数据包络分析法在管理决策运用中的实际案例分析

决策理论与方法课程报告 数据包络分析法在管理决策运用中的实际案例分析 目 录 第一章第一章 数据包络分析简介数据包络分析简介 1 第二章第二章 数据包络分析法模型数据包络分析法模型 1 2 1 基础知识 1 2 2 C2R模型 2 2 3 模型求解方法 4 第三章第三章 数据包络分析法案例数据包络分析法案例 6 3 1 工程建设项目评标方法 6 3 2 环保项目评价 7 3 3 科研评价 8 第四章第四章 总结总结 11 4 1 DEA方法的优点 11 4 2 DEA方法的缺陷 12 参考文献参考文献 12 第一章 数据包络分析简介 数据包络分析 Data Envelopment Analysis 简称DEA 是由美国著名运筹学家A Charnes等人于1978年首先提 出的 是使用数学规划模型评价具有多个输入 多个输出的 部门 或 单位 称为决策单元 简记DMU 间的相对有效性 称为DEA有效 的一种非参数的统计 估计方法 数学 经济学和管理科学是这一学科形成的柱石 优化是其研究的 主要方法 而DEA的广泛应用是它能得以迅速发展的动力 数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织 或项目 工作 绩效相对有效性的特殊工具方法 常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相 对效率 这类组织例如学校 医院 银行的分支机构 超市的各个营业部等 各自具有相同 或相近 的投入和相同的产出 衡量这类组织之间的绩效高低 通常采用投入产出比这个指标 当各自的投入产出均可折算成同一单位计量 时 容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序 但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出 且不能折算成统一单位时 就无法算出投入产出比的数值 如运营单位有多种投入要素 员工规模 工资数 目 运作时间和广告投入 同时也有多种产出要素 利润 市场份额和成长率 在这些情况下 很难让管理者知道 当输入量转换为输出量时 哪个运营单 位效率高 哪个单位效率低 DEA方法在处理多输入 特别是多输出问题能力上具有绝对优势 第二章 数据包络分析法模型 2 1 基础知识 1 决策单元 DMU 我们把具有相同类型的部门 企业或者同一企业不 同时期的相对效率进行评价 这些部门 企业或时期称为 评价的依据是决策 单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据 2 投入指标 指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量 例如 固定资产原值 流动资金平均余额 自筹技术开发资金 职工人数 占用土地 等 3 产出指标 指决策单元在某种投入要素组合下 表明经济活动产生成 效的经济量 例如总产值 销售收入 利税总额 产品数量 劳动生产率 产 值利润率等 4 指标数据 指实际观测结果 根据投入指标数据和产出指标数据评价 决策单元的相对效率 即评价部门 企业或时期之间的相对有效性 2 2 C2R模型 设有n个部门 企业 称为n个决策单元 每个决策单元都有p种投入和q种 产出 分别用不同的经济指标表示 这样 由n个决策单元构成的多指标投入和 多指标产出的评价系统 可以做如下表示 设 n个决策单元 j 1 2 3 n 每个决策单元有相同的p项投入 输入 i 1 2 p 每个决策单元有相同的 q项产出 输出 r 1 2 q xij 第j决策单元的第i项投入 yij 第j决策单元的第r项产出 1 111 11 1 1 2 q jjk kqqkj kp kppk ijk i uy u yuy hkn v xvx v x A A A A A A 即 效率指标hk等于产出加权之和除以投入加权之和 表示第k个决策单元 多指标投入和多指标产出所取得的经济效率 可以适当地选择权系数u v 使 得 hk1 建立评价第k0个决策单元相对有效性的C2R模型 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为 000000 012012 TT kkpkkkpk XxxxYyyy 效率指标 在效率评价指标 00k hh 1 1 2 k hkn 的约束条件下 选择一组最优权系数 U和V 使得h0达到最大值 构造优化模型 分式规划 2 0 00 00 0 111 0 11 1 1 2 q jjk kqqkj p kppk ijk i uy u yuy Maxhkn v xvx v x A A A A A A 111 11 1 1 1 2 0 1 2 1 2 q jjk jkqqk p kppk ijk i ji uy u yuy kn stv xvx v x u vjq ip A A A A A A 上述模型中xik yjk为已知数 可由历史资料或预测数据得到 vi uj为变量 模 型的含义是以权系数vi uj为变量 以h0所有决策单元的效率指标为约束 以第k0 个决策单元的效率指数为目标 即评价第k0个决策单元的生产效率是否有效 是相对于其他所有决策单元而言的 记 则有矩阵形式 P 1212 TT kkkpkkkkpk XxxxYyyy 3 0 0 0 T T UY Maxh VX 1 1 2 0 T k T k UY kn stVX U V 作Charnes Cooper变换 转化为一个等价的线性规划模型 0 1 T tt Vt U VX 故将模型转化为 0 0 max 0 1 2 1 0 0 T jo TT jj T hy st w xyjn stw x w 其对偶问题为 无约束 0 p 2 1r m 2 1i t s min j n 1j 0rrj j n 1j 0iijj D yy xx v 写成向量形式 0 1 0 1 0 0 0 n jj j n j j j j Max st xsx yy s ss 无约束 2 3 模型求解方法 在评价决策单元是否为DEA有效时 如果利用原线性规划问题 0 0 0 max 0 11 2 0 0 T j TT jj T hY YX stXjn 需要判断是否存在最优解 满足 00 0 000 0 0 0 1 j hY 利用对偶线性规划 0 1 0 1 min 0 0 n jj j n jj j j XSX stYSY SS 需要判断它的所有最优解都满足 000 0 0 1SS 无论是对于线性规划还是对于对偶规划 这都是不容易做到的 因此Charn es 和Cooper引入了非阿基米德无穷小的概念 利用线性规划方法求解 去判断决 策单元的DEA有效性 Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量 从而可以利用单纯形方法求 解线性规划问题 来判定决策单元的DEA有效性 成功解决了计算和技术上的 困难 建立了具有非阿基米德无穷小量 的C2R模型 令 是非阿基米德无穷小量 它是一个小于任何正数 且大于零的数 11 0 1 0 1 min 0 0 0 mr d jj n jj j n jj j j ssv st xsx ysy ss 最优解为 000 0 SS 0N0N aa 注 对于及 都有 则即为非阿基米德无穷小量 设模型 D 的最优解为 0 s0 s0 0 分三种情况进一步讨论 0 1 且 s0 0 s0 0 决策单元k0为DEA有效 其经济意义是 决策单元k0的生产活动 X0 Y0 同时为技术有效和规模有效 所谓技术有效 是指对于生产活动 X0 Y0 从技术角度来看 资源获得了充分 利用 投入要素达到最佳组合 取得了最大的产出效果 效率评价指标 h0 Vp VD 0 1 0 1 但至少有某个 si0 0 或者至少有某个 sj0 0 决策单元k0为弱DEA有效 其经济意义是 决策单元 k0 不是同时技术有效和规模收益有效 若某个si0 0 表示第 i 种投入指标有 si0 没有充分利用 若某个sj0 0 表示第 j 种产出指标与最大产出值尚有 sj0 的不足 0 1 决策单元k0不是DEA有效 其经济意义是 决策单元 k0 的生产活动 X0 Y0 既不是技术效率最佳 也不是规模收益最佳 第三章 数据包络分析法案例 3 1 工程建设项目评标方法 1 假定一待建工程项目 对应的技术 经济综合指标设为X1 X2 Xm Y1 Y2 Ys 其中Xi 表示负向指标 Yr 表示正向指标 有n个投标商 用xij表示第j 个承包商的第i 个负向指标值 yrj表示第j 个承包商的第r个正向指标值 i 1 2 m r 1 2 s j 1 2 n 以负向指标做为输入指标 正向指标做为输出指标 现有6个承包商进行投标 其各项指标如下 表3 1 承包商各项指标 承包商年生产 能力 投标能 力 履约保 险系数 净资产 负债率 收益利 息率 资产利 润率 可获信 贷 万 元 运营资 本收益 率 11 83 22 543 75 294 38100069087 21 62 82 138 34 589 2880067026 32 86 15 1120 53 054 04200039054 42 55 44 0140 72 551 23150030 21 51 32 21 8225 62 029 5960023 31 61 41 91 5214 31 914 3550018 95 各指标中 净资产负债率和收益利息率为负向指标 其余为正向指标 DEA 评价结论与指标量纲无关 不必对上述各指标进行无量纲化处理 现以净资产负债率X1 收益利息率X2 为输入指标 以年生产能力Y1 投标能力Y2 履约保险系数Y3 资产利润率Y4 可获信贷Y5 运营资本收益率Y6 为输出指标 利用工程建设项目评标模型 由MATLAB6 1 软件中的线性规划程序可分别计算出6 个承包商的效率值和优先序 结果于表3 2 表3 2 各承包商模型效率值 承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6 模型效率 值 1 001 001 001 000 85200 7749 排序111123 发现求得的承包商1 2 3 4效率值均为1 无法进行排序 故引入一个虚 拟决策单元 替代评价决策单元 令 11 112112 xmin max 1 2 1 2 3 iijrrj j nj n TT nmns xyyim rs Xx xxYy yy 称Xn 1和Yn 1为输入 输出的决策单元 并且作为这n个承包商决策 单元的虚拟决策单元 使原来的各个决策单元相对这个决策单元变得非有效 这样就达到了进一步比较各决策单元差异程度的目的 把虚拟决策单元并入到 实际的n个决策单元中 就可得到基于虚拟决策单元的工程建设项目评标的DEA 模型 00 0 1 0 11 1 max 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 s jrrj r ms iijrrj ir m iij i ir hu y w xu yjnjj stw x wuim rs 可以验证这一模型 P 的相关DEA理论都是成立的 2 于是利用该模型 进行计算得到下表 表3 3 P 模型下各承包商效率计算 承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6 P 模型效 率值 0 87640 96260 63330 67860 44110 5000 排序214365 得到各承包商的优劣顺序依次为 2 1 4 3 6 5 故应当优先选择承包商2 3 2 环保项目评价 3 现有10个环境保护项目 燃烧固体废弃物发电的项目 需要对其进行有效性的评价 各项目的设备 工 艺水平相当 其他项目指标如下表 表3 4 环保项目指标 项目煤炭资金供燃烧的废 物 输出电能飞灰 项目187 2719040 435432 6113257 662651 75 项目254 9611232 174789 7212378 541845 02 项目385 5018499 924935 7013108 852563 64 项目496 9318053 169170 0816067 432432 37 项目597 4218074 188831 5416249 792752 78 项目665 129687 736811 1215472 151737 60 项目769 0911584 398669 4415763 831986 96 项目868 8612314 164568 9210492 732081 35 项目976 6510432 539347 3816532 112112 51 项目1073 2114416 357392 4311230 652347 46 于是将输入选定为煤炭 x1 资金 x2 供燃烧的废物 x3 输出选 定为输出电能 y1 飞灰 y2 将每一个项目当做一个决策单元 运用C2R 模型计算出不同环保项目有效性数值 如下表 表3 5 各项目相对效率值 项 目 项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8项目9项目1 0 相 对 效 0 70481 00000 70460 77500 75731 00001 00000 85981 00000 8908 率 值 从上表中 可以发现项目2 6 7 9有效性均为1 说明这些项目是相对有 效率的 而项目1 3 4 5 8 10有效性均小于1 说明是非DEA有效的 需 要改进或者加强控制 3 3 科研评价 4 四家体育科研所在三年期间有不同的资源投入 平均值 和不同的产出 省部级课题 发表专著 期刊文章和培养研究生人数 见下表3 6 表3 6 四家体科所的投入和产出表 项目国家体科所北京体科所湖北体科所北京体育大学体科 所 投入资金 万元 28 5216 2327 5721 04 高学历 人 12 3812 834 8515 41 投入 高职称 人 10 676 4210 4110 40 课题 篇 4 813 463 673 32 专著 部 4 312 714 595 65 期刊文章 篇 25 3014 8017 5016 0 产出 培养学生 人 4 102 702 308 40 模型变量 A B C D 分别为各科研所的权重 E 为待定的比例系数 求Min E 约束条件之一 产出约束 组合体科所产出 待评价体科所的产出 4 81A 3 46B 3 67C 3 32D 3 46 4 31A 2 71B 4 59C 5 65D 2 71 25 3A 14 8B 17 5C 16 0D 14 8 4 1A 2 7B 2 3C 8 4D 2 7 约束条件之二 投入约束 组合体科所投入 待评价体科所的投入 待定比例系数 28 52A 16 23B 27 57C 21 04D 16 23E 12 38A 12 87B 34 85C 15 41D 12 87E 10 67A 6 42B 10 41C 10 4D 6 42E 约束条件之三 权重之和为1 A B C D 1 A B C D E 0 通过计算得出结果如下表3 7 表3 8 表3 7 北京体科所计算结果 投入国家北京湖北北体大组合Suplus 资金28 555216 2327 5721 040 000 00 高学历12 3812 8734 8515 410 000 00 高职称10 676 4210 4110 400 000 00 产出 课题4 813 463 63 323 460 00 专著4 312 714 595 652 710 00 期刊文章25 3014 8017 5016 014 80 培养学生4 102 702 308 402 70 权重0 001 000 000 001 目标函数1 表3 8 湖北体科所计算结果 投入国家北京湖北北体大组合Suplus 资金28 555216 2327 5721 040 003 58 高学历12 3812 8734 8515 410 0017 44 高职称10 676 4210 4110 400 000 00 产出 课题4 813 463 63 323 460 00 专著4 312 714 595 652 710 00 期刊文章25 3014 8017 5016 014 800 16 培养学生4 102 702 308 402 703 70 权重0 2120 2600 000 5271 目标函数0 90524 从表3 7中可看出目标函数值为1 表明北京体科所位于有效边界上 其用 适量资源投入 获得较高的产出 工作效率是相对有效的 从表3 8可看出 目标函数小于1 表明湖北体科所不在有效边界上 是相对非有效的 计算结果解释为 组合体科所由21 2 国家体科所 26 北京体科所及北京体育大学体科所52 7 构成 用了少于90 524 的资源获得不少于湖北体科所的产出 组合体科所少使用资金 3 58 万元 高学历17 44 人 多产出期刊文章0 16 人 培养学生3 70人 第四章 总结 4 1 DEA方法的优点 DEA的优点吸引了众多的应用者 应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行 基地维修与保养 以及陆军征兵 城市 银行等方面 目前 这一方法应用 的领域正在不断地扩大 它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性 例如 投资项目评价 研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何 例如建立新厂后 新厂相对于已有的一些工厂是否为有效 DEA模型甚至可 以用来进行政策评价 自从数据包络法提出至今 其应用范围日渐广泛 例如它被广泛应用于学 校 医院 铁路 银行等公共服务部门的运行效率的评估实证研究 DEA作一 种新的效率评估方法 与以前的传统方法相比有很多优点 首先 DEA方法可 以用于对具有多投入 多产出的多个决策单元的生产 或经营 绩效性进行评价 而且应用时可以避免像传统方法那样因为各指标量纲的不同而寻求权重因素 所带来的诸多困难 其评价结果相对而言比较客观 其次 DEA模型中投入 产出指标的权重可以建立数学规划模型 然后根据实际的数据而产生 而不是 事先给定投入与产出的权重权重系数 因此它不受人为主观因素的影响 可避 免在权重的分配时评价者的主观意愿对评价结果的造成人为的影响 另外 数据包络法是一种典型的非参数估计方法 应用该方法评价时无须 设定评价函数的具体形式 投入产出采用隐函数的形式表示 不同决策单元的 评价函数其参数可以变动 针对各个决策单元都将通过数学规划模型的手段给 出最优的投入产出函数 从而利用计算简化 数据包络法评价的是决策单元的 相对有效性 其生产前沿面可以看成是最优决策单元的投入与产出所组成的一 个包络面 如果对应被评价的决策单元在该生产前面上 则称之为DEA有效 否则 称之为非DEA有效 以决策单元 DMU 各输入输出的权重向量为变量 从最有利于决策的角度