2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷解析版）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 浙江卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 浙江卷 解析版 本试卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 4 页 选择题部分 1 至2 页 非选择题部分 3 至 4 页 满 分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 注意事项注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题 纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给也的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给也的四个选项中 只有一项是符合 题题 答案 A 解析 故选 A 22 1 1 1 zzzzii 2 112iii 11211 3iii 3 若实数满足不等式组 则的最小值是xy 250 270 0 0 xy xy xy 3xy 4 A 13 B 15 C 20 D 28 答案 A 解析 作出可行域 2503 2701 xyx xyy 由得 min 3 34 113zA 故选 4 若直线 不平行于平面 且 则lala A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线alal C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交alal 答案 B 解析 直线 不平行于平面 所以 与相交 故选 Blala la 5 在中 角所对的边分 若 则ABC A B C a b ccossinaAbB 2 sincoscosAAB A B C 1 D 1 1 2 1 2 则 不必要条件 故选 D 1 1 2 ba 1 b a 11 2 4 b a 01ab 7 几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 答案 B 解析 A C 与正视图不符 D 与俯视图不符 故选 B 8 从已有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球 则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 A B C D 1 10 3 10 3 5 9 10 答案 D 解析 无白球的概率是 至少有 1 个白球的概率为 故选 D 3 3 3 5 1 10 c c 19 11 1010 p 9 已知椭圆 a b 0 与双曲线有公共的焦点 的一条渐近线 22 1 22 1 xy C ab 2 2 2 1 4 y Cx 2 C 与的长度为直径的圆相交于两点 若恰好将线段三等分 则 1 C 2 C A B 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 答案 D 解析 令则 2fxaxb x g xf x e xx g xfx ef x e x fxf x e 因为为函数的一个极值点 所 22 2 2 xx axbaxbxc eaxab xbc e 1x g x 以是的一个根 即1x 2 2 0axab xbc 2 2 1 0 2 4 0 aabbc aba bc A 于是 0 ac b 12fabcab 222 44 2 2 bacbaba ba A 则故 A B 可能 对于 D 则于是出 120fab 0 A 120fab 0a 0b 0 A 现矛盾 不可能 故选 D 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 设函数 若 则实数 k 4 1 f x x 2f a a 答案 1 解析 4 2121 1 aa a 12 若直线与直线与直线互相垂直 则实数 250 xy 260 xmy m 答案 1 解析 即 1212 12 1 2 kkkk m 直线互相垂直 12 1 1 2 m m 答案 2 3 3 解析 22222 1 1 1 2 xy xyxyxyxyxy 2 3 3 xy 17 若数列中的最大项是第项 则 2 4 3 n n n kk 答案 4 解析 则 2 4 3 n n an n 1 1 2 1 5 2 1 5 3 2 3 4 4 3 n n n n nn ann an n n n 于是令得 则 时递 2 2 1 5 3 4 10nnn nn 2 100n 1010n 1 1 n n a a 4n 增 令得 则 时递减 故是最大项 即 2 100n 10n 1 1 n n a a 4n 4n 4k 三 解答题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 已知函数 sin 3 f xAx 的部分图像 如图所示 xR 0A 0 2 yf x 分别为该图像的最高点和最低点 点的坐标为 PQP 1 A 求的最小正周期及的值 若点的坐标为 f x R 1 0 19 本题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项 为 且 成等比数列 n a 1 aaaR 1 1 a 2 1 a 4 1 a 求数列的通项公式 对 试比较 与的大小 n a nN 2 2 22 111 n aaa 1 1 a 解析 22 214111 2 214 111 3 aa aada ad aaa 1 daa 数列的通项公式 n a 111 1 1 n aandanana 记因为 所以 2 2 22 111 n n T aaa 2 2 n n aa 2 1 111 222 n n T a 11 1 1 22 1 1 2 n a 从而当时 当时 11 1 2 n a 0a 1 1 n T a 0a 1 1 n T a 20 本题满分 14 分 如图 在三棱锥中 为的中点 平面PABC ABAC DBCPO 垂足落在线段上 ABCOAD 证明 已知 APBC8BC 求二面角的大小 4PO 3AO 2OD BAPC 解析 ABAC DBCADBC 为中点 POABC 平面BCPA 在平面内作得平面 所以PAB BMAPM 于连结C M P BCA P ABMCP AC M BMCBAPC 则为二面角的平面角 在中 得Rt ADBA 222 41ABADBD 41AB 在中 Rt PODA 222 PDPOOD 在中 Rt PDBA 222 PBPDBD 所以得 2222 36PBPOODBD 6PB 在中 得Rt POAA 222 25PAAOOP 5PA 又从而故 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 2 2 sin 3 BPA sin4 2BMPBBPA 同理 因为所以即二面角的大小为4 2CM 222 BMCMBC 90BMC BAPC 90 21 本题满分 15 分 设函数 求单调区间 求所有实数 22 ln 0 f xaxxax a f x 使对恒成立a 2 1 ef xe 1 xe 注 为自然对数的底数e 解析 因为所以由于 22 ln 0 f xaxxax a 2 2 2 axaxa fxxa xx 0a 所以的增区间为 减区间为 f x 0 a a 由题意得即 由 知在单调递增 要使 1 11fae ae f x 1 e 2 1 ef xe 对恒成立 只要解得 1 xe 222 1 11 fae f eaeaee ae 22 本题满分 15 分 如图 设是抛物线 上动点 圆 P 1 C 2 xy 2 C 的圆心为点 M 过点做圆的两条切线 交直线 22 3 1xy P 2 Cl 于两点 求的圆心到抛物线 准线的距离 3y A B 2 CM 1 C 是否存在点 使线段被抛物线在点处得切线平分 若存PAB 1 CP 在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 P 解析 由得准 线方程为 由得 2 xy 1 4 y 22 3 1xy 又即 2 00 2 1 3 1 1 xx k 22222 0100 10 1 2 3 3 10 xkxx kx 同理 所以是方程 22222 020020 1 2 3 3 10 xkxx kx 12 k k 的两个不相等的根 从而 22222 0000 1 2 3 3 10 xkxx kx 2 00 12