四川省成都理工大学附中2014高三数学一轮复习 导数及其应用单元辅导与训练

1 成都理工大学附中成都理工大学附中 20142014 高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测 高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测 导数及其应用导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知函数 f xxa xb xc 且 1faf b 则 fc 等于 A 1 2 B 1 2 C 1 D 1 答案 A 2 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为21yx 则曲 线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 A 4B 1 4 C 2D 1 2 答案 A 3 3 cos 0 2 yxx 与坐标轴围成的面积是 A 4B 5 2 C 3D 2 答案 C 4 设函数 32 11 5 32 f xxx 则函数 log 01 a g xfxa 的单调递增区间是 A 1 1 a B 1 1 a C 1 0 1 a D 11 aa 答案 A 5 函数 2 cosyxx 的导数为 A 2 2 cossinyxxxx B 2 2 cossinyxxxx C 2 cos2 sinyxxxx D 2 cossinyxxxx 答案 A 6 若 92 1 ax x 的展开式中 9 x的系数为 2 21 则xdx a sin 0 的值等于 A 2cos1 B 1cos2 C 12cos D 2cos1 答案 A 2 7 若 2 1 ln 2 2 f xxbx 在 1 上是减函数 则b的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 C 8 由曲线 2 yx 与直线 1 2 yx 所围成的封闭图形的面积是 A 2 3 B 4 3 C 2D 5 12 答案 B 9 函数 2 cos 1 yx 的导数是 A 2 2 sin 1 xx B 2 sin 1 x C 2 2 sin 1 xx D 2 2cos 1 x 答案 C 10 设函数 2 2 1 4 f xax f 若则 a 等于 A 1B 1C 2D 2 答案 C 11 已知函数 4 sincos 4 fxxfxf则 A 2B 12 C 1D 0 答案 C 12 下列各式中正确的是 A x xfxxf y x xx 00 0 lim 0 B x xfxxf xf x 0 0 0 lim C x xxfxf xf x 00 0 0 lim D x xfxxf y x xx 00 0 lim 0 答案 C 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 1 2 0 4xdx 答案 3 23 14 已知直线1 xy与曲线 ln axy 相切 则 a 的值为 答案 2 3 15 已知 2 xxf 若 xfxf 则 x 答案 0 或 2 16 过原点作曲线 x ey 的切线 则切点坐标是 切线斜率是 答案 1 e e 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 22lnf xxx 1 求函数 f x的极值 2 对于曲线上的不同两点 111222 P x yP xy 如果存在曲线上的点 00 Q xy 且 102 xxx 使得曲线在点Q处的切线 12 lPP 则称l为弦 12 PP的陪伴切线 已知两点 1 1 AfB e f e 试求弦AB的陪伴切线l的方程 答案 1 2 2 0fxx x 0 fx 得1x 当x变化时 fx与 f x变化情况如下表 当 x 1 时 f x取得极小值 1 2f 没有极大值 2 设切点 00 Q xy 则切线l的斜率为 00 0 2 2 1 fxxe x 弦 AB 的斜率为 1212 1 02 2 111 AB f efe k eee 由已知得 lAB 则 0 2 2 x 2 2 1e 解得 0 1xe 所以 弦AB的伴随切线l的方程为 24 22ln1 1 e yxe e 18 已知 0 ln2 2 exxaxxf 其中e是自然对数的底 若 xf在1 x处取得极值 求a的值 求 xf的单调区间 答案 2 222 2 ax fxax xx 由已知 1 220fa 解得1a 经检验 1a 符合题意 4 2 222 2 ax fxax xx 1 当0a 时 0 fxf x 在 0 e上是减函数 2 当0a 时 2 aa a xx aa fx x 若 a e a 即 2 1 a e 则 f x在 0 a a 上是减函数 在 a e a 上是增函数 若 a e a 即 2 1 0a e 则 f x在 0 e上是减函数 综上所述 当 2 1 a e 时 f x的减区间是 0 e 当 2 1 a e 时 f x的减区间是 0 a a 增区间是 a e a 19 水库的蓄水量随时间而变化 现用 t 表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年数 据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于 t 的近似函数关系式为 V t 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以 i 1 t t 表示第 1 月份 i 1 2 12 同一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取 e 2 7 计算 答案 1 当时 化简得 解得 当时 化简得 解得 综上得 或 故知枯水期为 1 月 2 月 3 月 4 月 11 月 12 月共 6 个月 2 由 1 知 的最大值只能在 4 10 内内达到 5 由 令 解得 舍去 当 变化时 与的变化情况如下表 由上表 在时取得最大值 亿立方米 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108 32 亿立方米 20 1 若任意直线l过点 1 0 F 且与函数 2 4 1 xxf 的图象C交于两个不同的点 A B 分别过点 A B 作 C 的切线 两切线交于点 M 证明 点 M 的纵坐标是一个定值 并求出 这个定值 2 若不等式 f xg x 恒成立 0 ln axaxg求实数a的取值范围 3 求证 4444 4444 ln2ln3ln4ln2 234 n ne 其中e为无理数 约为2 71828 答案 1 设 1122 A x yB xy 由题意知AB的斜率必存在 设 1 kxyAB代 入 2 4 1 xy 得 4 044 21 2 xxkxx 2 4 1 2 x xfxxf 2 2 21 x K x K BMAM 24 1 1 2 1 xx xx yAM 化简得 42 2 11 x x x yAM 同理 42 2 22 x x x yBM 解得 1 4 12 xx y 2 令 0 0 ln 4 1 2 xaxaxxgxfxF x ax x ax xF 2 2 2 2 令 0 x F 得 ax2 所以 当 2 0 ax 时0 xF xF在 2 0 ax 上单调递减 所以 当 2 ax 时0 xF xF在 2 ax上单调递增 6 yF x 在ax2 时取得最小值 要 f xg x 恒成立 只要0 2 aF 即 02ln 2 aa x 解得 2 e a 3 由 2 得 取 e a p 有 2 ln 2 xe x pp 化简得 2 2ln1x xe 变形得 42 4ln2x xe x 即 4 42 ln2x xe x 4444 4444 ln2ln3ln4ln 234 n n 2222 21111 234en 21111 1 22 33 4 1 enn 21111111 1 22334 1 enn 212 1 ene 21 已知函数 ln1x f x x 确定 yf x 在 0 上的单调性 设 3 h xx f xxax 在 0 2上有极值 求a的取值范围 答案 2 ln 1 1 x x x fx x 设 ln 1 0 1 x g xxx x 则 2 0 0 1 x gxx x 所以 g x在 0 上单调递减 00g xg 所以 0fx 因此 f x在 0 上单调递减 2 2 331 1 1 3 11 xaxax h xax xx 若0a 任给 0 x 1 10 1x 2 30ax 所以 0h x h x在 0 2上单调递减 无极值 7 若0a h x在 0 2上有极值时的充要条件是 2 331xaxax 在 0 2上有零点 所以 020 解得 1 18 a 综上 a的取值范围是 1 18 22 已知函数 32 1 2 41 5 32 m f xmxxxg xmx 1 当4m 时 求 f x的单调递增区间 2 是否存在0m 使得对任意的 12 2 3 x x 都有 12 1f xg x 恒成立 若存在 求出 m的取值范围 若不存在 请说明理由 答案 1 2 m 4 4 1 4 fxxm xxmx 当4m 时 2 4 1 0fxx f x在 上单增 当m 4 时 4 1 m f x的递增区间为 4 1 m 2 假设存在0m 使得命题成立 此时 4 1 fxm xx m 0m 4