时滞中立型随机系统均方指数稳定性研究

时时滞滞中中立立型型随随机机系系统统均均方方指指数数稳稳定定性性 研研究究 Research on exponential stability in mean square for neutral stochastic systems with mixed time delays 作作 者者 姓姓 名名 岳 生 伟 学学 位位 类类 型型 学 历 硕 士 学学 科科 专专 业业 应 用 数 学 研研 究究 方方 向向 非线性随机动力系统与 控制 导导 师师 及及 职职 称称 焦贤发 教授 2013 年年 4 月月 时时滞滞中中立立型型随随机机系系统统均均方方指指数数稳稳定定性性 研研究究 摘摘 要要 中立型系统是一个特殊的时滞系统 不仅在系统的状态中存在时滞项 而且 在状态的导数中也存在时滞项 时滞普遍存在于实际的动力学系统中 是导致系 统不稳的一个重要的原因 稳定性是衡量一个系统好坏的基本标准之一 因此对 系统的稳定性分析成为人们研究热点问题 导致系统不稳定的因素有很多 如外 界随机干扰 不确定性 系统的自身的突然跳变等等 因此 中立型系统模型考 虑这些因素成为必要并具实际意义 本学位论文基于控制理论的基本方法 主要是利用了Lyapunov 第二稳定 判定方法 通过构造适当的Lyapunov 泛函 利用积分不等式的方法 得到随机 时滞中立系统的均方指数稳定的充分条件 主要内容如下 1 针对一类具有 Markov 跳变的随机中立 系统的指数稳定性问题 在考虑 带 有 Markov 跳变参数的同时又考虑了系统具有时变时滞和非线性干扰 该模型中 所考虑的状态时滞和分布式时滞的 均依赖于 Markov 跳变参数 通过构造新的 Lyapunov 泛函 利用积分不等式方法 得到了具有Markov 跳变的时变时滞中 立系统的均方指数稳定的充分条件 通过数值例子说明了该结论是有效的 2 针对一类带有饱和执行器的随机中立系统的均方指数稳定性问题 考虑具 有 Markov 跳变的随机中立系统 同时又考虑了系统状态的时变时滞依赖和分布 时滞效应 设计了一个无记忆饱和状态反馈控制 通过构造的Lyapunov Krasovskii 函数 利用时滞分割法 使得系统在估计吸引区域中得到 的最大时滞 上界 利用 LMI 的方法 使得该系统指数稳定的充分条件具有较 弱的保守性 数值例子说明该方法的有效性 关关键键词词 随机中立系统 Markov 跳变 均方指数稳定 非线性不确定干扰 饱 和执行器 时变时滞 分布式时滞 Research on exponential stability in mean square for neutral stochastic systems with mixed time delays ABSTRCT Recently the stability analysis of neutral systems which have delays in both its state and the derivatives of its states has been widely investigated by many researchers As we all know time delay exists widely in automatic control systems which results in mainly instability and poor performance of systems Stability is of importance to dynamic systems which is not only the demand of the neutral systems but also necessity of the realistic meaning Therefore the systems have been paid attention more and more in the last few years Many factors can cause the instability of systems for example stochastic perturbations uncertainties parameters the random jumps in systems and so on Therefore it is necessary to add that factors in the neutral systems According to the control theory the exponential stability in mean square for stochastic neutral systems with Markovian jumping parameters and mixed time delays is studied in this article By constructing a new Markovian jumping lyapunov krasovskii function using integral inequalities the stability condition is derived in terms of LIMS The main contents are as follows 1 The exponential stability is studied for a class of stochastic neutral system with Markovian jumping parameters and distributed delays The jumping parameters are regarded as a continuous time continuous state Markov process and delays is related to Markov jumping Based on a new lyapunov krasovskii functional and stochastic analysis a new delay stability condition is derived in terms of linear matrix inequality by using some integral inequalities which in favor of exponential stability in mean square of the neutral systems A numerical example show that the method is effective 2 The exponential stability in mean square of stochastic neutral systems with saturating actuators and mixed time varying delays is concerned The stochastic property of the Markov process is fully considered in the neutral systems and a mode dependent memoryless saturating state feedback controller is designed By utilizing a delay decomposition a upper bound of time delay is obtained A less conservative condition to ensuring the exponential stability of the stochastic neutral systems is derived by using a lyapunov krasovskii functional on the vertices of the polytopic description of the actuator saturations Numerical examples demonstrate the effectiveness of this proposed methods Key words stochastic neutral systems Markovian jumping Exponential stability in mean square nonlinear perturbations saturating actuators time varying delays distribution delays 致致 谢谢 三年的时光是长的 同时又是短的 研究生生活即将结束 回想起这三年 历历在目 感慨万千 首先 我要感谢的是我的导师焦贤发教授 在这三年里他 对我的鞭笞 教诲与鼓励 让我获益匪浅 尤其是他的那种持之以恒的科研精神 一丝不苟的科研态度和广阔的科研思路 让我受用一生 给我的以后的工作和学 习指明了方向 并将受益终身 其次 还要感谢数学学院的各位老师们在这三年期间给我的鼓励与帮助 感 谢你们对我的学习做出指导 使我的思维得到了很大的启发 衷心感谢你们给我 的支持 我还要感谢数学创新实验室的给我提供了一个优良的学习环境 在这里我能 够同师姐师兄 学弟学妹们一起学习 共同讨论 得到了很大的帮助和进步 尤 其感谢徐启敏 刘宗润 陶玉 吴艳 石兵兵等以及全体应用数学的同学 三年 里 我们一起成长 一起快乐 一起学习 我永远怀念这难得的三年时光 我还要感谢我的父母 在这三年里 除了给我经济上支持 精神上的支持是 我前进的最大动力 还要感谢妻子 谢明琴对我的默默关怀 和支持 对他们表示 深深的感谢 最后感谢在论文答辩时出席的各位专家学者 感谢你们所给的批评指正 这 些宝贵的意见是我以后前进的动力和方向 作者 岳生伟 2013 年 4 月 10 日 目目 录录 第第一一章章 绪绪论论 1 1 1 中立型系统的研究背景及意义 1 1 2 中立型时滞系统稳定性的研究现状 3 1 2 1 稳定性概述 3 1 3 具有 Markov 跳变的中立型时滞系统的研究概况 4 1 3 1 Markov 跳变的提出 4 1 3 2 具有 Markov 跳变的中立系统的研究发展概况 5 1 3 3 具有饱和执行器的中立型时滞系统的研究现状 5 1 4 本文的基本内容和安排 6 第第二二章章 预预备备知知识识 8 2 1 稳定性基本理论 8 2 1 1 Lyapunov 意义下的运动稳定性的基本概念 8 2 1 2 Lyapunov 主要定理 10 2 2 系统数学模型的基本概念 10 2 2 1 随机过程 的基本概念 10 2 3 基本理论和重要的不等式引理 15 第第三三章章 具具有有 Markov 跳跳的的时时滞滞中中立立系系统统的的均均方方指指数数稳稳定定 17 3 1 引言 17 3 2 系统模型的描述与假设 17 3 3 主要定理及证明 19 3 4 数值算例 25 3 5 小结 25 第第四四章章 具具有有饱饱和和执执行行器器的的随随机机中中立立型型时时滞滞系系统统的的指指数数稳稳定定 26 4 1 引言 26 4 2 系统模型的描述和假设 26 4 3 主要定理及证明 28 4 4 数值算例 33 4 5 小结 36 第第五五章章 总总 结结 37 5 1 全文总结 37 5 2 进一步研究工作 37 参参考考文文献献 38 攻攻读读硕硕士士学学位位期期间间发发表表的的论论文文 44 图图表表目目录录 图 2 1 Lyapunov 意义下稳定性示意 9 图 2 2 渐进稳定的几何示意 9 图 2 3 具有饱和特性的动力系统 14 图 2 4 饱和函数示意图 14 表 4 1 最大时滞上界的取值 35 m 图 4 2 系统状态随时间变化轨迹 36 x t 1 第第一一章章绪绪论论 在现代化的生产中 自动控制技术已经被广泛的应用于农业生产 工厂 制造 金融交通 航空航天 尤其是二十世纪后期 基本上实现了通信行业 和金融行业全面自动化 太空探测仪的应用的促进了对太空的研究机遇等 同时这也推动了现代控制理论的发展及完善 并得到越来越多的应用 工业 生产实现综合自动化 能够节能减排 降低能耗 从而提高经济效益 可以 解决如何使用最少的燃料或最短的时间能把宇宙飞船或火箭卫星准确无误的 送到预定的轨道等诸如此类的控制性的问题 由于现代计算机的高速发展和 广泛应用 现代控制领域行业向着连续化 大型化 集成复杂化发展 也深 刻的影响了控制理论和控制工程的发展方向 就产生了以计算机技术为核心 的网络化控制方式 因此 现代系统的控制方法就越来越多的应用到生活每 一个领域 成为人们研究和关注的焦点 1 4 1 1 中立型系统的研究背景及意义中立型系统的研究背景及意义 在实际的工程问题中 实现控制系统的自动化 其稳定性是不可避免的 受到各种因素的干扰的 如系统中总是包含不确定的非最小相位对象 外界 的随机干扰以及各种输入信号的限制等都会在一定程度上影响系统达到稳定 状态 因此 在控制系统理论中 对实际的控制过程建立相应的数学模型时 就必须考虑到这些因素对实际的工程的应用的影响 时滞是普遍存在的一个现象 表现为一个系统的当前状态的变化率依赖 于过去的状态 在控制系统理论中 具有这种特征的系统被称为时滞系统 实际上任何的过去的状态都会对当前的状态产生一定的影响 如金融系统 机械传输系统 网络控制系统 遗传问题 电路信号传输系统 生产制造系 统等等 5 6 时滞是导致系统不稳定的一个重要的原因之一 因此 如何在 建立动力学系统模型时消除时滞对系统所造成的影响从而达到稳定成为热点 问题 受到研究者的关注 7 9 产生时滞的原因是有很多的 主要有 第一 在形成的动力系统中 在设备之间的衔接过程中所产生的固有的时滞现象 例如具有反馈控制器 显示器 测量仪器等的动力系统 第二 控制系统本 身所具有的时间滞后特性 如神经网络系统 生物环境系统 电子电路及机 械生产制造等 时间的滞后对系统的稳定性能造成了极为不利的影响 在这 个滞后的时间内 动力系统的特性趋向如震荡等形式 并且滞后的时间越长 可控性就变得越难 既使是在特定的系统中加入时间滞效应 那么也要对其 进行有效的控制 因此 大量的研究者在实践的基础上做了大量的研究 提 出了许多行之有效的控制方法 如 鲁棒控制 Smith 预估控制 自适应 2 控制 大林算法 预测控制 变结构控制 智能控制等方法 10 12 在控制系统理论中 建立一个正确的数学模型反应动力系统显得尤其的 重要 许多的动力系统都是用微分方程来建立模型 并且是考虑当前的状态 和过去的状态没有联系 这并不能精确的描述实际的系统模型 即形如如下的一阶微分方程 1 1 1 00 x tf t x tx tx 其仅仅只是体现了和 本身之间的关系 这于实际有很大的误差 x tt 从连续的角度看 带有时滞的系统是一个无穷维的动力系统模型 其特 征方程是超越方程 从离散的角度看 时滞系统的维数随着时滞的增加而增 加 从而增加了建立系统模型的难度 对于时滞系统的基本理论在二十世纪 五六十年代就已经建立 研究成果非常的丰富 13 16 到目前为止 常见的 时滞系统模型有 脉冲时滞系统 Lurie 时滞系统 奇异时滞系统 中立时 滞系统以及随机时滞系统 它们的系统模型都是微分方程的形式 其一般形 式如下 1 1 2 1 00 m x tf t x tx tx t x ttttt 其中 表示系统状态空间 表示系统时滞 n x tR 1 m 初始条件为定义在上的连续函数 max 1 i im t 00 tt 实际生活中 诸如城市交通管理系统 电路信号系统 股票价格波动 销售系统 电磁雷达系统等控制系统中都会不可避免的受到外界的随机因素 的扰动 如正是因为随机因素的干扰 影响了Lotka Volterrra 时滞系统预 期所要达到的效果 17 航天探测器在探索外空时 会受到各种外界不可预 测的随机因素的干扰 影响其接受或者发送稳定的信号 因此 在统模型中 加入随机干扰因素更加能精确的定量分析实际的动力系统 二十世纪 随着人们对随机过程和微分方程不断的研究 在各个领域人们建立随机数学 模型来刻画现实问题 18 20 直到伊藤建立了完整的随机理论 在控制系统 理论中逐渐引入了随机系统模型 使得该理论得到了不断发展和成熟 21 22 伊藤随机微分模型来描述随机时滞系统 1 1 3 0 dx tf t x tx tg t x tx tx tdw t x ttt 其中表示随机因素干扰 是定义在概率 g t x tx tx tdw t w t 空间上的布朗运动 3 中立型时滞系统是一类特殊的时滞系统 该系统状态和状态的导数中都 存在时滞项 能更准确地描述了动力系统 同时处理起来也变得复杂的多 该系统不仅客观的存在 如真空二极管震荡模型 物体追踪模型 非线性流 体增长系统模型等 而且常常被应用到实际的物理系统中 如具有反复控制 的系统就是典型的中立系统 诸如微波振子 喷气式飞机的引擎系统等都是 中立系统 23 25 其一般的微分形式如下 1 1 4 00 max x tf t x tx tx t h x ttttht 其中 表示系统状态时滞 表示中立时滞 h 中立型是一类特殊的时滞系统 该系统本身也具有自己的特性 其数学 模型中具有中立时滞和状态时滞 一般式 1 1 4 中 离散时滞和中立 时滞在系统模型中可以相等或者不相等 同时它们可以是常量也可以是变 h 量 随着研究的不断深入 中立时滞模型已经取得了丰富的成果 26 29 自动控制越来越多的被应用到实际的生产生活中去 对控制系统理发展提出 了更高的要求 对中立型时滞系统的研究具有深刻的理论价值和应用价值 1 2 中立型时滞系统稳定性的研究现状中立型时滞系统稳定性的研究现状 对于一个动力学系统模型 稳定性成为衡量一个系统的首要标准 是一 个系统正常工作的前提条件 基于本文研究的内容 下面分别从几个方面对 系统的稳定性及采用哪些方法可以获得系统稳定等的国内外研究状况加以概 括 1 2 1 稳定性概述 稳定性指的是一个控制系统的系统状态在相对于内部或者外部干扰时是 否具有维持自身系统稳定的性能 是人们研究动力学系统一个最基本的问题 起初 稳定性属于物理力学的范畴 1892 年 数学家 Lyapunov 在 运动 稳定性的一般问题 一文中给出了运动稳定性的精确描述 为运动稳定性基 本理论开辟了先河 从此成为研究控制系统稳定性理论中最具重要和普遍的 理论 A M Lyapunov 方法 30 控制系统的运动稳定性有两类 第一是基于 输入和输出的外部稳定 第二是基于状态空间的内部稳定 李亚普诺夫创立 的稳定判定方法有两种 间接法和直接法 间接法是一种在小范围内把系统 模型近似线性化 这种方法是对实际的系统具有很大的局限性 直接法是使 用最广泛的方法 直接的去判定系统内部稳定的一种方法 二十世纪六十年 代 李亚普诺夫第二方法被引入到动力系统中 通过构造合适的利亚普诺夫 函数的方法并判断是否是负定矩阵 导出稳定性判据 方法简便清晰 成为 4 现代控制系统领域的稳定性研究的有效方法 随着科技进步 理论的深刻研 究 该方法已经被拓展到非线性时滞系统 随机时滞系统中去 到目前为止 研究系统稳定性分析的方法分成三大类 31 第一 无限 维系统理论方法 第二 代数系统理论方法 第三 泛函微分方程理论方法 第三种方法是基于系统过去的状态对当前系统状态的影响 利用有限维空间 和泛函空间的去描述系统的状态变化 成为研究时滞系统稳定性分析的主要 工具 在控制系统领域内 研究时滞系统的稳定性分析的方法主要有两大类 第一是频域法 其是基于方程的特征根的分布或者复Lyapunov 矩阵函数 方程的解来判定系统的稳定 32 但是对于处理具有多变量的多维系统 中 立系统时等复杂系统时 该方法具有很大的局限性 因此对于给系统设计一 个反馈控制的时候 其很难处理具有带有时变时滞的系统 第二是时域法 二十世纪五十年代前后 由Krasovskii 和 Razumikhin 分别提出 其主要包 含 Lyapunov Krasovskii 泛函法和 Razumikhin 函数法 随着研究的进一步 深入 利用线性矩阵不等的方法 33 通过构适当的李亚普诺夫泛函并判定 其弱无穷小算子的定号性 判定系统是否稳定 对于时滞系统 稳定性是首要考虑的因素 那么如何在一定时滞范围内 使得得到的稳定判定条件具有较小的保守性 成为研究的重点问题 为了获 得系统稳定的时滞最大上界 研究者们提出了很多方法 交叉项界定方法 模型转换方法 34 Lyapunov Krasovskii 泛函法 自由权矩阵法 35 积分 不等式法等等 对于中立时滞系统 由于其中立时滞项和状态时滞项是同时存在的 之 前大量的研究者研究了与中立时滞项无关的系统 引入中立项时滞之后 需 要同时考虑到差分算子以及中立时滞项对获得最大时滞上界的影响 使得该 模型的稳定的充分条件获取变得复杂和困难 随着研究的进一步深入 中立 项时滞相关的系统有丰富的研究并获得了很好的结果 36 37 1 3 具有具有 Markov 跳变跳变的中立型时滞系统的研究概况的中立型时滞系统的研究概况 众所周知 中立型系统是现代控制理论中的一个重要的研究领域 随着 科技不断更新和对系统研究的深入 为了使建立的数学模型更加精确 就必 须在数学模型系统中考虑更多的因素 这使得对模型的稳定性分析变得困难 复杂 近几年来 对具有 Markov跳变的时滞系统稳定分析成为研究的热点 对带有Markov跳变的时滞中立系统的稳定性条件的推导越来越多受到学者 们的关注 并取得了丰富的研究成果 38 39 1 3 1 Markov 跳变的提出 实际的系统控制中 如相互连接的系统之间的转换 外界因素的突然干 5 扰 控制系统的突发故障等等的模型 因为这些突然的随机突变而引起系统 模态的改变 称之为 Markov跳变现象 40 自从1961年Lidskii和Krasovskii 第一次把这种跳变的因素引入到线性系统模型中去 因此具有Markov跳 变的时滞系统在控制领域成为研究的热点 41 42 其简单的数学模型如下表 示 1 2 1 t x tA r x t 其中表示系统状态空间向量 表示系统模态 表示依赖于 n x tR t r t A r 模态的具有适当维数的矩阵 是定义在上的取值于有限 0 t rt F 状态空间中取值的右连续 Markov 过程 密度矩阵满足 1 2 N S 1 2 2 1 ij tt ij ij ji ij P 其中且 表示的是由状态 到状态的模态转移率 且 0 lim 0 ij i j 1 0 S iiijij jj i i jSji 1 3 2 具有 Markov 跳变的中立系统的研究发展概况 Markov跳变是一个随机过程 它遵循随机过程论中相关规律 伴随着 伊藤对随机过程理论的建立 在动力系统中加入具有随机特性的Markov 跳变 从而可以将系统模型写成随机微分方程或者差分方程的形式 利用 Lyapunov Krasovskii泛函法去分析其稳定性 近年来 大量的研究者对具有具有 Markov跳变的中立系统进行了研究 取得了很好的成果 Shuping HE 43 等通过选择合适的 Lyapunov泛函 利用 积分不等式的方法获得了含有 Markov跳变中立系统稳定的充分条件 Qiu 等人研究了带有马尔科夫跳变的时变时滞的中立系统 通过自由权矩阵估计 出Lyapunov导函数的上界 得到给系统的鲁棒稳定 44 Hamid Reza Karimi 38 等人对带有时滞和马尔科夫跳变的中立系统的做出研究 通过设计 一个状态反馈 从而保证系统的稳定 P Balasubramaniam等人研究了带 有马尔科夫跳变和时变时滞的不确定中立系统 通过构造新的Lyapunov 函数 并同时考虑其广义特征值问题 利用线性矩阵不等式的方法导出该 系统的指数稳定 充分条件 45 1 3 3 具有饱和执行器的中立型时滞系统的研究现状 同时滞一样 在实际的控制系统中 饱和特性是普遍存在 尤其是在在 含有执行器的系统中尤为常见 如在控制系统中由于最大上限和下限的限定 6 使得系统饱和等 这种饱和特性有的是人为的 有的是装置所固有的 具有 很强的非线性 46 在考虑一个系统的外部稳定性时 对输入和输出进行控 制器设计时 如果没有考虑到饱和性对系统的影响 则得到的系统的稳定条 件将是具有很大的保守性 因此 近年来对饱和系统问题的研究越来越多 FENG WAN 47 等通过Riccati方程方法直接描述饱和非线性 综合了线性和 非线性输出反馈 得到系统稳定的条件 Tingshu Hu 48 等基于一个饱和线 性反馈控制 通过一个辅助的矩阵估计出吸引域 得到该系统稳定充分条件 早在二十世纪六七十年代的时 基于饱和系统的控制 研究者们提出了很多 抗饱和的方法 主要是直接法和抗积分饱和补偿法 49 50 非线性干扰是无法避免的并且是导致系统不稳定的一个客观原因 尤其 是带有饱和特性的系统 所以在吸引域内找到抗饱和的方法 使系统达到稳 定成为近年来研究的热点 对于中立系统加入饱和特性 对其进行稳定分析 并得到了很好的结果 Sophie Tarbouriech等基于Lyapunov函数 设计一个 与状态和时滞状态相关的反馈控制 得到具有饱和执行器的线性时滞中立系 统的渐近稳定条件 51 F EL Haoussi通过设计的状态反馈控制 基于线性 矩阵不等式 在吸引区域内得到具有饱和执行器的中立时变时滞系统的稳定 的充分条件 52 1 4 本文的基本内容和安排本文的基本内容和安排 本文主要是针对时滞系统中一类重要的分支领域 具有 Markov 跳变 的中立型时滞系统 主要是通过利亚普诺夫第二稳定判定方法 通过构建新 的利亚普诺夫泛函并判定其弱无穷小算子结果的定号性 采用积分不等和时 滞分割法 再利用 LMI 的方法 得出了随机中立系统的均方指数稳定 均 方指数稳定比渐进稳定具有更好的效果 能以更快的速度去向平衡状态 使 得得到的结论具有更小的保守性 本文章的内容安排如下 第一章 介绍了中立型时滞系统的研究背景及意义 并简要的阐述了中 立型时滞系统国内外研究和发展状况 以及研究的一个系统的首要标准和基 本方法 进一步引入对带有Markov 跳变的中立型时滞系统的和具有饱和 执行器的中立型系统研究发展 现状 第二章 阐述了后续章节中得出结论所需的基本理论 概述了随机过程 论的相关知识及基本的性质 简要的阐述了具有Markov 跳变及饱和特性 的时滞中立系统的模型及均方指数稳定的基本定义 以及在文章中所需要的 几个重要的不等式和引理 第三章 研究了带有 Markov 跳的随机中立系统的均方指数稳定性问题 7 考虑带有 Markov 跳变的中立系统 并同时考虑了系统具有时滞及非线性干 扰 该模型中所考虑的状态时滞和分布时滞依赖于马尔科夫跳变 所考虑的 马尔科夫跳变是具有连续的时间和连续状态的马尔科夫过程 基于 Lyapunov Krasovskii 理论 利用积分不等式的方法 得到带有马尔科夫跳 的时滞中立系统均方指数稳定的充分条件 第四章 本文研究了一类带有饱和执行器的随机中立系统的均方指数稳 定性问题 考虑到具有 Markov 跳变的随机中立系统 同时又考虑了系统状 态的时变时滞依赖和分布时滞效应 设计了一个无记忆饱和状态反馈控制 通过构造的 Lyapunov Krasovskii 函数 利用时滞分割法得到系统的最大时 滞上界 基于 LMI 的方法 得到该系统指数稳定的充分条件并具有较小的 保守性 第五章 总结 8 第第二二章章 预预备备知知识识 稳定性成为衡量一个系统能否正常运转其首要前提条件 是衡量动力系 统的一个重要指标之一 本学位论文研究的重点是时滞中立系统的稳定性 对于时滞系统的稳定性研究已经有了很多的研究成果 8 9 11 12 研究稳定 性的方法也很多 如泛函微分方程法 25 27 线性矩阵不等式 积分不等式 模型转换法 Lyapunov 泛函分析方法 30 32 等 本文是基于 Lyapunov 泛函 第二稳定判定 利用积分不等式和分割时滞法 通过线性矩阵不等式的方法 得到一类时滞中立系统稳定性条件 因此 需要介绍相关中立型系统模型的 相关概念及其稳定性研究方法 与此同时对具有Markov 跳变和饱和控制 的中立型系统的均方指数稳定性的定义及相关的基本理论和重要不等式的基 本了解 2 1 稳定性基本理论稳定性基本理论 稳定性是动力系统的正常工作的首要条件 本学位论文是基于 Lyapunov 稳定性理论去判定一个系统是否稳定的 该方法最大的优点是不 需要求出系统方程的解便可以判定系统的稳定性 下面介绍一下有关稳定性 的基本概念 2 1 1 Lyapunov 意义下的运动稳定性的基本概念 定定义义 2 1 1 53 不受外部影响的的一类动态系统称为自治系统 对于一般的动力系统而言 连续时间非线性时滞系统表示如下 2 1 1 00 xf x tx tx 0 tt 其中是维状态向量 表示为维向量函数 xn f x t n 定定义义 2 1 2 53 平衡状态 对连续时间非线性时变系统 自治系统 2 1 1 的平衡状态定义定义为状态空间中满足属性 e x 2 1 2 0 0 ee xf x ttt 的一个状态 定定义义 2 1 3 53 Lyapunov 稳定意义下的稳定 称自治系统 2 1 1 的孤立 9 平衡状态在时刻为利亚普诺夫意义下稳定 如果对任意一个实数 0 e x 0 t 都对应存在一个依赖于和的实数 使得满足不等式 0 0 t 0 0t 00 e xxt 2 1 3 的任意初始状态出发的受扰运动都满足不等式 0 x 00 tx t 000 e tx txtt 2 1 4 如果对于任意的实数 所取的邻域都与无关 则称该平 0 0 0t 0 t 衡态是一致稳定的 下面的图示形象的解释了Lyapunov 稳定的几何意义 上述稳定性只是说明了一种有界性的稳定 并不能保证其临界的时候是稳定 的 因此需要引入具有 重要意义的渐 近稳定 定定义义 2 1 4 54 渐近稳定 如果下列条件成立 则称系统的平衡状态是渐 近稳定的 1 平衡状态是 Lyapunov 稳定意义下的稳定的 2 存在一个实数 使得 0 0t 2 1 5 0000 0 ee x txtt x tx 其中是自治系统 2 1 1 的解 即 以足够靠近处出发的每一 00 t x t 0 x 个解 当时收敛于 其几何意义如下图所示 00 t x t t e x x2 x1 x 0 图 2 1 Lyapunov 意义下稳定性示意 10 定定义义 2 1 5 54 全局渐近稳定 如果自治方程 2 1 1 的一个平衡状态 对所有有 e x 0 n xR 1 是稳定的 e x 2 00 lim 0 e t t x tx 则是全局渐 近稳定的 e x 2 1 2 Lyapunov 主要定理 定定理理 2 1 54 Lyapunov 主稳定性定理 对于连续时间非线性时变自治系统 2 1 1 若可以构造对和 具有连续一阶偏导数的一个标量函数 xt 且对状态空间中所有的非零状态点满足如下条件 0 0V x tVt n Rx 1 存在正定函数 V x t 2 是半负定函数 d V x tV x t dt 则平衡状态是稳定的 0 e x 2 2 系统数学模型的基本概念系统数学模型的基本概念 在控制系统理论中 分析自动控制系统的稳定性条件是基于一个精确的 数学模型来描述的 通过分析 归纳和总结 人们已经建立了很多具有实际 意义的数学模型系统 40 45 实际问题中 系统的时滞 不确定的非最小相 位对象 敏感元件的噪声 外界的随机非线性干扰以及输入信号的种种限制 造成系统模型建立的困难 本文章是在基于前人的研究成果下 充分考虑了 实际因素的影响 研究了一类具有Markov 跳变参数和饱和控制的时滞中 立型系统 在该系统状态方程中 不仅考虑了时滞 时变时滞和分布式时 滞 而且还考虑了非线性干扰和随机Markov 跳变参数或者维纳过程的随 机干扰项 2 2 1 随机过程的基本概念 随机过程是对一系列的随机事件的动态定量描述 在随机过程理论中 Markov过程是一类非常重要的随机过程 其是独立随机试验模型的推广 在实际问题中有着非常广泛的应用 如 描述薄膜间的分子扩散 排队问题 遗传模型等等 以及随机过程理论中维纳过程和伊藤积分对本学位论文都有 非常重要的理论意义 下面分别介绍一些它们的相关理论 定义定义 2 2 1 55 如果对任何一列状态 及对任何的 随机过程 011 n i iii j 0n 图 2 2 渐近稳定的几何示 意 11 满足 Markov 性质 0 n Xn 100111 nnnnnn P Xj XiXiXiP Xj Xi 则称为离散的时间的 Markov 链 n X 定定义义 2 2 2 55 设为一离散时间 Markov 链 给定在状态 时处 n X n X i 1n X 于状态的条件概率称作是 Markov 链的一步转移概率 j 1nn P Xj Xi 记作 当这一概率和无关的时候称该 Markov 链有平稳转移概率 1 n n i jP n 记为 i j P 是一个带有自然流的完备全概率空间 0 t t FFP 0 t t F 是定义在概率空间上的一个右连续的齐次 0r t t 0 t t FFP Markov 过程 其取值于有限维状态空间 且具有平稳转移 NT 2 1 概率矩阵 有 NN ij 2 2 1 1 ij tt ij ifij rj ri ifij 表示由状态到的转移概率 而 转移概 0 0 ij i j ji ij ijii 率表示为 在时刻 的绝对 ij p irjrPirjrPp ttij 0 t r t 分布表示为 特别地 记为的 j ptjT jrPtp tj 0 j pjT t r 初始分布 定定义义 2 2 3 55 如果随机过程满足 0X tt 1 00 X 2 是齐次独立增量过程 X t 3 对任意的 12 0tt 2 1221 0 X tX tNtt 12 则称为方差参数是的维纳过程 当时 称为标准的维纳 X t 2 0 1 过程 在实际的工程中 随机系统是普遍存在的 因此对随机系统的研究受到 人们的极大关注 在 1951年的时候 日本数学家伊藤清引入了伊藤积分法 则 促进了随机微积分的极大发展 使得其在动力系统建模上得到了及广泛 的应用 下面引入关于伊藤积分的相关概念 定定义义 2 2 4 55 设为标准的布朗运动 随机过程 0B tt 0X tt 对 满足下列三个条件 0T 1 关于可测 X t 0 T 2 即为可测的 0 t tX tF X t t F 3 对任意 2 2 0 T E X tdtE Xt 0t 对进行分划 任取 令 0 0 tT 012 0 n ttttt 若有 1 1 kkk tttkn 1 max k k n t 2 2 2 11 0 1 lim n kkk n k X tB tB tIg t 均方极限存在 则称 为关于在 0 T Ig tX t dB t 0X tt 0B tt 上的伊藤积分 0 t 引引理理 2 2 伊伊藤藤引引理理 56 如果 是伊藤过程 是 0 x tt V x tt 上的二次连续可微函数 则也是一个伊藤过程 且有下 0R V x tt 面的式子成立 2 2 3 1 2 T txxxx dV x ttVV fg V g dtV gdt 特别的 如果只是的函数 2 2 2 可以写成如下形式 V x tt x 1 2 T xxxx dV x ttV fg V g dtV gdt 2 2 4 定定义义 2 2 5 57 随机系 Lyapunov Krasovskii 函数 定 0 t V x ti tV x t i 13 义弱无穷下算子如下 2 2 5 0 1 lim tt t N ij j E V x ttttV x ti t V x ti t V x ti tV x ti t x tV x tj t tx 对于稳定性问题 我们在上文已经介绍了 当考虑的系统是随机系统的 时候 我们就应该考虑如何使得系统稳定的条件更具保守性 均方指数稳定 是一种比渐近稳定具有更好的性质 收敛的更快 所以本学位论文是从系统 的均方渐近稳定的为出发点的 得到的结论具有较小的保守性 我们介绍均 方指数稳定的基本定义 定定义义 2 2 6 45 随机系统在均方意义下是指数稳定的 如果对于每一系统模 态和 存在常数和满足 2 0 n Lm 0 0 2 2 6 2 0 sup t m x te 2 2 2 具有 Markov 跳变参数的 中立型时滞系统 中立型系统模型是一类重要的模型 是时滞系统一个特殊形式 不仅考 虑了该系统的状态时滞 还考虑了系统的中立时滞 最典型的中立型系统如 下形式 2 2 7 0 x tCx tAx tBx td x tt th 其中 是系统的状态向量 矩阵 A B 是适当维数的常数矩阵 n x tR 和分别表示该系统的中立时滞和状态时滞 且有 其中 d maxhd 和可以是常数 也可以是的时间 的函数形式 Fang Qiu 58 d td t t 等基于时滞分割法 通过构建新的Lyapunov 泛函得到中立型时不变系统 稳定的条件 Qiu 44 等人通过线性矩阵不等式的方法得到时变时滞的中系 统的渐进稳定性条件 Shuping HE 43 等人基于 Lyapunov 函数 通过线性 不等式的方法 得到 时变时滞的不确定中系统渐近稳定性条件 随着研究 的不断深入 Lien C H 37 等人对具有非线性干扰的的时变时滞中系统进行 了研究 如果在实际的动力学系统中考虑到随机干扰项 那么 2 2 7 写成如 下的形式 2 2 8 x tCx tAx tBx tdg tt 14 其中是和的函数 是随机干扰项 可以是高斯分 g t x t x td t 布或布朗运动等等随机形式 2 2 8 可以写成 Langevin s 方程的形式 2 2 9 d x tCx t Ax tBx tdg tt dt 其中是白噪声过程 可以写成微分的形式 于是 2 2 7 可以写 t dt 成如下的伊藤随机中立系统形式 2 2 10 d x tCx tAx tBx tddt g t dt 随机因素的引入使得系统能更加精确的反应实际问题 成为研究的焦点 领域 Mao X 57 研究了随机中立微分方程的依均方指数稳定性问题 Shengyuan Xu 59 等对不确定时滞随机中立系统的渐进稳定和鲁棒稳定进行 了研究 并得到很好的效果 系统突变等原因会引起系统的随机跳变 人们 开始对具有 Markov 跳变中立系统进行了丰富的研究 Shuping HE 43 研究 了具有 Markov 跳变的时变中立系统的指数稳定性条件 Lianglin Xiong 60 等 通过引入自由权矩阵的方法构建新的Lyapunov 函数 其系统所以来的随 机 Markov 跳变的的转移概率是部分未知的 通过积分不等式 得到具有 Markov 跳变的中立系统渐近稳定的充分条件 饱和特性是几乎所有的动力系统都会存在的一个特性 所以在建立数学 模型时考虑到饱和使得系统模型更加的精确 同时增加了其稳定性研究的难 度 下图展现了具有饱和特性的系统 图 2 3 具有饱和特性的动力系统 是具有适当维度的标准饱和函数 sat u t 2 2 11 12 m sat u tsat u tsat utsat ut 饱和函数可以用下面的几何图形来表示 实际上它是一个有界的分段函 数 通过设计一个反馈控制可以使得系统达到稳定的状态 15 图 2 4 饱和函数示意图 我们把饱和函数表示如下 2 2 12 iii iiiii iii uuu sat uuuuu uuu 本学位论文在考虑到系统的饱和特性的时候 是通过在估计的不变的 吸引域中 通过设计一个反馈控制 得到系统的稳定的充分条件 定定义义 2 2 6 61 让表示矩阵的第列 一个对称多面体集定义如下 ij f i Kj 2 2 13 1 1 2 n iij Kx tRf x tim 矩阵是正定矩阵 对于 则椭球集 n n PR 0 2 2 14 nT i Px tRxt Px t 定定义义 2 2 7 61 对于点集 其凸包定义如下 12 n n x xxR Co 2 2 15 12 11 1 0 nn niiii ii Co x xxx 引引理理 2 3 61 为所有对角线上的元素为 1 或 0 的对角线矩阵的集合 Dm m 中有个元素 假设中的元素表示成 定义 D2mD q D1 2 m q qq DID 显然如果 那么 对于矩阵 如果有 q DD q DD m n ii K HR i x tH 则有 即下列式子成立 1 2 m iqiqi Sat K x tcoD KD Hx tq 2 2 16 2 1 m iqqiqi q Sat K x tD KD H x t 16 其中 iT 01q 2 1 1 m q q 2 3 基本理论和重要的不等式引理基本理论和重要的不等式引理 本文通过建立动态系统的数学模型 得到系统的稳定性条件的数学形式 在推到的过程中 一些必要的理论定理 不等式 及重要的引理都成为本学 位论文不可或缺的理论基础 下面就给出这些基本的理论 引引理理2 4 54 Lyapunov razumikhn稳稳定定性性定定理理 考虑如下的微分方程 ttxf dt tdx 2 3 1 初始值 设为一连续函数 为一增函数且 00 thttttx ttxV tP 为标量函数 如果满足 0 tP 0 ttthtttxVPxV 且 其中 标量 且有 2V x ttx 0 Ct t inflim2 则以上系统是 Lyapunov razumikhn稳定 引引理理 2 5 62 积分不等式 任意的常量矩阵 和实数 nn RM 0 T M M 0r 以及任意可微的向量函数 下列不等式成立 n Rr 0 2 3 2 000 T rrr T rs Ms dss dsMs ds 引引理理 2 6 63 Schur 补补引引理理 对给定的对称矩阵 其中 1112 22 T SS SS S 以下三个条件是等价的 rr RS 11 1 0 S 2 11 0 S 1 22121112 0 T SSSS 3 22 0 S 1 11122212 0 T SSSS 17 引引理理 2 7 63 为适当的维数的实矩阵 对任意的常量 下面 D E F t 0 不等式成立 2 3 3 1 0r t t 上的一个右连续的齐次 Markov 过程 其取值于有限维状态 0 t t FFP