高中数学《合情推理与演绎证明》文字素材3 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 推理案例赏析推理案例赏析 合情推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 实践和实践的 结果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 其主要形式有归纳和类比 演 绎推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程 合情推理与演绎推理之间联系紧密 相辅相成 下面提供一个公 式的推导过程 供同学们赏析 借此加深对两种推理的理解 例 设 1 123S nn 2222 2 123Sn 已知 1 1 2 n n S n 探 求 2 Sn的一般公式 思路 归纳的方案 如表 所示 列举出 2 Sn的前几项 希望从中归纳出一般的结论 n 123456 2 Sn 1514305591 但是 从表 的数据中并没有发现明显的关系 这时我们可能会产生一个念头 1 S n与 2 Sn会不会有某种联系 如表 2 所示 进一步列举出 1 S n的值 比较 1 S n与 2 Sn 希望有所发现 n 123456 1 S n 136101521 2 Sn 1514305591 观察了 1 S n和 2 Sn的相应数据 并没有发现明显的联系 怎么办呢 尝试计算 终于在计算 1 S n和 2 Sn的比时 发现 规律 了 表 3 n 123456 1 S n 136101521 2 Sn 1514305591 2 1 Sn S n 3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 13 3 从表 3 中发现 2 1 21 3 Snn S n 于是 猜想 2 1 21 6 n nn Sn 公式 的正确性还需要证明 思考 上面的数学活动是由哪些环节构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出猜 想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥什么作用 思路 2 演绎的方案 尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和 1 把 2 Sn中的各项表示出来 有 用心 爱心 专心2 2 1 1 222 2 1 1 12 1 1 222 3 21 2221 222 4 31 3231 22 1 2 1 1nnn 左右两边分别相加 得 2 221 2 2 SnSnnS nnn 等号两边的 2 Sn被消去了 所以无法从中求出 2 Sn的值 尝试失败了 2 从失败中汲取有用信息 进行新的尝试 前面的失败尝试还是有意义的 因为尽管我们没有求出 2 Sn 却求出了 1 S n的表 达式 即 2 1 2 1 22 nnnn n S n 它启示我们 既然能用上面的方法求出 1 S n 那么我们也应该可以用类似的方法求 出 2 Sn 3 尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式 具体方法如下 3 1 1 3332 2 1 1 13 13 1 1 3332 3 21 232321 3332 4 31 33 33 31 332 1 3 1 3 1 1nnnn 左右两边分别相加 得 32 3321 3 3 S nS nnSnnS nnn 由此知 3232 1 2 323 23 1 21 366 nnnS nnnnn nn Sn 终于导出了公 式 思考 上面的数学活动是由哪些环节构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出 猜想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥什么作用 用心 爱心 专心3 剖析用归纳推理求解一类题剖析用归纳推理求解一类题 归纳是一种 由特殊到一般 由个别到普遍 由表象到实质 的推理 是人类探 索规律 认识世界的一种重要思想方法 有一类以平面几何为背景 n条直线 或圆等 相交 推测交点个数或分成的区域个数 成为近年高考热点 它综合性强 与数列联系紧 密 下面 结合具体例子剖析求解策略 例 平面内有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于一点 若 f n表示这n个圆把平面分割的区域数 试求 f n 分析 由题意推测出递推式 再由递推式求出 f n 解 f n 表示n个圆把平面分割成的区域数 那么再有一个圆和这n个圆相交 则 有 2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧且每一段弧又将原来的平面区域一分 为二 因此 增加一个圆后 平面分成的区域数增加 2n个 即 1 2f nf nn 且 1 2f 由递推公式得 2 1 2 1ff 3 2 22ff 4 3 23ff 1 2 1 f nf nn 将以上1n 个等式累加得 2 1 2 123 1 2f nfnnn 例 2 2005 年广东 设平面内有n条直线 3n 其中有且仅有两条直线平行 任意三条直线不过同一点 若用 f n表示这n条直线交点的个数 则 4 f 当 4n 时 f n 用n表示 解 因为 f n表示n条直线交点的个数 若再增加一条直线 则这条直线与前n条直 线都相交 则交点个数增加n个 故 1 f nf nn 且 2 0f 用心 爱心 专心4 3 2 2 4 3 3 5 4 4ffffff 又又 1 1f nf nn 又 将以上各式累加得 2 1 2 234 1 2 2 n f nfnn 1 1 2 2 f nnn 评析 这类问题直接求解较复杂 可转化为推测任何相邻两项关系 再用数列知识求 解 练习 黄冈调考题 已知一个三角形内有 2004 个点 任意一个点都不在其它任何二 点的连线上 则这些点 含三角形三个顶点 将该三角形分成不重合的三角形区域有 2004 个 4008 个 4009 个 2005 个 答案 演绎推理的三段论演绎推理的三段论 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式 其主要形式是由大前提 小前提和推出的结论的三段论式推理 可以表示为 用集合论的观点来讲 就是 若集合 的所有元素都具有性质 是 的子集 那 么 中所有元素都具有性质 其推理规则可用符号表示为 如果MPSM 又 则 SP 三段论的公式中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和 特殊情况的内在联系 从而产生第三个判断 结论 为了方便 在运用三段论推理时 常常采用省略大前提或小前提的表述方式 对于复 杂的论证 总是采用一连串的三段论 把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提 例 1 如图 DEF又又分别是BCCAAB又又上的点 BFDA DEBA 求证 EDAF 大前提 是M P 小前提 是S M 结论 是SP 用心 爱心 专心5 证明 1 同位角相等 两条直线平行 大前提 BFD 与A 是同位角 且BFDA 小前提 所以 DEBA 结论 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 DEBA 且DFEA 小前提 所以 四边形AFDE为平行四边形 结论 3 平行四边形的对边相等 大前提 ED和AF为平行四边形的对边 小前提 所以 EDAF 结论 上面的证明通常简略地表述为 BFDADFEA DEBA 四边形AFDE是平行四边形EDAF 例 2 已知abm又又均为正实数 ba 求证 bbm aam 证明 0 ba mbmaabmbabma m 0 b ama bmb ama bmbbm a ama ama amaam 又 评注 1 每一步推理 即每一个 因为 所以 都体现一个演绎推理 三段论 并且环环紧扣 推理清晰 2 演绎的前提是一般原理 演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别 特殊事实 结 论完全蕴涵于前提之中 3 演绎推理是一种必然性推理 因此 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那 么结论必定是真实的 但错