2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷解析版）

1 Read a b If a b Then ma Else mb End If Print m 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 江苏卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 江苏卷 解析版 参考公式 参考公式 1 样本数据 12 n x xx 的方差 22 1 1 n i i sxx n 其中 1 1 n i i xx n 2 直柱体的侧面积Sch 其中c为底面周长 h是高 3 柱体的体积公式VSh 其中S为底面面积 h是高 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 1 1 2 4 1 0 2 AB 则 BA 答案 1 2 2 函数 12 log 5 xxf的单调增区间是 答案 1 2 3 设复数 i 满足izi23 1 i 是虚数单位 则z的实部是 答案 1 4 根据如图所示的伪代码 当输入ba 分别为 2 3 时 最后输出的 m 的值是 答案 3 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 答案 1 3 6 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10 6 8 5 6 则该组数据的方差 2 s 解析 可以先把这组数都减去 6 再求方差 16 5 7 已知 2 4 tan x 则 x x 2tan tan 的值为 解析 2 2 tan 1 1tantan1tan4 4 tantan 2tan 443 tan229 tan 1 41tan x xxx xx x x x x 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 均为非选择题 第 1 题 第 20 题 共 20 题 本卷满分为 160 分 考试 时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用0 5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 作答试题 必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置 作答一律无效 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 2 2 8 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 的图象交于 P Q 两 点 则线段 PQ 长的最小值是 解析 4 设交点为 2 x x 2 x x 则 22 4 2 4PQx x 9 函数 sin wAwxAxf 是常数 0 0 wA的部分图象如图所示 则 0 f 解析 由图可知 7 2 2 41234 T A 2 2 33 kk 26 0 2sin 32 fk 3 12 7 10 已知 21 e e是夹角为 3 2 的两个单位向量 2 2121 eekbeea 若0 ba 则 k 的值为 解析 由0 ba得 k 2 11 已知实数0 a 函数 1 2 1 2 xax xax xf 若 1 1 afaf 则a的值为 解析 3 0 2212 2 aaaaa a 3 0 1222 4 aaaaa a 12 在平面直角坐标系xOy中 已知点 P 是函数 0 xexf x 的图象上的动点 该图象 在 P 处的切线l交 y 轴于点 M 过点 P 作l的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t 则 t 的最大值是 解析 设 0 0 x P x e则 000 00 0 1 xxx l yeexxMx e 过点 P 作l的垂线 0000 00 0 xxxx yeexxNex e 000000 000 11 1 22 xxxxxx tx eex eex ee 00 0 1 1 2 xx teex 所以 t 在 0 1 上单调增 在 1 单调减 max 11 2 te e 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa成公比为 q 的等比数列 642 aaa成公差 为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 3 解析 由题意 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1 12aqaaqa 3 2 23qa 而 21222 1 1 1 2aaa aa 的最小值分别为 1 2 3 3 min 3q 14 设集合 2 2 222 Ryxmyx m yxA 122 RyxmyxmyxB 若 BA 则实数 m 的取值范围是 解析 当0m 时 集合 A 是以 2 0 为圆心 以m为半径的圆 集合 B 是在两条平行线 之间 2212 12 0 22 m mm 因为 BA此时无解 当0m 时 集合 A 是以 2 0 为圆心 以 2 m 和m为半径的圆环 集合 B 是在两条平行线之间 必 有 2 21 2 2 2 2 m m m m 21 21 2 m 又因为 2 m1 21 22 mm 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边为cba 1 若 cos2 6 sin AA 求 A 的值 2 若cbA3 3 1 cos 求Csin的值 解析 1 sin 2cos sin3cos 63 AAAAA 2 2222 1 cos 3 2cos8 2 2 3 AbcabcbcAcac 由正弦定理得 2 2 sinsin cc AC 而 2 2 2 sin1 cos 3 AA 1 sin 3 C 也可以先推 出直角三角形 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 16 第题图 4 xx EF AB DC 解析 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 EFPD 又 P DPCD EPCD 面面 直线 EF 平面 PCD 2 AB AD BAD 60 F 是 AD 的中点 BFAD 又平面 PAD 平面 ABCD PADABCDAD 面面 BFPAD 面 所以 平面 BEF 平面 PAD 17 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点 设 AE FB xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积 S cm 2 最大 试问 x 应取何值 2 若广告商要求包装盒容积 V cm 3 最大 试问 x 应取何值 并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值 P 解析 1 2222 604 602 2408Sxxxx 0 x0 求证 PA PB 解析 1 M 2 0 N 0 2 M N 的中点坐标为 1 2 2 所以 2 2 k M P A x y B C 5 2 由 2 2 2 24 yx xy 得 2 424 3 333 PA 2 0 3 C AC 方程 2 3 422 333 x y 即 2 3 yx 所以点 P 到直线 AB 的距离 242 2 2333 32 d 3 法一 由题意设 0000110 0 P xyAxyB x yC x 则 A C B 三点共线 0101 10010 2 yyyy xxxxx 又因为点 P B 在椭圆上 2222 0011 1 1 4242 xyxy 两式相减得 01 01 2 PB xx k yy 0011001 0011001 1 2 PAPB yxxyyxx k k xyyxxyy PAPB 法二 设 112200111 A BN x y P C 0 A x yB xyxyx 中点则 A C B 三点共线 2211 21211 2 AB yyyy k xxxxx 又因为点 A B 在椭圆上 2222 2211 1 1 4242 xyxy 两式相减得 0 0 1 2 AB y xk 01 01 1 21 2 ONPAAB AB y y kkk x xk ONPBPAPB 19 本小题满分 16 分 已知a b是实数 函数 23 bxxxgaxxxf x f 和 x g 是 xgxf的导函数 若0 xgxf在区间 I 上恒成立 则称 xf和 xg在 区间 I 上单调性一致 1 设0 a 若函数 xf和 xg在区间 1 上单调性一致 求实数 b 的取值范围 2 设 0 a且ba 若函数 xf和 xg在以a b为端点的开区间上单调性一致 求 a b 的最大值 解析 1 因为函数 xf和 xg在区间 1 上单调性一致 所以 6 1 0 xfx g x 即 1 x0 x 2 3 a 2x b 0 1 0 ax 2x b 即0 1 2 axb b2x 2 当ba 时 因为 函数 xf和 xg在区间 b a 上单调性一致 所以 0 xb afx g x 即 x0 xb a 2 3 a 2x b 0 20baxb axb 2 3 xb a ax 2 3 bab 设zab 考虑点 b a 的可行域 函数 2 3yx 的斜率为 1 的切线的切 点设为 00 xy 则 000 11 61 612 xxy max 111 1266 z 当0ab 时 因为 函数 xf和 xg在区间 a b 上单调性一致 所以 0 xa bfx g x 即 x0 xa b 2 3 a 2x b 0 20bxa bxb 2 3 xa b ax 2 1 3 0 3 aaa max 1 3 ba 当0ab 时 因为 函数 xf和 xg在区间 a b 上单调性一致 所以 0 xa bfx g x 即 x0 xa b 2 2x b 3 a 0 b 而 x 0 时 x2 3 a 2x b abk 时 2 knknkn SSSS 都成立 1 设 M 1 2 2 a 求 5 a的值 2 设 M 3 4 求数列 n a的通项公式 解析 1 111211 1 1 2 2 nnnnnn knSSSSSSSS 即 21 2 nnn aaa 所以 n 1 时 n a成等差 而2 2 a 2321135 3 2 7 4 8 SSSSSaa 2 由题意 333444 3 2 1 4 2 2 nnnnnn nSSSSnSSSS 42135314 4 2 3 5 2 4 nnnnnn nSSSSnSSSS 当5n 时 由 1 2 得 434 2 5 nn aaa 由 3 4 得 524 2 6 nn aaa 由 1 3 得 421 2 7 nnn aaa 由 2 4 得 531 2 8 nnn aaa 由 7 8 知 412 nnn aaa 成等差 513 nnn aaa 成等差 设公差分别为 12 d d 由 5 6 得 532442421541 222 9 222 10 nnnnnn aadaadaadaad 由 9 10 得 54214122321 2 nnnn aaddaddaadd a 2 n n 成 等差 设公差为 d 在 1 2 中分别取 n 4 n 5 得 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 绝密 启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 此试卷上交考点保存 姓名姓名 准考证号准考证号 8 数学IIII 附加题 附加题 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在答题卡指定区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修选修 4 14 1 几何证明选讲 本小题满分 几何证明选讲 本小题满分 1010 分 分 如图 圆 1 O与圆 2 O内切于点A 其半径分别为 1 r与 212 r rr 圆 1 O的弦AB交圆 2 O于点C 1 O不在AB上 求证 AB AC为定值 证明 由弦切角定理可得 11 21 2 O BrAB AO CAO B ACO Cr B 选修选修 4 24 2 矩阵与变换 本小题满分 矩阵与变换 本小题满分 1010 分 分 已知矩阵 11 21 A 向量 1 2 求向量 使得 2 A 设 x y 由 2 A 得 321 432 x y 32111 43222 xyx xyy C C 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 本小题满分 坐标系与参数方程 本小题满分 1010 分 分 在平面直角坐标系xOy中 求过椭圆 5cos 3sin x y 为参数 的右焦点且与直线 42 3 xt yt t为参数 平行的直线的普通方程 解析 椭圆的普通方程为 22 1 259 xy 右焦点为 4 0 直线 42 3 xt yt t为参数 的普通方程为22yx 斜率为 1 2 所求直线方程为 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页 均为解答题 第 21 题 第 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用0 5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 作答试题 必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置 作答一律无效 5 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 21 A第图 9 1 4 240 2 yxxy 即 D D 选修 选修 4 54 5 不等式选讲 本小题满分 不等式选讲 本小题满分 1010 分 分 解不等式 21 3xx 解析 原不等式等价于 4 3213 2 3 xxxx 解集为 4 2 3 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内作答 解答请在答题卡指定区域内作答 解答 时应写出时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 如图 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2 1AAAB 点N是BC的中点 点M在 1 CC上 设二面角 1 ADNM 的大小为 1 当 0 90 时 求AM的长 2 当 6 cos 6 时 求CM的长 解析 以 D 为原点 DA 为 x 轴正半轴 DC 为 y 轴正半轴 DD1为 z 轴正半轴 建