安徽省无为县开城中学2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年安徽省无为县开城中学高二 下 期中数学试卷学年安徽省无为县开城中学高二 下 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 5 12 60 1 5 分 2010 湖南 dx 等于 A 2ln2B 2ln2C ln2D ln2 考点 定积分 专题 计算题 分析 根据题意 直接找出被积函数 的原函数 直接计算在区间 2 4 上的定积分即 可 解答 解 lnx lnx 24 ln4 ln2 ln2 故选 D 点评 本题考查定积分的基本运算 关键是找出被积函数的原函数 本题属于基础题 2 5 分 下列式子不正确的是 A 3x2 cosx 6x sinx B C 2sin2x 2cos2x D 考点 简单复合函数的导数 专题 计算题 分析 观察四个选项 是四个复合函数求导的问题 故依据复合函数求导的法则依次对四 个选项的正误进行判断即可 解答 解 由复合函数的求导法则 对于选项 A 3x2 cosx 6x sinx 成立 故 A 正确 对于选项 B 成立 故 B 正确 2 对于选项 C 2sin2x 4cos2x 2cos2x 故 C 不正确 对于选项 D 成立 故 D 正确 故选 C 点评 本题考查了复合函数的求导法则 求解中要特别注意复合函数的求导法则 2sin2x 2cos2x 2x 4cos2x 对函数的求导法则要求熟练记忆 本题属于 基础题 3 5 分 已知 3x2 k dx 16 则 k A 1B 2C 3D 4 考点 微积分基本定理 专题 计算题 分析 先求出被积函数 然后直接利用积分基本定理即可求解 解答 解 由积分基本定理可得 3x2 k dx 23 2k 16 k 4 故选 D 点评 本题主要考查了积分基本定理在积分求解中的简单应用 属于基础试题 4 5 分 2011 福州模拟 若曲线 y x2 ax b 在点 0 b 处的切线方程是 x y 1 0 则 A a 1 b 1 B a 1 b 1 C a 1 b 1 D a 1 b 1 考点 导数的几何意义 专题 计算题 数形结合 分析 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x 0 处的导数 从而求出切线的斜率 建立等量 关系求出 a 再根据点 0 b 在切线 x y 1 0 上求出 b 即可 解答 解 y 2x a x 0 a 曲线 y x2 ax b 在点 0 b 处的切线方程 x y 1 0 的斜率为 1 a 1 又切点在切线 x y 1 0 0 b 1 0 b 1 3 故选 A 点评 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 属于基础题 5 5 分 设 则 f 2 A B C D 考点 简单复合函数的导数 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 令 u x 可求得 u x 从而可求得 f x 可求得 f 2 解答 解 f x ln 令 u x 则 f u lnu f u u x 由复合函数的导数公式得 f x f 2 故选 B 点评 本题考查复合函数的导数 掌握复合函数的导数求导法则是关键 属于中档题 6 5 分 2006 天津 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 A 1B 2C 3D 4 考点 利用导数研究函数的单调性 4 专题 压轴题 分析 根据当 f x 0 时函数 f x 单调递增 f x 0 时 f x 单调递减 可从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 然后得到答案 解答 解 从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 根据极值点的定义可知在 a b 内只有一个极小值点 故选 A 点评 本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系 属基础题 7 5 分 2012 自贡三模 设函数 f x 在定义域内可导 y f x 的图象如图所示 则导函数 y f x 可能 A B C D 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 数形结合法 分析 先根据函数 f x 的图象判断单调性 从而得到导函数的正负情况 最后可得答 案 解答 解 原函数的单调性是 当 x 0 时 增 当 x 0 时 单调性变化依次为增 减 增 故当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 的符号变化依次为 故选 D 点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 即当导函数大于 0 时原 函数单调递增 当导函数小于 0 时原函数单调递减 8 5 分 设底部为三角形的直棱柱的体积为 V 那么其表面积最小时 底面边长为 A B C D 5 考点 平均值不等式 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 分析 设底边边长为 a 高为 h 利用体积公式 V Sh a2 h 得出 h 再根据 表面积公式得 S a2 最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的 条件即得 解答 解 设底边边长为 a 高为 h 则 V Sh a2 h h 表面积为 S 3ah a2 a2 a2 3 定值 等号成立的条件 即 a 故选 C 点评 本小题主要考查棱柱 棱锥 棱台 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 基本不 等式等基础知识 考查运算求解能力 考查转化思想 属于基础题 9 5 分 已知函数 f x ax 4 若 则实数 a 的值为 A 2B 2C 3D 3 考点 导数的概念 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 由导数定义可得 f 1 2 从而得到方程 解出即可 解答 解 即 f 1 2 而 f x a 所以 a 2 故选 A 点评 本题考查导数的定义及其运算 属基础题 6 10 5 分 若函数 y x3 x2 mx 1 是 R 上的单调函数 则实数 m 的取值范围是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 对函数进行求导 令导函数大于等于 0 在 R 上恒成立即可 解答 解 若函数 y x3 x2 mx 1 是 R 上的单调函数 只需 y 3x2 2x m 0 恒成立 即 4 12m 0 m 故选 C 点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 即当导数大于 0 是原函 数单调递增 当导数小于 0 时原函数单调递减 11 5 分 在平面直角坐标系中 A 2 3 B 3 2 沿 x 轴把平面直角坐标系折 成 120 的二面角后 则线段 AB 的长度为 A B C D 考点 与二面角有关的立体几何综合题 专题 空间角 分析 作 AC 垂直 x 轴 BD 垂直 y 轴 过 C 作 CD 平行 y 轴 与 BD 交于 D 则 ACD 就是二 面角的平面角 从而可求 AB 的长度 解答 解 作 AC 垂直 x 轴 BD 垂直 y 轴 过 C 作 CD 平行 y 轴 与 BD 交于 D 则 ACD 就 是二面角的平面角 ACD 120 连接 AB AD 则 CD 5 BD 5 AC 3 在 ACD 中 AD AB 故选 B 点评 本题考查平面图形的翻折 考查空间角 考查学生的计算能力 属于中档题 7 12 5 分 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 为 AC BD 的交点 则 C1O 与 A1D 所成角余弦 A B 0C D 考点 异面直线及其所成的角 专题 计算题 空间角 分析 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 以 DA 为 x 轴 以 DC 为 y 轴 以 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量法能求出 C1O 与 A1D 所成角余弦值 解答 解 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 以 DA 为 x 轴 以 DC 为 y 轴 以 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 C1 0 2 2 O 1 1 0 A1 2 0 2 D 0 0 0 1 1 2 2 0 2 设 C1O 与 A1D 所成角为 则 cos cos 故选 C 点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法 解题时要认真审题 注意向量法的合理 运用 二 填空题 5 4 20 13 5 分 已知 f x 为一次函数 且 f x x 2 则 f x x 1 考点 定积分 函数解析式的求解及常用方法 专题 计算题 分析 根据题意设 f x x b 然后建立等式 b 2 01 x b dx 最后利用定积分的定义 进行求解 求出 b 即可 8 解答 解 f x 为一次函数 且 设 f x x b 则 b 2 01 x b dx 2 x2 bx 01 2 b 解得 b 1 f x x 1 故答案为 x 1 点评 本题主要考查了定积分 定积分运算是求导的逆运算 以及待定系数法的应用 属 于基础题 14 5 分 曲线在点处的切线斜率为 4 切线方程为 4x y 4 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 求出曲线的导函数 把切点的横坐标 代入即可求出切线的斜率 然后根据斜率和切 点坐标写出切线方程即可 解答 解 y 切点为 M 则切线的斜率 k 4 切线方程为 y 2 4 x 化简得 4x y 4 0 故答案为 4 4x y 4 0 点评 考查学生会根据导函数求切线的斜率 会根据斜率和切点写出切线方程 15 5 分 给出下列定积分 其中为负值的有 2 个 9 考点 微积分基本定理 专题 计算题 分析 先找到被积函数的原函数 然后运用微积分基本定理计算定积分即可 解答 解 cosx 1 cosx 1 其中为负值的有 2 个 故答案为 2 点评 本题主要考查了定积分 运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的 原函数 属于积分中的基础题 16 5 分 已知正四棱锥的体积为 12 底面对角线长为 则侧面与底面所成的二面 角等于 60 考点 平面与平面之间的位置关系 棱锥的结构特征 专题 计算题 分析 先根据底面对角线长求出边长 从而求出底面积 再由体积求出正四棱锥的高 求 出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可 解答 解 正四棱锥的体积为 12 底面对角线的长为 底面边长为 2 底面积为 12 所以正四棱锥的高为 3 则侧面与底面所成的二面角的正切 tan 二面角等于 60 故答案为 60 点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系 以及棱锥的结构特征 考查空间想象 能力 运算能力和推理论证能力 属于基础题 三 解答题 8 5 40 17 8 分 2007 四川 设函数 f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线 x 6y 7 0 垂直 导函数 f x 的最小值为 12 求 a b c 的值 求函数 f x 的单调递增区间 并求函数 f x 在 1 3 上的最大值和最小值 10 考点 利用导数研究函数的单调性 函数奇偶性的性质 利用导数研究函数的极值 两条 直线垂直的判定 专题 综合题 分析 先根据奇函数求出 c 的值 再根据导函数 f x 的最小值求出 b 的值 最后 依据在 x 1 处的导数等于切线的斜率求出 c 的值即可 先求导数 f x 在函数的定义域内解不等式 f x 0 和 f x 0 求得区间即为单调区间 根据极值与最值的求解方法 将 f x 的各极值与其 端点的函数值比较 其中最大的一个就是最大值 最小的一个就是最小值 解答 解 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 f x 3ax2 b 的最小值为 12 b 12 又直线 x 6y 7 0 的斜率为 因此 f 1 3a b 6 a 2 b 12 c 0 f x 2x3 12x 列表如 下 所以函数 f x 的单调增区间是和 f 1 10 f 3 18 f x 在 1 3 上的最大值是 f 3 18 最小值是 点评 本题考查函数的奇偶性 单调性 二次函数的最值 导数的应用等基础知识 以及 推理能力和运算能力 18 8 分 在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折 起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积 是多少 考点 函数模型的选择与应用 基本不等式在最值问题中的应用 专题 计算题 11 分析 先设箱底边长为 xcm 则箱高cm 得箱子容积 再利用导数的方法解决 应注意函数的定义域 解答 解 设箱底边长为 xcm 则箱高cm 得箱子容积 0 x 60 0 x 60 令 0 解得 x 0 舍去 x 40 并求得 V 40 16 000 由题意可知 当 x 过小 接近 0 或过大 接近 60 时 箱子容积很小 因此 16 000 是最大值 答 当 x 40cm 时 箱子容积最大 最大容积是 16 000cm3 点评 1 解有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实际意 义 2 根据问题的实际意义来判断函数最值时 如果函数在此区间上只有一个极 值点 那么这个极值就是所求最值 不必再与端点值比较 3 相当多有关最值的 实际问题用导数方法解决较简单 19 8 分 计算下列定积分的值 1 2 3 4 考点 微积分基本定理 12 专题 计算题 分析 先找到被积函数的原函数 然后运用微积分基本定理计算定积分即可 解答 解 1 x2 cosx 0 frac 2 1 2 6x2 12x 6 dx 2x3 6x2 6x 112 3 lnx ln2 ln3 4 x 点评 本题主要考查了定积分 运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的 原函数 属于积分中的基础题 20 8 分 2008 陕西 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示 截面 为 A1B1C1 BAC 90 A1A 平面 ABC AC 2 A1C1 1 证明 平面 A1AD 平面 BCC1B1 求二面角 A CC1 B 的大小 考点 平面与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法 专题 计算题 证明题 分析 欲证平面 A1AD 平面 BCC1B1 根据面面垂直的判定定理可知在平面 BCC1B1内 一直线与平面 A1AD 垂直 根据线面垂直的性质可知 A1A BC AD BC 又 A1A AD A 根据线面垂直的判定定理可知 BC 平面 A1AD 而 BC 平面 BCC1B1 满足 定理所需条件 作 AE C1C 交 C1C 于 E 点 连接 BE 由三垂线定理知 BE CC1 从而 AEB 为 二面角 A CC1 B 的平面角 过 C1作 C1F AC 交 AC 于 F 点 在 Rt BAE 中 求出二 面角 A CC1 B 的平面角即可 解答 证明 A1A 平面 ABC BC 平面 ABC 13 A1A BC 在 Rt ABC 中 BD DC 1 2 又 DBA ABC ADB BAC 90 即 AD BC 又 A1A AD A BC 平面 A1AD BC 平面 BCC1B1 平面 A1AD 平面 BCC1B1 如图 作 AE C1C 交 C1C 于 E 点 连接 BE 由已知得 AB 平面 ACC1A1 AE 是 BE 在面