9 分 证法 2 由 知 1 3 n n a 11 1 11 33 1 1 23 1 3 n n n S 7 分 1 1 1 3 n 111 1 232 n 8 分 即 1 2 n S 9 分 1 3 logf xx 11121 333 logloglog nn baaa 112 3 log n a aa 10 分 1 2 1 3 1 1 log 12 32 n nn n 12 分 1211 2 1 1 n bnnnn n T 12 111 n bbb 11111 2 1 2231nn 2 1 n n 14 分 20 解 I 依题意 即 2 x a xxf 2 1 0 xxf 2 2xa 2 1 x 上式恒成立 1 分2 a 又 依题意 即 x a xg 2 1 1 0 0 xxgxa2 1 0 x 上式恒成立 2 分 2 a 10 由 得 3 分2 a 4 分 2 ln2 2 xxxgxxxf II 由 1 可知 方程 2 xgxf 0 22ln2 2 xxxx即 设 22ln2 2 xxxxxh 1 1 2 2