北京2012高考数学预测试卷试题 文

用心 爱心 专心 1 北京北京 20122012 届高考预测试卷数学文试题届高考预测试卷数学文试题 第 卷为选择题 共 60 分 第 卷为非选择题共 90 分 满分 100 分 考试时间为 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的 1 已知集合 集合 则 0 1 2A 2Bx x AB A B C D 2 0 1 2 2x x 2 已知 是虚数单位 则等于 i i i 2 21 A B C D i i 5 4 i 5 3 5 4 i 3 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12 B 11 C D 3 12 3 11 3 若数列的前 n 项和为 则下列命题 n a n S 1 若数列是递增数列 则数列也是递增数列 n a n S 2 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 n S n a 3 若是等差数列 公差 则的充要条件是 n a0d 12 0 k SSS 12 0 k a aa 4 若是等比数列 则的充要条件是 n a 12 0 2 k SSSkkN 1 0 nn aa 用心 爱心 专心 2 其中 正确命题的个数是 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 5 执行如图所示的程序框图 输出的 S 值为 A 3 B 6 C 10 D 15 6 已知 命题 是的充分必要条件 命题 p1 a2 0 x a xxq 则下列命题正确的是 02 0 2 00 xxRx A 命题 是真命题 B 命题 是真命题pqpq C 命题 是真命题 D 命题 是真命题pqpq 7 若空间三条直线 a b c 满足 则直线 ab bc ac与 A 一定平行B 一定相交 C 一定是异面直线 D 一定垂直 8 函数 的图象大致是 x x y ln 9 如图所示的方格纸中有定点 则 O P Q E F G H OPOQ A B C D OH OG FO EO 用心 爱心 专心 3 10 设的最大值为 22 1 则 3 0 05 满足约束条件 yx x yx yx yx A 80 B C 25 D 4 5 17 2 11 若双曲线的左 右顶点分别为 A B 点 P 是第一象限内双曲线上的 222 0 xyaa 点 若直线 PA PB 的倾斜角分别为 且 那么 的值是 1 mm A B C D 21m 2m 21m 22m 12 若实数 满足 则称 是函数的一个次不动点 设函数与函数tf tt tf x lnf xx 其中 为自然对数的底数 的所有次不动点之和为 则 exg x em A B C D 0m 0m 01m 1m 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 已知与之间的部分对应关系如下表 y100 x x x 1112131415 y 2 97 1 48 2 95 1 47 2 93 则和可能满足的一个关系式是 xy 14 在中 已知分别为 所对的边 为的面积 若向ABC abc A B C SABC 量满足 则 222 4 1pabcqS pq C 15 在区间 0 1 上任意取两个实数 a b 则 的概率为 ba 5 6 16 已知 2 1 3 cos 4 1 5 2 cos 5 cos 231 coscoscos 7778 根据以上等式 可猜想出的一般结论是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 2 0 4 用心 爱心 专心 4 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 3sincossin 2424 xx f xx 求的最小正周期 f x 若将的图象向右平移个单位 得到函数的图象 求函数在区间f x 6 g x g x 上的最大值和最小值 0 18 本小题满分 12 分 某产品按行业生产标准分成个等级 等级系数依次为 8 1 2 8 其中为标准 为标准 产品的等级系数越大表明产品的质量越好 已5 A3 B 知某厂执行标准生产该产品 且该厂的产品都符合相应的执行标准 从该厂生产的产B 品中随机抽取件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 30 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品 等级系数的为二等品 等级系7 57 数的为三等品 35 试分别估计该厂生产的产品的一等品率 二等品率和三等品率 从样本的一等品中随机抽取 2 件 求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率 用心 爱心 专心 5 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 平面平面SABCD ABAD ABCD3CDAB SAD 是线段上一点 ABCDMADAMAB DMDC SMAD 证明 平面 BM SMC 设三棱锥与四棱锥的体积分别为与 求的值 CSBM SABCD 1 VV 1 V V 20 本小题满分 12 分 已知数列的前项和 2 1 n n a n96 n Sn 求数列 的通项公式 n a 设 求数列 的前项和 2 3log 3 n n a bn 1 n b n 21 本小题满分 12 分 给定椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 称圆心在原点O 半径 为 22 ba 的圆是椭圆C的 准圆 若椭圆C的一个焦点为 0 2 F 其短轴上的 一个端点到F的距离为3 求椭圆C的方程和其 准圆 方程 点P是椭圆C的 准圆 上的一个动点 过动点P作直线 21 l l 使得 21 l l与椭圆 C都只有一个交点 试判断 21 l l是否垂直 并说明理由 M S D C B A 用心 爱心 专心 6 22 本小题满分 14 分 已知定义在正实数集上的函数 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 其中0a 设两曲线 yf x yg x 有公共点 且在该点 处的切线相同 用a表示b 并求b的最大值 求证 f xg x 0 x 参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C 9 C 10 A 11 D 12 B 二 填空题 13 不唯一 14 4 15 108 2yx 25 17 16 21 coscoscos 2121212n n nnn nN 三 解答题 17 解析 2 分xxxfsin 2 sin 3 xxsincos3 4 分 cos 2 3 sin 2 1 2xx 3 sin 2 x 用心 爱心 专心 7 所以的最小正周期为 6 分 xf 2 将的图象向右平移个单位 得到函数的图象 xf 6 xg 8 分 3 6 sin2 6 xxfxg 6 sin 2 x 时 9 分 0 x 6 7 6 6 x 当 即时 取得最大值 2 10 分 26 x 3 xsin 1 6 x xg 当 即时 取得最小值 12 分 7 66 x x 1 sin 62 x xg1 18 解析 由样本数据知 30 件产品中 一等品有 6 件 二等品有 9 件 三等品有 15 件 3 分 样本中一等品的频率为 6 0 2 30 故估计该厂生产的产品的一等品率为 4 分0 2 二等品的频率为 故估计该厂产品的二等品率为 5 分 9 0 3 30 0 3 三等品的频率为 故估计该厂产品的三等品率为 6 分 15 0 5 30 0 5 样本中一等品有 6 件 其中等级系数为 7 的有 3 件 等级系数为 8 的也有 3 件 7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 等级系数为 8 的 3 件产品分别为 1 C 2 C 3 C 1 P 则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为 2 P 3 P 21 C C 31 C C 11 P C 21 P C 31 P C 32 C C 12 P C 共 15 种 22 P C 32 P C 13 P C 23 P C 33 P C 12 P P 31 P P 32 P P 10 分 记从 一等品中随机抽取 2 件 2 件等级系数都是 8 为事件 A 则包含的基本事件有 共 3 种 11 分A 12 P P 1323 P PP P 故所求的概率 12 分 31 155 P A 19 证明 平面平面 平面平面 SAD ABCDSAD ABCDAD 平面 平面 1 分SM SADSMAD SM ABCD 平面 2 分BM ABCD SMBM 四边形是直角梯形 ABCDAB CD AMAB DMDC 用心 爱心 专心 8 都是等腰直角三角形 MABMDC 4 分45 90 AMBCMFBMCBMCM 平面 平面 SM SMCCM SMCSMCMM 平面 6 分BM SMC 解 三棱锥与三棱锥的体积相等 CSBM SCBM 由 1 知平面 SM ABCD 得 9 分 1 11 32 11 32 SMBMCM V V SMABCDAD 设由 ABa 3CDAB AMAB DMDC 得3 2 3 2 4 CDa BMa CMa ADa 从而 12 分 1 23 23 3 48 Vaa Vaaa 20 解析 时 2 分1n 0 111 23 3aSa 4 分 1 1 2 3 2 26 2 n nnnn n naSSa 时 6 分 2 3 1 3 2 2 n n n a n 通项公式 设 1 n n nT b 的前项和为 当时 7 分1n 121 1 11 3log 13 3 bT b 时 10 分2n 2 2 3 3log 1 3 2 n n bnnn 1 n b 1 1 n n 12 分 n T 12 111111 32 33 4 n bbb 1 1 n n 51 61n 21 解析 1 3 2 bac 椭圆方程为1 3 2 2 y x 4 分 用心 爱心 专心 9 准圆方程为4 22 yx 5 分 当 21 l l中有一条无斜率时 不妨设 1 l无斜率 因为 1 l与椭圆只有一个公共点 则其方程为3 x 当 1 l方程为3 x时 此时 1 l与准圆交于点 1 3 1 3 此时经过点 1 3 或 1 3 且与椭圆只有一个公共点的直线是1 y 或1 y 即 2 l为1 y 或1 y 显然直线 21 l l垂直 同理可证 1 l方程为3 x时 直线 21 l l也垂直 7 分 当 21 l l都有斜率时 设点 00 yxP 其中4 2 0 2 0 yx 设经过点 00 yxP与椭圆只有一个公共点的直线为 00 yxxty 则由 1 3 2 2 00 y x txytxy 消去y 得 03 3 6 31 2 0000 22 txyxtxytxt 9 分 由0 化简整理得 012 3 2 000 2 2 0 ytyxtx 因为4 2 0 2 0 yx 所以有0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 10 分 设 21 l l的斜率分别为 21 t t 因为 21 l l与椭圆只有一个公共点 所以 21 t t满足上述方程0 3 2 3 2 000 2 2 0 xtyxtx 所以1 21 tt 即 21 l l垂直 11 分 综合 知 21 l l垂直 12 分 22 解析 设 yf x 与 0 yg x x 在公共点 00 xy 处的切线相同 2fxxa 2 3 a g x x 1 分 由题意 00 f xg x 00 fxg x 用心 爱心 专心 10 即 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 由 2 0 0 3 2 a xa x 得 0 xa 或 0 3xa 舍去 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 4 分 令 22 5 3ln 0 2 h tttt t 则 2 1 3ln h ttt 于是 当 1 3ln 0tt 即 1 3 0te 时 0h t 当 1 3ln 0tt 即 1 3