2011年高考数学一轮复习必备 复数-复数的有关概念

用心 爱心 专心1 第第 104 106104 106 课时 第十四章课时 第十四章 复数复数 复数的有关概念复数的有关概念 法及复数的运算法则 复数与实数的区别和联系 三 教学过程 三 教学过程 一 主要知识 一 主要知识 1 数的概念的发展 复数的有关概念 实数 虚数 纯虚数 复数相等 共轭复数 模 2 复数的代数表示与向量表示 3 复数的加法与减法 复数的乘法与除法 复数的三角形式 复数三角形式的乘法与乘方 复数三 角形式的除法与开方 4 复数集中解实系数方程 包括一元二次方程 二项方程 复数在过去几年里是代数的重要内容之一 涉及的知识面广 对能力要求较高 是高考热点之一 但随着新教材对复数知识的淡化 高考试题比例下降 因此考生要把握好复习的尺度 从近几年的高考试题上看 复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型 基础知识部分重 点是复数的有关概念 复数的代数形式 三角形式 两复数相等的充要条件及其应用 复平面内复数的 几何表示及复向量的运算 主要考点为复数的模与辐角主值 共轭复数的概念和应用 若只涉及到一 二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题 若涉及几个知识点的试题 往往是中 高档题目 解答 此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换 对有些题目 往往用数形结合可获得简捷的解法 有 关复数 n 次乘方 求辐角 主值 等问题 涉及到复数的三角形式 首先要将所给复数转化为三角形式 后再进行变换 复数的运算是高考中复数部分的热点问题 主要考查复数的代数和三角形式的运算 复数模及辐角 主值的求解及复向量运算等问题 基于上述情况 我们在学习 复数 一章内容时 要注意以下几点 1 复数的概念几乎都是解题的手段 因此在学习复数时要在深入理解 熟练掌握复数概念上下功 夫 除去复数相等 模 辐角 共轭等外 还要注意一些重要而常不引起重视的概念 如 若有 3 1 z z 4 就是说 1 zR z 而且很快联系到 11 1zzz zz 或zR 又 1z 是不可能的 zR 复数的三角形式和代数式 提供了将 复数问题实数化 的手段 复数的几何意义也是解题的一个重要手段 2 对于涉及知识点多 与方程 三角 解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型 以及复 数本身的综合题 一直成为学生的难点 应掌握规律及典型题型的技巧解法 并加以强化训练以突破此 难点 3 重视以下知识盲点 不能正确理解复数的几何意义 常常搞错向量旋转的方向 忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数 盲目地将实数范围内数与形的一些结论 不加怀疑地引用到复数范围中来 容易混淆复数的有关概念 如纯虚数与虚数的区别问题 实轴与虚轴的交集问题 复数辐角主值 的范围问题等 二 知识点详析 二 知识点详析 1 知识体系表解 用心 爱心 专心2 2 复数的有关概念和性质 1 i 称为虚数单位 规定 2 1i 形如 a bi 的数称为复数 其中 a b R 2 复数的分类 下面的 a b 均为实数 3 复数的相等设复数 1112221122 zabizab i a b a bR 那么 12 zz 的充要条件是 1122 abab 且 4 复数的几何表示复数 z a bi a b R 可用平面直角坐标系内点 Z a b 来表示 这时称此平 面为复平面 x 轴称为实轴 y 轴除去原点称为虚轴 这样 全体复数集 C 与复平面上全体点集是一一对 应的 用心 爱心 专心3 复数 z a bi a bR 在复平面内还可以用以原点 O 为起点 以点 Z a b 向量所成的集合也是一一对应的 例外的是复数 0 对应点 O 看成零向量 7 复数与实数不同处 任意两个实数可以比较大小 而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小 实数对于四则运算是通行无阻的 但不是任何实数都可以开偶次方 而复数对四则运算和开方均 通行无阻 3 有关计算 n i nN 怎样计算 先求 n 被 4 除所得的余数 rrk ii 4 kNrN ii 2 3 2 1 2 3 2 1 21 是 1 的两个虚立方根 并且 1 3 2 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 21 12 1 21 3复数集内的三角形不等式是 212121 zzzzzz 其中左边在复数 z1 z2对应的向量 共线且反向 同向 时取等号 右边在复数 z1 z2对应的向量共线且同向 反向 时取等号 4棣莫佛定理是 sin cos sin cosZnninrir n n 5若非零复数 sin cos irz 则 z 的 n 次方根有 n 个 即 1210 2 sin 2 cos nk n k i n k rz n k 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系 都位于圆心在原点 半径为都位于圆心在原点 半径为 n r的圆上 并且把这个圆的圆上 并且把这个圆 n n 等分 等分 6若 121 3 sin 3 cos32zizz 复数 z1 z2对应的点分别是 A B 则 AOB O 为坐标原点 的面积是33 3 sin62 2 1 7zz 2 z 8复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹 arg为实常数 z轨迹为一条射线 用心 爱心 专心4 是实常数 是复常数 00 arg zzz轨迹为一条射线 是正的常数 rrzz 0 轨迹是一个圆 2121 是复常数 zzzzzz轨迹是一条直线 是正的常数 是复常数 azzazzzz 2121 2轨迹有三种可能情形 a 当 21 2zza 时 轨迹为椭圆 b 当 21 2zza 时 轨迹为一条线段 c 当 21 2zza 时 轨迹不 存在 2 21 是正的常数aazzzz轨迹有三种可能情形 a 当 21 2zza 时 轨迹为双曲线 b 当 21 2zza 时 轨迹为两条射线 c 当 21 2zza 时 轨迹不存在 4 学习目标 1 联系实数的性质与运算等内容 加强对复数概念的认识 2 理顺复数的三种表示形式及相互转换 z r cos isin Z a b z a bi OZ 3 正确区分复数的有关概念 4 掌握复数几何意义 注意复数与三角 解几等内容的综合 5 正确掌握复数的运算 复数代数形式的加 减 乘 除 三角形式的乘 除 乘方 开方及几何 意义 虚数单位i及 1 的立方虚根 的性质 模及共轭复数的性质 6 掌握化归思想 将复数问题实数化 三角化 几何化 7 掌握方程思想 利用复数及其相等的有关充要条件 建立相应的方程 转化复数问题 三 例题分析 三 例题分析 2004 2004 年高考数学题选年高考数学题选 1 2004 年四川卷理 3 设复数 2 1 2 3 i 则 1 A B 2 C 1 D 2 1 2 2004 重庆卷 2 设复数zziz2 21 2 则 则 2 2ZZ A 3 B 3 C 3i D 3i 3 2004 高考数学试题广东 B 卷 14 已知复数 z 与 z 2 2 8i 均是纯虚数 则 z 范例分析范例分析 实数 虚数 纯虚数 复数集 纯虚数集 虚虚 数数 集集 实数集 用心 爱心 专心5 复数 z 是实数的充要条件是 当 m 2 时复数 z 为实数 复数 z 是虚数的充要条件 当 m 3 且 m 2 时复数 z 为虚数 复数 z 是纯虚数的充要条件是 当 m 1 时复数 z 为纯虚数 说明 要注意复数 z 实部的定义域是 m 3 它是考虑复数 z 是实数 虚数纯虚数的必要条件 要特别注意复数 z a bi a b R 为纯虚数的充要条件是 a 0 且 b 0 2 22 21441zzzz 所以 5 4 z 代入 得 3 4 zi 故选B 解法 3 选择支中的复数的模均为 2 3 1 4 又0z 而方程右边为 2 i 它的实部 虚部均为 正数 因此复数 z 的实部 虚部也必须为正 故选择 B 说明 解法 1 利用复数相等的条件 解法 2 利用复数模的性质 解法 3 考虑选择题的特点 求 z 分析 确定一个复数要且仅要两个实数 a b 而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出 a b 确定 z 运算简化 解 设 z x yi x y R 用心 爱心 专心6 将 z x yi 代入 z 4 z 4i 可得 x y z x xi 2 当 z 1 2 13 时 即有 x 2 x 6 0 则有 x 3 或 x 2 综上所述故 z 0 或 z 3 3i 或 z 2 2i 说明 注意熟练地运用共轭复数的性质 其性质有 3 1 2i 3 2 i 1000 999 i 说明 计算时要注意提取公因式 要注意利用 i 的幂的周期性 要记住常用的数据 2 1 2ii 1 1 i i i 1 1 i i i 2 原式 156 124 4 1313 2 2 2222 1 2 1 1 2 ii iii 153 563 2 62 4 1313 2 2 2222 1 2 2 2 2 ii iii 156510 55 222 22 1026 22 i ii 用心 爱心 专心7 3 解法 1 原式 1 2i 3 4i 5 6i 7 8i 997 998i 999 1000i 250 2 2i 500 500i 解法 2 设 S 1 2i 3 2 i 1000 999 i 则 iS i 2 2 i 3 3 i 999 999 i 1000 1000 i 1 i S 1 i 2 i 999 i 1000 1000 i 说明 充分利用 i 的幂的周期性进行组合 注意利用等比数列求和的方法 例 5 1 若 34 4 3 34 1 ii z i 求 z 2 已知 121 1zzCz 求 12 12 1 zz zz 的值 解 1 3 4 34 4 4 4 334 25 2 51250 2 1 ii z i 例例 6 6 已知三边都不相等的三角形 ABC 的三内角 A B C 满足 用心 爱心 专心8 2 0 sincos sincossinsincossin 1 且设复数izCCABBA arg sin cos2 212 zzAiAz求 的值 解解 BCCBACCABBAsinsin cos cossinsincossinsincossin 得 2 cos 2 sin2 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin4 CBCBCBCBAA 3 分 0 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 222 CBACBACBACB 又 0 2 sin 0 2 sin CBA 上式化简为 22 1 2 cos2 A A 6 分 2 sin 2 cos 2 21 izz 9 分 2 3 arg 2 0 21z z时当 当 2 arg 2 21 zz时 12 分 例例 7 7 设z1 1 cos isin z2 a2 ai a R R 若z1z2 0 z1z2 0 问在 0 2 内是否 z1z2 存在 使 z1 z2 2为实数 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 分析分析 这是一道探索性问题 可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件 直接 进行解答 解解 假设满足条件的 存在 因z1z2 0 z1z2 0 故z1z2为纯虚数 z1z2 又z1z2 1 cos isin a2 ai a2 1 cos asin a 1 cos a2sin i 于是 a2 1 cos asin 0 a 1 cos a2sin 0 由 知a 0 因 0 2 故 cos 1 于是 由 得a sin 1 cos 另一方面 因 z1 z2 2 R R 故z1 z2为实数或为纯虚数 又z1 z2 1 cos a2 sin a i 于是 sin a 0 或 1 cos a2 0 若 sin a 0 则由方程组 得 sin 故 cos 0 于是 或 sin 1 cos 2 3 2 若 1 cos a2 0 则由方程组 得 2 1 cos sin 1 cos 由于 sin2 1 cos2 1 cos 1 cos 故 1 cos 1 cos 2 解得 cos 0 从而 或 2 3 2 综上所知 在 0 2 内 存在 或 使 z1 z2 2为实数 2 3 2 说明说明 解题技巧 解题中充分使用了复数的性质 z 0 z 0 z 纯虚数 z 用心 爱心 专心9 以及z2 R R z R R 或z 纯虚数 注注 Re z Im z 分别表示复数z的实部与虚部 Re z 0 Im z 0 解题规律 对于 是否型存在题型 一般处理方法是首先假设结论成立 再进行正确的推理 若 无矛盾 则结论成立 否则结论不成立 例例 8 8 设a为实数 在复数集C中解方程 z2 2 z a 分析分析 由于z2 a 2 z 为实数 故z为纯虚数或实数 因而需分情况进行讨论 解解 设 z r 若a 0 则z2 a 2 z 0 于是z为纯虚数 从而r2 2r a 解得 r r 0 不合 舍去 故 z i 1 1 a1 1 a1 1 a 若a 0 对r作如下讨论 1 若r a 则z2 a 2 z 0 于是z为实数 1 2 解方程r2 a 2r 得r r 0 不合 舍去 1 1 a 1 1 a 故 z 1 1 a 2 若r a 则z2 a 2 z 0 于是z为纯虚数 1 2 解方程r2 2r a 得r 或r a 1 1 1 a1 1 a 故 z i a 1 1 1 a 综上所述 原方程的解的情况如下 当a 0 时 解为 z i 1 1 a 当 0 a 1 时 解为 z z i 1 1 a1 1 a 当a 1 时 解为 z 1 1 a 说明 解题技巧 本题还可以令 z x yi x y R 代入原方程后 由复数相等的条件将复数方程化 归为关于 x y 的实系数的二元方程组来求解 例例 9 9 2004 年上海市普通高校春季高考数学试卷 18 已知实数p满足不等式0 2 12 x x 试判断方程052 22 pzz有无实根 并给出证明 解解 由0 2 12 x x 解得 2 1 2 x 2 1 2 p 方程052 22 pzz的判别式 4 4 2 p 2 1 2 p 4 2 4 1 p 0 由此得方程052 22 pzz无实根 例例 1010 给定实数a b c 已知复数z1 z2 z3满足 求 az1 bz2 cz3 的值 z1 z2 z3 1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 2 分析分析 注意到条件 1 不难想到用复数的三角形式 注意到条件 2 可联想使用复数为实数的充要 条件进行求解 解解 解法一解法一由 1 可设 cos isin cos isin z1 z2 z3 z1 z2 z2 z3 则 cos isin 因 1 其虚部为 0 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 故 0 sin sin sin 2sincos 2sincos 2 2 2 2 2sin cos cos 4sinsinsin 2 2 2 2 2 2 用心 爱心 专心10 故 2k 或 2k 或 2k k Z Z 因而z1 z2或z2 z3或z3 z1 若z1 z2 代入 2 得 i 此时 z3 z1 az1 bz2 cz3 z1 a b ci a b 2 c2 类似地 如果z2 z3 则 az1 bz2 cz3 b c 2 a2 如果z3 z1 则 az1 bz2 cz3 a c 2 b2 解法二解法二由 2 知 R 故 即 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z2 z3 z3 z1 1 3 3 2 2 1 z z z z z z z1 z2 z2 z3 z3 z1 由 1 得 k 1 2 3 代入上式 得 zk 1 zk z1 z2 z2 z3 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z1 z3 即z12z3 z22z1 z32z2 z22z3 z32z1 z12z2 分解因式 得 z1 z2 z2 z3 z3 z1 0 于是z1 z2或z2 z3或z3 z1 下同解法一 说明说明 解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件 z R R z 以及视 等为整体 从而 z z1 z2 z2 z3 简化了运算 解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔 而不注意充分观察题目的已知条件 结论特征等 从而使问题的求解或是变得异常的复杂 或干脆就无法解出最终的结果 四 巩固练习 四 巩固练习 设复数z 3cos 2isin 求函数y argz 0 的最大值以及对应角 的值 2 分析分析 先将问题实数化 将y表示成 的目标函数 后利用代数法 函数的单调性 基本不等式 等 以及数形结合法进行求解 解法一 解法一 由 0 得 tan 0 从而 0 argz 2 2 由z 3cos 2isin 得 tan argz tan 0 2sin 3cos 2 3 于是tany tan argz tan tan argz 1 tan tan argz 1 3tan 1 2 3tan2 1 3 tan 2tan 1 2 3 tan 2tan 6 12 当且仅当 即 tan 时 取 3 tan 2tan 6 2 又因为正切函数在锐角的范围内为增函数 故当 arctan时 y取最大值为 arctan 6 2 6 12 解法二 解法二 因 0 故 cos 0 sin 0 0 argz 且 2 2 用心 爱心 专心11 9图 x argz y o Z1 Z2 Z cos argz sin argz 3cos 9cos2 4sin2 2sin 9cos2 4sin2 显然y 且 siny为增函数 2 2 siny sin argz sin cos argz cos sin argz sin cos 9cos2 4sin2 1 9csc2 4sec2 1 9 9cot2 4 4tan2 1 13 29cot2 4tan2 1 5 当且仅当 即 tan 取 此时ymax arctan 9cot2 4tan2 6 2 6 12 解法三 解法三 设Z1 2 cos isin Z2 cos 则Z Z1 Z2 而Z1 Z2 Z的辐角主值分别为 0 argz 如图所示 必有y ZOZ1 且 0 y 2 在 ZOZ1中 由余弦定理得 cosy OZ1 2 OZ 2 Z1Z 2 2 OZ1 OZ 4 4 5cos2 cos2 2 24 5cos2 4 5cos2 5 6 54 5cos2 26 5 当且仅当 4 5cos2 6 即 cos 时 取 10 5 又因为余弦函数在 0 为减函数 故当 arccos时 ymax arccos 2 10 5 26 5 说明说明 解题关键点 将复数问题通过化归转化为实数问题 使问题能在我们非常熟悉的情景中 求解 解题规律 多角度思考 全方位探索 不仅使我们获得了许多优秀解法 而且还使我们对问题 的本质认识更清楚 进而更有利于我们深化对复数概念的理解 灵活驾驭求解复数问题的能力 解题 易错点 因为解法的多样性 反三角函数表示角的不唯一性 因而最后的表述结果均不一样 不要认为 是错误的 四 课后作业 四 课后作业 1 下列说法正确的是 A 0i 是纯虚数 B 原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C 实数的共轭复数一定是实数 虚数的共轭复数一定是虚数 D 2 i是虚数 2 下列命题中 假命题是 A 两个复数不可以比较大小 B 两个实数可以比较大小 C 两个虚数不可以比较大小 D 一虚数和一实数不可以比较大小 3 已知对于 x 的方程 2 x 1 2i x 3m i 0 有实根 则实数 m 满足 用心 爱心 专心12 4 复数 1 i 2 i 10 i等于 A i B i C 2i D 2i 5 已知常数 0 101100 zzzzzCz 满足复数且 又复数 z 满足1 1 zz 求复平面内 z 对应 的点的轨迹 6 设复数62zi 记 3 4 u z 1 求复数u的三角形式 2 如果2 ab zu zu 求实数a b的值 7 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 理 17 已知复数z的辐角为 60 且 1 z是 z和 2 z的等比中项