上海重点中学2011-2012学年高二数学下学期期末考试试题 文

用心 爱心 专心 1 上上海海重重点点中中学学 2 20 01 11 1 2 20 01 12 2 学学年年度度第第二二学学期期 高高二二数数学学期期终终试试卷卷 文文科科卷卷 本试卷共有 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得填写结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 抛物线的准线方程是 2 xy 2 方程的解为 2 2 2424 xx CC 3 在的展开式中 设各项的系数和为a 各项的二项式系数和为b 则 5 31 x a b 4 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 圆心角为 90 的扇形 则这个圆锥的全面积是 5 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 赠送给 5 位朋友 每位朋友 1 本 则不 同的赠送方法共有 种 6 一只口袋里有 5 个红球 3 个绿球 从中任意取出 2 个球 则其中有绿球的概率为 结果用最简分数表示 7 已知正四棱柱的一条对角线长为 底面边长为 1 则此正四棱柱的表面积为22 8 抛物线的准线与轴的交点为K 抛物线的焦点为F M是抛物线上的一点 且 2 4yx x 则 MFK的面积为 2 FMFK 9 在圆周上有 10 个等分点 以这些点为顶点 每 3 个点可以构成一个三角形 如果随机选 择了 3 个点 刚好构成直角三角形的概率是 10 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中 第 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 3 2 11 边长分别为 的矩形 按图中所示虚线剪裁后 ab 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面 其余恰好拼接 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 用心 爱心 专心 2 成该正四棱锥的 4 个侧面 则的取值范围是 b a 12 除以 100 的余数是 92 91 13 若对于任意实数 都有 则x 234 4 01234 2222xaaxaxaxax 的值为 3 a 14 如果一个正四位数的千位数 百位数 十位数和个位数满足关系abcd 则称其为 彩虹四位数 例如 2012 就是一个 彩虹四位数 那么 正 0ab cd 四位数中 彩虹四位数 的个数为 直接用数字作答 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得答题纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 经过原点且与抛物线只有一个公共点的直线有多少条 2 3 1 4 yx A A 0 B B 1 C C 2 D D 3 16 教室内有一把直尺 无论这把直尺怎样放置 在教室的地面上总能画出一条直线 使这 条直线与直尺 A A 平行 B B 垂直 C C 异面 D D 相交 17 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可 能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A A B B C C D D 3 4 2 3 1 2 1 3 18 给出下列四个命题 1 异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线 2 若直线 上有两点到平面的距离相等 则 l l 3 若直线与平面内无穷多条直线都垂直 则 m m 4 两条异面直线中的一条垂直于平面 则另一条必定不垂直于平面 其中正确命题的个数是 A A 0 个 B B 1 个 C C 2 个 D D 3 个 用心 爱心 专心 3 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共分 本大题共 5 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知矩形内接于圆柱下底面的圆 是圆柱的母线 ABCDOPA 若 异面直线与所成的角为 求此圆6AB 8AD PBCDarctan2 柱的体积 20 本题满分本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 4 4 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 3 3 小小 题满分题满分 4 4 分 第分 第 4 4 小题满分小题满分 4 4 分 分 有 8 名学生排成一排 求分别满足下列条件的排法种数 要求列式并给出计算结果 1 甲不在两端 2 甲 乙相邻 3 甲 乙 丙三人两两不得相邻 4 甲不在排头 乙不在排尾 21 本题满分 本题满分 1414 分 分 如图 在北纬 60 线上 有A B两地 它们分别在东 经 20 和 140 线上 设地球半径为R 求A B两地的球面 距离 A P B C D O 用心 爱心 专心 4 22 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 1010 分 分 如图 点为斜三棱柱的侧棱上一P 111 CBAABC 1 BB 点 交于点 交于 1 BBPM 1 AAM 1 BBPN 1 CC 点 N 1 求证 MNCC 1 2 在任意中有余弦定理 DEF 拓展到空间 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的 关系式 并予以证明 23 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小小 题满分题满分 8 8 分分 在平面直角坐标系中 为坐标原点 已知曲线上任意一点 其中 OC P x y0 x 到定点的距离比它到轴的距离大 1 1 0 Fy 1 求曲线的轨迹方程 C 2 若过点的直线 与曲线相交于不同的两点 求的值 1 0 FlCAB OA OB 3 若曲线上不同的两点 满足 求的取值范围 CMN0OM MN ON A A1 B1 B C1 C M N P 用心 爱心 专心 5 上上海海重重点点中中学学 2 20 01 11 1 2 20 01 12 2 学学年年度度第第二二学学期期 高高二二数数学学期期终终试试卷卷 文文理理卷卷答答案案 2012 06 182012 06 18 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果 每个空格填对得填写结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 抛物线的准线方程是 2 xy 答案 1 4 y 2 方程的解为 2 2 2424 xx CC 答案 0 2 4 3 在的展开式中 设各项的系数和为a 各项的二项式系数和为b 则 5 31 x a b 答案答案 1 4 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 圆心角为 90 的扇形 则这个圆锥的全面积是 答案 5 4 5 理 11 全国大纲理 7 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本 赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 种 答案答案 10 5 文 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 赠送给 5 位朋友 每位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 种 答案答案 10 6 理 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中 则每个盒子中至少有 1 个球的概率为 结果用最简分数表示 答案答案 23 43 4 4 39 C P 6 文 一只口袋里有 5 个红球 3 个绿球 从中任意取出 2 个球 则其中有绿球的概率为 结果用最简分数表示 答案答案 2 5 2 8 9 1 14 C C 7 理 已知 若 共同作 1 23Fijk 2 23Fijk 3 345Fijk 1 F 2 F 3 F 用于一个物体上 使物体从点 1 2 1 移到点 3 1 2 则合力所做的功为 1 M 2 M 答案答案 4 7 文 已知正四棱柱的一条对角线长为 底面边长为 1 则此正四棱柱的表面积为22 答案答案 642 用心 爱心 专心 6 8 抛物线的准线与轴的交点为K 抛物线的焦点为F M是抛物线上的一点 且 2 4yx x 则 MFK的面积为 2 FMFK 答案 2 3 9 在圆周上有 10 个等分点 以这些点为顶点 每 3 个点可以构成一个三角形 如果随机选 择了 3 个点 刚好构成直角三角形的概率是 答案答案 1 3 10 04 春考 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中 第 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 3 2 答案 34 11 边长分别为 的矩形 按图中所示虚线剪裁后 ab 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面 其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面 则的取值范围是 b a 答案 1 2 12 理 已知平面 截一球O得圆M 圆M的半径为r 圆M上两点A B间的弧长为 2 r 又球心O到平面 的距离为r 则A B两点间的球面距离为 答案 2 3 r 12 文 除以 100 的余数是 92 91 答案 81 13 若对于任意实数 都有 则x 234 4 01234 2222xaaxaxaxax 的值为 3 a 答案 8 14 理 11 湖北理 15 给n个自上而下相连的正方形着 黑色或白色 当 4n 时 在所有不同的着色方案中 黑色 正方形互不相邻的着色方案如图所示 由此推断 当 6n 时 黑色正方形互不相邻的着色方案共 有 种 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共 有 种 直接用数字作答 答案答案 21 43 14 文 如果一个正四位数的千位数 百位数 十位数和个位数满足关系abcd 则称其为 彩虹四位数 例如 2012 就是一个 彩虹四位数 那么 0ab cd 正四位数中 彩虹四位数 的个数为 直接用数字作答 答案 3645 二二 选择题 本大题满分选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得答题纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 经过原点且与抛物线只有一个公共点的直线有多少条 2 3 1 4 yx A A 0 B B 1 C C 2 D D 3 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 用心 爱心 专心 7 答案 D 16 理 正四面体的表面积为 其中四个面的中心分别是 设四ABCDSEFGH 面体的表面积为 则等于 EFGHT T S A A B B C C D D 4 9 1 9 1 4 1 3 答案 B 16 文 教室内有一把直尺 无论这把直尺怎样放置 在教室的地面上总能画出一条直线 使这条直线与直尺 A A 平行 B B 垂直 C C 异面 D D 相交 答案 B 17 理 11 陕西理 10 甲乙两人一起去游园 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景点中 任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A A B B C C D D 1 36 1 9 5 36 1 6 答案 D 17 文 11 全国新课标理 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A A B B C C D D 3 4 2 3 1 2 1 3 答案 D 18 理 给出下列四个命题 1 若平面上有不共线的三点到平面的距离相等 则 2 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线 3 两条异面直线中的一条平行于平面 则另一条必定不平行于平面 4 a b为异面直线 则过a且与b平行的平面有且仅有一个 其中正确命题的个数是 A A 0 个 B B 1 个 C C 2 个 D D 3 个 答案 C 18 文 给出下列四个命题 5 异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线 6 若直线 上有两点到平面的距离相等 则 l l 7 若直线与平面内无穷多条直线都垂直 则 m m 8 两条异面直线中的一条垂直于平面 则另一条必定不垂直于平面 其中正确命题的个数是 A A 0 个 B B 1 个 C C 2 个 D D 3 个 答案 C 三三 解答题 本大题满分解答题 本大题满分 7474 分 本大题共分 本大题共 5 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知矩形内接于圆柱下底面的圆 是圆柱的母线 若ABCDOPA 异面直线与所成的角为 求此圆6AB 8AD PBCDarctan2 柱的体积 解 设圆柱下底面圆的半径为 连 OrAC A P B C D O 用心 爱心 专心 8 由矩形内接于圆 可知是圆的直径 2 分ABCDOACO 于是 得 4 分 22 26810rAC 5r 由 可知就是异面直线与所成的角 ABCDPBA PBCD 即 故 7 分arctan2PBA tan2PBA 在直角三角形中 9 分PABtan12PAABPBA 故圆柱的体积 12 分 22 512300VrPA 20 本题满分本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 4 4 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 3 3 小小 题满分题满分 4 4 分 第分 第 4 4 小题满分小题满分 4 4 分 分 理 m个元素环绕在一条封闭曲线上的排列 称为环状排列 已知m个不同元素的环状排列 的所有种数为 请利用此结论来解决下列问题 要求列式并给出计算结果 1 m 1 从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少 2 某班 8 个班干部中有 1 个班长 2 个副班长 现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种 i 班长坐在两个副班长中间 ii 两个副班长不能相邻而坐 iii 班长有自己的固定座位 解 1 3 分 8 10 7 226800C 2 i 6 分 2 2 5 240P 2 ii 间接法 插空法 10 分 2 2 7 6 3600P 2 6 5 3600P 2 iii 14 分7 5040 20 文 有 8 名学生排成一排 求分别满足下列条件的排法种数 要求列式并给出计算结 果 1 甲不在两端 2 甲 乙相邻 3 甲 乙 丙三人两两不得相邻 4 甲不在排头 乙不在排尾 解 1 3 分 1 6 7 30240C 2 6 分 2 2 7 10080P 3 10 分 3 6 5 14400P 4 14 分 11 66 7 6 30960CC 21 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 分 第第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 理 12 闵行三模理 如图 在四棱锥中 底面PABCD 是矩形 平面 ABCDPA ABCD2APAB 4AD 依次是的中点 EF PBPC 1 求直线与平面所成的角 结果用反三角函数值表ECPAD 示 2 求三棱锥的体积 PAFD 1 解法一 分别以为轴 轴 轴ABADAP xyz 建立 空间直角坐标系 各点坐标分别是 F E D B C A P D A P F E B C y x z 用心 爱心 专心 9 0 0 0 A 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 0 2 P 1 0 1 E 1 2 1 F 2 2 分 分 1 4 1 EC 又 平面 AB PAD 平面的法向量为 4 4 分 分 PAD 2 0 0 nAB 设直线与平面所成的角为 则ECPAD 6 6 分 分 22 sin 618 2 EC n ECn 直线与平面所成的角为 7 7 分 分 ECPAD 2 arcsin 6 解法二 平面 又 平面 取PA ABCDCDPA CDAD CD PAD 中点 中点 联结 则PAGCDHEGGHGD 且 是平行四边形 EGABCD 1 1 2 EGAB EGHC 即为直线与平面所成的角 3 3 分 分 HGD ECPAD 在中 Rt GAD 22 1 4 17GD 在中 6 6 分 分 Rt GHD 117 tan 1717 HD HGD GD 直线与平面所成的角为 7 7 分 分 ECPAD 17 arctan 17 2 解法一 由 1 解法一的建系得 设平面的法 1 2 1 AF 0 4 0 AD AFD 向量为 点到平面的距离为 由 得 nx y z PAFDd0AF n 0AD n 且 取得 9 9 分 分 20 xyz 40y 1x 1 0 1 n 1111 分 分 2 2 2 AP n d n 又 1313 分 分 6AFFD 2642 2 AFD S 1414 分 分 14 2 22 33 P AFD V 解法二 易证即为三棱锥底面上的高 且 1111 分 分 PEPAFD 2PE 底面边上的高等于 且 1313 分 分 AFD ADAE2AE 2 2 AFD S 1414 分 分 114 422 323 P AFD V 解法三 依题意 平面 1111 分 分 EFPAD P AFDF PADE PADD PAE VVVV 1414 分 分 11114 2 2 4 322123 D PAE VPAABAD 21 文 本题满分 14 分 如图 在北纬 60 线上 有A B两地 它们分别在东经 20 和 140 线上 设地球半径为R 求A B两地的球面距 离 解 设纬线圈半径为r 据题意 AO1B 1400 500 900 2 F E D B C A P H G 用心 爱心 专心 10 分 5 分 00 11 1 coscos60 60 2 rROAORROAOAOC 在Rt AO1B中 8 分 222203 3 2cos12033 2 ABrrrrABrR 又在 AOB中 11 分 133 sin2arcsin 244 AOBAOB A B两地的球面距离 14 分 3 2 arcsin 4 ABR 22 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小小 题满分题满分 6 6 分分 理 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第一小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 本题取前 2 小题作为文 22 题 满分 16 分 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 10 分 如图 点为斜三棱柱的侧棱上一点 P 111 CBAABC 1 BB 交于点 交于点 1 BBPM 1 AAM 1 BBPN 1 CCN 1 求证 MNCC 1 2 在任意中有余弦定理 DEF 拓展到空间 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与 其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 并予以证明 3 在 2 中 我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子 这样的例子还有不 少 下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征 试着将勾股定理推广到空间去 勾股定理的 类比 三角形ABC四面体O ABC 条件 AB AC OA OB OC两两垂直 结论 AB2 AC2 BC2 请在答题纸上完成上表中的类比结论 并给出证明 1 证 4 分 MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC 111111 平面 2 解 在斜三棱柱中 有 其中 111 CBAABC cos2 1111 111111 222 AACCBBCC AACCBBCCAABB SSSSS 为平面与平面所组成的二面角 7 分 BBCC 11 AACC 11 上述的二面角为 1 PMNCC平面 MNP 在中 PMN 222 2cosPMPNMNPN MNMNP MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPM cos 2 11 111 222222 由于 1 111 1 1 1 1 1 BBPMSCCMNSCCPNS AABBAACCBBCC 有 10 分 cos2 1111 111111 222 AACCBBCC AACCBBCCAABB SSSSS 3 空间勾股定理的猜想 已知四面体O ABC的三条侧棱OA OB OC两两垂直 则有 2222 OABOACOBCABC SSSS 13 分 证法一 作OD AB 垂足为D 连结CD A A1 B1 B C1 C M N P 用心 爱心 专心 11 2222222222 1111 4444 ABC SABCDABOCODABOCABOD 222222222222 111 444 AOBAOBAOCCOBAOB OAOBOCSOAOCOBOCSSSS 16 分 证法二 作OH 平面ABC 垂足为H 易得H为 ABC的垂心 连结CH并延长交AB于E 连 结OE 则有OE AB 在 OAB中 222 11 24 OABOAB SAB OESABOE 在Rt EOC中 2 OEEH EC 22 111 422 OABHABCAB SABEH ECAB EHAB ECSS 同理 2 OACHACBAC SSS 2 OBCHBCABC SSS 于是 16 分 2222 OABOACOBCHABHACHBCABCABC SSSSSSSS 证法三 建立空间直角坐标系 设 0 0 A a 0 0 Bb 0 0 Cc 作OD AB 垂足为D 则D满足 0 x y 00 OD ABaxby ABADbxy