北京四中高中数学 集合的基本关系及运算知识讲解学案 新人教A版必修1

1 集合的基本关系及运算集合的基本关系及运算 学习目标学习目标 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别一些给定集合的子集 在具体情境中 了解空集和全集的 含义 2 理解两个集合的交集和并集的含义 会求两个简单集合的交集与并集 理解在给定集合中一个子集 的补集的含义 会求给定子集的补集 要点梳理要点梳理 要点一 集合之间的关系要点一 集合之间的关系 1 1 集合与集合之间的集合与集合之间的 包含包含 关系关系 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合 我们说集合 B 包含集合 A 子集 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 我们说这两个集合有包含关系 称集合 A 是集 合 B 的子集 subset 记作 当集合 A 不包含于集合 B 时 记作 AB 用 Venn 图表AB BA 或 示两个集合间的 包含 关系 AB BA 或 要点诠释 要点诠释 1 是的子集 的含义是 的任何一个元素都是的元素 即由任意的 能推出ABABxA xB 2 当不是的子集时 我们记作 或 读作 不包含于 或 不ABA BB AABB 包含 A 真子集 若集合 存在元素 xB 且 则称集合 A 是集合 B 的真子集 proper subset AB xA 记作 AB 或 BA 规定 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 2 2 集合与集合之间的集合与集合之间的 相等相等 关系关系 则 A 与 B 中的元素是一样的 因此 A BABBA 且 要点诠释 要点诠释 任何一个集合是它本身的子集 记作 AA 要点二 集合的运算要点二 集合的运算 1 1 并集并集 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 即 A B x xA 或 xB Venn 图表示 2 要点诠释 要点诠释 1 xA 或 xB 包含三种情况 xAxB 但 xBxA 但 xAxB 且 2 两个集合求并集 结果还是一个集合 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 重复元素只出现 一次 2 2 交集交集 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集 记作 A B 读 作 A 交 B 即 A B x xA 且 xB 交集的 Venn 图表示 要点诠释 要点诠释 1 并不是任何两个集合都有公共元素 当集合 A 与 B 没有公共元素时 不能说 A 与 B 没有交集 而是 AB 2 概念中的 所有 两字的含义是 不仅 A B 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素 同时 A 与 B 的公共元素都属于 A B 3 两个集合求交集 结果还是一个集合 是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合 3 3 补集补集 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就称这个集合为全集 通常记作 U 补集 对于全集 U 的一个子集 A 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相 对于全集 U 的补集 complementary set 简称为集合 A 的补集 记作 补集的 Venn 图表示 UU AA x xUxA 即且 要点诠释 要点诠释 3 1 理解补集概念时 应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念 一个 UA A U AU 确定的集合 对于不同的集合 U 补集不同 A 2 全集是相对于研究的问题而言的 如我们只在整数范围内研究问题 则为全集 而当问题扩Z 展到实数集时 则为全集 这时就不是全集 RZ 3 表示 U 为全集时的补集 如果全集换成其他集合 如 时 则记号中 U 也必须换 UA AR 成相应的集合 即 RA 4 4 集合基本运算的一些结论 集合基本运算的一些结论 ABAABBAA AA AB BA AABBABAA AA AAB BA UU A A U A A 若 A B A 则 反之也成立AB 若 A B B 则 反之也成立AB 若 x A B 则 xA 且 xB 若 x A B 则 xA 或 xB 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 区分交集与并集的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思想方法 典型例题典型例题 类型一 集合间的关系类型一 集合间的关系 例 1 请判断 0 0 RR 0 0 正确的有哪些 0 0 答案 解析 错误 因为 0 是集合中的元素 应是 中都是元素与集合的关系 正确 0 00 正确 因为是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 而 中的为非空集合 错 误 是没有任何元素的集合 总结升华 集合的符号语言十分简洁 因而被广泛用于现代数学之中 但往往容易混淆 其障碍在 于这些符号与具体意义之间没有直接的联系 突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义 举一反三 举一反三 变式 1 用适当的符号填空 1 x x 1 x x2 1 2 y y 2x2 y y 3x2 1 3 x x 1 x x 1 4 x y 2 x 2 x y 1 x 2 答案 1 2 3 4 4 总结升华 区分元素与集合间的关系 集合与集合间的关系 例 2 写出集合 a b c 的所有不同的子集 解析 不含任何元素子集为 只含 1 个元素的子集为 a b c 含有 2 个元素的子集有 a b a c b c 含有 3 个元素的子集为 a b c 即含有 3 个元素的集合共有 23 8 个不同的 子集 如果集合增加第 4 个元素 d 则以上 8 个子集仍是新集合的子集 再将第 4 个元素 d 放入这 8 个子 集中 会得到新的 8 个子集 即含有 4 个元素的集合共有 24 16 个不同子集 由此可推测 含有 n 个元素 的集合共有 2n个不同的子集 总结升华 要写出一个集合的所有子集 我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出 当元素个 数相同时 应依次将每个元素考虑完后 再写剩下的子集 如本例中要写出 2 个元素的子集时 先从 a 起 a 与每个元素搭配有 a b a c 然后不看 a 再看 b 可与哪些元素搭配即可 同时还要注意两个特 殊的子集 和它本身 举一反三 举一反三 变式 1 已知 则这样的集合有 个 a bA a b c d eA 答案 7 个 变式 2 同时满足 则的非空集合有 1 2 3 4 5M aM 6aM M A 16 个 B 15 个 C 7 个 D 6 个 答案 C 解析 时 时 时 时 3a 63a 1a 65a 2a 64a 4a 62a 时 非空集合可能是 5a 61a M 3 1 5 2 4 1 3 5 2 3 4 1 2 4 5 共 7 个 故选 C 1 2 3 4 5 变式 3 已知集合 A 1 3 a B a2 并且 B 是 A 的真子集 求实数 a 的取值 答案 a 1 a 或 a 03 解析 a2A 则有 1 a2 1a 1 当 a 1 时与元素的互异性不符 a 1 2 a2 3a 3 3 a2 aa 0 a 1 舍去 a 1 则 a 0 综上 a 1 a 或 a 0 3 注意 根据集合元素的互异性 需分类讨论 高清课堂 集合的概念 表示及关系高清课堂 集合的概念 表示及关系 377430377430 例例 2 2 例 3 设 M x x a2 1 aN N N x x b2 4b 5 bN N 则 M 与 N 满足 A M N B MN C NM D M N 答案 B 解析 当 aN N 时 元素 x a2 1 表示正整数的平方加 1 对应的整数 而当 bN N 时 元素 x b2 4b 5 b 2 2 1 其中 b 2 可以是 0 所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数 即 M 中元素都 在 N 中 但 N 中至少有一个元素 x 1 不在 M 中 即 MN 故选 B 5 例 4 已知若M N 则 0 yxNyxxyxM 2 xyx 1001002 yxy A 200 B 200 C 100 D 0 思路点拨 解答本题应从集合元素的三大特征入手 本题应侧重考虑集合中元素的互异性 答案 D 解析 由 M N 知 M N 所含元素相同 由 0 0 x y 可知 0 x xy x y 若 x 0 则 xy 0 即 x 与 xy 是相同元素 破坏了 M 中元素互异性 所以 x 0 若 x y 0 则 x 0 或 y 0 其中 x 0 以上讨论不成立 所以 y 0 即 N 中元素 0 y 是相同元素 破 坏了 N 中元素的互异性 故 xy 0 若 则 x y M N 可写为0 x y M x x2 0 N 0 x x 由 M N 可知必有 x2 x 即 x 2 x x 0 或 x 1 若 x 0 即 x 0 以上讨论知不成立 若 x 1 即 x 1 当 x 1 时 M 中元素 x 与 x 相同 破坏了 M 中元素互异性 故 x 1 当 x 1 时 M 1 1 0 N 0 1 1 符合题意 综上可知 x y 1 2 2 2 2 2 0 2 xyx 1001002 yxy 总结升华 解答本题易忽视集合的元素具有的 互异性 这一特征 而找不到题目的突破口 因此 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点 举一反三 举一反三 变式 1 设 a bR R 集合 则 b a b 1 a b a 0 b a 答案 2 解析 由元素的三要素及两集合相等的特征 b 1 0 b 0 1 a b a a0ab 0 a 又 当 b 1 时 a 1 b 0 b 0 1 1 a 当时 b a 且 a b 0 a b 0 舍 b 1 a 综上 a 1 b 1 b a 2 类型二 集合的运算类型二 集合的运算 例 5 1 已知集合 M y y x2 4x 3 xR R N y y x2 2x 8 xR R 则 M N 等于 A B R R C 1 9 D y 1 y 9 2 设集合 M 3 a N x x2 2x 0 xZ M N 1 则 M N 为 A 1 2 a B 1 2 3 a C 1 2 3 D 1 3 思路点拨 1 先把集合 M N 进行化简 在利用数轴进行相应的集合运算 2 先把集合 N 化简 然后再利用集合中元素的互异性解题 答案 1 D 2 D 解析 1 集合 M N 均表示构成相关函数的因变量取值范围 故可知 M y y 1 N y y 9 6 所以 M N y 1 y 9 选 D 2 由 N x x2 2x 0 xZ 可得 N x 0 xa 1 若 A B 求实数 a 的取值范围 2 若 A B A 求实数 a 的取值范围 3 若 A B 且 A B A 求实数 a 的取值范围 思路点拨 1 画数轴 2 注意是否包含端点 答案 1 a 4 2 a 2 3 2 aa 又 A B 如图 a 4 2 画数轴同理可得 a 2 3 画数轴同理可得 如图 2 a 4 总结升华 此问题从表面上看是集合的运算 但其本质是一个定区间 和一个动区间的问题 思路 是 使动区间沿定区间滑动 数形结合解决问题 举一反三 举一反三 变式 1 已知集合 P x x2 1 M a 若 P M P 则 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 答案 C 解析 又 P x11x PMP MP 11a 故选 C 例 8 设集合 222 40 2 1 10 Ax xxBx xaxaaR 1 若 求的值 ABB a 2 若 求的值 ABB a 思路点拨 明确 的含义 根据的需要 将其转化为等价的关系式和 AB AB BA AB 是解决本题的关键 同时 在包含关系式中 不要漏掉的情况 BA B 答案 1 或 2 1a 1a 1a 解析 首先化简集合 得 A 4 0A 1 由 则有 可知集合为 或为 或为 ABB BA B 0 4 0 4 若时 解得 B 22 4 1 4 1 0aa 1a 若 代入得 0B 2 1011aaa 或 当时 符合题意 1a 2 400 4 Bx xxA 当时 也符合题意 1a 2 00 Bx xA 8 若 代入得 解得或 4B 2 870aa 7a 1a 当时 已讨论 符合题意 1a 当时 不符合题意 7a 2 1648012 4Bx xx 由 得或 1a 1a 2 又 而至多只有两个根 因此应有 由 1 知