2011年高考一轮数学复习 11-3相互独立事件同时发生的概率理 同步练习（名师解析）

第第 1111 章章 第第 3 3 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 相互独立事件同时发生的概率 1 某仪表内装有m个同样的电子元件 其中任一个电子元件损坏时 这个仪表就不能 工作 如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是P 则这段时间内这个仪表不能工 作的概率是 A Pm B 1 P m C 1 Pm D 1 1 P m 解析 有一个电子元件损坏则仪表就不能正常工作 所以这段时间内这个仪表不能工 作的概率是 1 1 P m 答案 D 2 某幼儿园举行讲故事 唱歌 跳舞 写字比赛 凡有一项优胜 则奖励一朵小红 花 李云水同学跳舞一定优胜 讲故事 写字有一半的把握优胜 唱歌有七成把握优 胜 则李云水能获得不少于三朵小红花的概率为 A 0 175 B 0 250 C 0 425 D 0 600 解析 若李云水同学得到 3 朵小红花则可以是跳舞 讲故事 写字或跳舞 讲故事 唱歌或跳舞 写字 唱歌 各自成功的概率分别为 1 1 1 1 2 1 2 3 10 1 2 1 2 7 10 1 2 1 2 7 10 若得四朵小红花 其概率为 1 1 2 1 2 7 10 故至少得 3 朵小红花的概率为 1 1 1 1 0 600 1 2 1 2 3 10 1 2 1 2 7 10 1 2 1 2 7 10 1 2 1 2 7 10 答案 D 3 2010 河南部分重点中学联考 某办公室有 5 位教师 只有 3 台电脑供他们使用 教师是否使用电脑是相互独立的 1 若上午某一时段甲 乙 丙三位教师需要使用电脑的概率分别是 求这一时 1 4 2 3 2 5 段甲 乙 丙三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率 2 若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是 求这一时段该办公室电脑无 1 3 法满足需求的概率 答案 1 甲 乙 丙教师使用电脑的事件分别记为A B C 因为各位教师是否使用 电脑是相互独立的 所以甲 乙 丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是 P P AB P A C P BC 1 1 1 CBA 1 4 2 3 2 5 1 4 2 3 2 5 1 4 2 3 2 5 1 3 2 电脑无法满足需求 即指有 4 位以上 包括 4 位 教师同时需要使用电脑 记有 4 位 教师同时需要使用电脑的事件为M 有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为N P M C 4 P N 5 4 5 1 3 2 3 1 3 所以 所求的概率是 P P M P N C 4 5 4 5 1 3 2 3 1 3 11 243 考点二 独立重复事件的概率 4 某一批花生种子 如果每 1 粒发芽的概率为 那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的 4 5 概率是 A B 16 625 96 625 C D 192 625 256 625 解析 由独立重复试验的概率公式得 P4 2 C 2 1 2 选 B 2 4 4 5 4 5 96 625 答案 B 5 某射手射击 1 次 击中目标的概率是 0 9 他连续射击 4 次 且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响 有下列结论 他第 3 次击中目标的概率是 0 9 他恰好击中 目标 3 次的概率是 0 93 0 1 他至少击中目标 1 次的概率是 1 0 14 其中正确结论的 序号是 写出所有正确结论的序号 解析 n次独立重复试验发生k次的概率为 CPk 1 P n k 正确 错误 应为 k n C 0 93 0 1 正确 3 4 答案 考点三 相互独立事件的概率综合应用 6 2008 年北京奥运会乒乓球男单决赛中 马琳在前两局分别以 11 9 11 9 的成绩 战胜王皓 已知马琳与王皓的水平相当 比赛实行 七局四胜 制 即先赢四局者胜 求 1 王皓获胜的概率 2 五局之内马琳获胜的概率 3 比赛打满七局的概率 解 1 在马琳先赢前两局的情况下 王皓取胜有两种情况 第一种是王皓连胜四局 第二种是在第三到第六局 王皓赢了三局 第七局王皓赢 在第一种情况下王皓取胜的概率为 4 1 2 1 16 在第二种情况下王皓取胜的概率为C 4 3 4 1 2 1 2 1 8 故在马琳先赢两局的情况下 王皓获胜的概率为 1 16 1 8 3 16 2 打完四局马琳获胜的概率为 1 2 1 2 1 4 打完五局马琳获胜的概率为C 2 1 2 1 2 1 2 1 4 因此 五局之内马琳获胜的概率为 1 4 1 4 1 2 3 比赛打满七局有两种结果 马琳胜或王皓胜 记 比赛打满七局 马琳胜 为事件A 则 P A C 4 1 4 1 2 1 2 1 8 记 比赛打满七局 王皓胜 为事件B 则 P B C 4 3 4 1 2 1 2 1 8 因为事件A B互斥 所以比赛打满七局的概率为 P A P B 1 4 7 某射手进行射击训练 假设每次射击击中目标的概率都是p p 且每次射击的 1 2 结果互不影响 已知他连续进行两次射击训练 恰有一次击中目标的概率是 4 9 1 求p的值 2 求该射手射击 5 次 恰有 3 次击中目标的概率 3 假设该射手连续两次射击未击中目标 则中止其射击 求该射手恰好射击 5 次后 被中止射击的概率 解 1 依题意得 C p 1 p 即p2 p 0 得p 或p 又P 因此 1 2 4 9 2 9 1 3 2 3 1 2 p 2 3 2 记 该射手射击 5 次 恰有 3 次击中目标 为事件A 则P A C 3 2 3 5 2 3 1 3 80 243 3 记 该射手恰好射击 5 次后 被中止射击 为事件C 由于该射手恰好射击 5 次后 被中止射击 所以必然是最后两次未击中目标 第三次击中目标 第一次与第二次中至少 有一次击中目标 则P C C 2 C 2 即该射手恰好射击 5 2 2 2 31 2 2 3 1 3 2 3 1 3 16 243 次后 被中止射击的概率是 16 243 8 2010 海淀模拟 某城市有 30 的家庭订阅了A报 有 60 的家庭订阅了B报 有 20 的家庭同时订阅了A报和B报 从该城市中任取 4 个家庭 1 求这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了A报的概率 2 求这 4 个家庭中至多有 3 个家庭订阅了B报的概率 3 求这 4 个家庭中恰好有 2 个家庭A B报都没有订阅的概率 解 1 设 这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了A报 的事件为A P A C 0 3 3 4 3 0 7 0 0756 2 设 这 4 个家庭中至多有 3 个家庭订阅了B报 的事件为B P B 1 0 6 4 1 0 1296 0 8704 3 设 这 4 个家庭中恰好有 2 个家庭A B报都没有订阅 的事件为C 因为有 30 的家庭订阅了A报 有 60 的家庭订阅了B报 有 20 的家庭同时订阅了A 报和B报 所以两份报纸都没有订阅的家庭有 30 所以P C C 0 3 2 0 7 2 0 2646 2 4 1 2009 江西 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片 每袋食 品随机装入一张卡片 集齐 3 种卡片可获奖 现购买该食品 5 袋 能获奖的概率为 A B 31 81 33 81 C D 48 81 50 81 解析 本题考查的是古典概型 其中n 35 不能获奖的取法有C 25 1 种 故获奖 2 3 概率P 1 故选 D C2 3 25 1 35 50 81 答案 D 2 2009 北京 某学生上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互 独立的 遇到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2 min 1 3 1 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 2 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 解 1 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A 因为事件A等 价于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以 事件A的概率为 P A 1 1 1 3 1 3 1 3 4 27 2 由题意可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事 件 该学生在上学路上遇到k次红灯 k 0 1 2 3 4 所以P 2k C k k4 1 3 2 3 4 k k 0 1 2 3 4 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 所以 的期望是 E 0 2 4 6 8 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 8 3 3 2009 辽宁 某人向一目标射击 4 次 每次击中目标的概率为 该目标分为 3 个 1 3 不同的部分 第一 二 三部分面积之比为 1 3 6 击中目标时 击中任何一部分的概 率与其面积成正比 1 设X表示目标被击中的次数 求X的分布列 2 若目标被击中 2 次 A表示事件 第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 求P A 解 1 依题意知X B 4 1 3 即X的分布列为 X01234 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 2 设Ai表示事件 第一次击中目标时 击中第i部分 i 1 2 Bi表示事件 第二次击中目标时 击中第i部分 i 1 2 依题意知P A1 P B1 0 1 P A2 P B2 0 3 A A1 B1 A1B1 A2B2 B1A1 所求的概率为 P A P A1 P B1 P A1B1 P A2B2 B1A1 P A1 P P P B1 P A1 P B1 B1A1 P A2 P B2 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 1 0 3 0 3 0 28 若将 x a x b 逐项展开得x2 ax