2011年高考一轮数学复习 8-1椭圆 理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 第第 8 8 章章 第第 1 1 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 椭圆定义的应用 1 设椭圆 1 上一点 P 到左准线的距离为 10 F 是该椭圆的左焦点 若点 M x2 25 y2 16 满足 则 OM 1 2 OP OF OM 解析 设右焦点为 F 则 PF 10 6 3 5 PF 10 6 4 OM PF 2 1 2 答案 2 2 椭圆 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 在椭圆上 如果线段 PF1的中点 x2 12 y2 3 在 y 轴上 则 PF1 是 PF2 的 A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 解析 a2 12 b2 3 c2 9 c 3 即 F1 3 0 F2 3 0 由 PF1的中点在 y 轴上 知点 P 的横坐标为 3 将 x 3 代入椭圆方程求得 y 3 2 PF2 由椭圆定义 知 PF1 PF2 4 3 23 PF1 PF1 7 PF2 7 3 2 答案 A 3 已知点 A 4 0 和 B 2 2 M 是椭圆 1 上的动点 求 MB MA 的最小值 x2 25 y2 9 5 4 并求此时点 M 的坐标 解析 由椭圆方程知 a2 25 b2 9 c2 16 e 如图 过 M 点向椭圆的右准线作 4 5 垂线 垂足为 T 则由椭圆第二定义知 MA MT 4 5 MT MA 5 4 MB MA MB MT 5 4 显然 M B T 共线时 MB MT 最小 最小值为 BT 2 2 a2 c 25 4 17 4 用心 爱心 专心 此时点 M 的坐标为 2 5 5 3 答案 2 5 5 3 考点二 椭圆的方程 4 2010 北京东城目标检测 离心率为 e 的椭圆 它的焦点与双曲线 y2 1 的焦 1 2 x2 3 点重合 则此椭圆的方程为 解析 由 y2 1 得双曲线的焦点在 x 轴上 且坐标分别为 2 0 2 0 椭圆的 x2 3 焦距 2c 4 又 椭圆的离心率 e 椭圆的长轴长 2a 8 短轴长 2b 4 椭圆的 1 23 方程是 1 x2 16 y2 12 答案 1 x2 16 y2 12 5 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短轴长的 2 倍 则该 3 椭圆的标准方程是 解析 依题意 得 c 2 2a 2 2b 即 a 2b 又 a2 b2 c2 解之得 a 4 b 2 3 椭圆标准方程为 1 x2 16 y2 4 答案 1 x2 16 y2 4 6 根据下列条件求椭圆的标准方程 1 两准线间的距离为 焦距为 2 18 5 5 5 2 和椭圆 1 共准线 且离心率为 x2 24 y2 20 1 2 3 椭圆经过点 M 2 和 N 1 2 33 解 1 设椭圆长轴长为 2a 短轴为 2b 焦距为 2c 则Error 解得Error 所以所求椭圆方程为 1 或 1 x2 9 y2 4 y2 9 x2 4 2 设椭圆方程 1 a b 0 则其准线为 x 12 x2 a2 y2 b2 所以Error 解得Error 所以所求椭圆方程为 1 x2 36 y2 27 3 由题设 可知椭圆的中心在原点 焦点在坐标轴上 因而可设所求椭圆的方程为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 又 M 2 N 1 2 在椭圆上 33 Error 由 解之得 m n 1 5 1 15 所求椭圆方程为 1 x2 5 y2 15 考点三 椭圆的性质 用心 爱心 专心 7 2010 衡阳联考 如图 已知 A B 两点分别是椭圆 C 1 a b 0 的左顶 x2 a2 y2 b2 点和上顶点 F 为椭圆的右焦点 若 0 则椭圆的离心率 e 的取值范围是 AB BF 解析 A a 0 B 0 b F c 0 a b c b AB BF 由 0 得 ac b2 0 而 b2 a2 c2 AB BF a2 c2 ac 1 e2 e 即 e2 e 1 0 解得 e 或 e 又 0 e 1 e 1 1 5 2 5 1 2 5 1 2 答案 1 5 1 2 8 2010 山西晋城一中模拟 已知椭圆 M 的两焦点坐标分别为 F1 1 0 F2 1 0 离 心率 e P 是椭圆 M 上的动点 1 2 1 求椭圆 M 的方程 2 设 m 求 m 的取值范围 PF1 PF2 3 求 的取值范围 PF1 PF2 解 1 由已知得 c 1 a 2 b c a 1 23 即椭圆 M 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 设 P 点的坐标为 x0 y0 则 x0 2 2 又 e x0 a ex0 PF1 a2 c e x0 a ex0 PF2 a2 c m 2ex0 x0 2 2 PF1 PF2 3 m PF1 PF2 4 PF1 PF2 PF1 4 m 2 PF2 4 m 2 cos PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 用心 爱心 专心 PF1 2 2 2 1 2 PF2 F1F2 2 2 22 1 2 4 m 2 4 m 2 m2 8 4 又 m 2 2 2 3 PF1 PF2 1 2009 全国 已知椭圆 C y2 1 的右焦点为 F 右准线为 l 点 A l 线段 AF x2 2 交椭圆 C 于点 B 若 3 则 FA FB AF A B 2 2 C D 3 3 解析 作 BB1 l 于 B1 依题意得 又 3 因此 BF BB1 1 2 FA FB AB 2 BF 即 cos ABB1 ABB1 45 所以直线 FB 的倾斜角是 45 BB1 AB 1 2 1 2 又点 F 1 0 因此直线 FB 的方程是 y x 1 右准线 l 的方程是 x 2 因此点 A 的坐标是 2 1 选 A AF 2 答案 A 2 2009 山东 设椭圆 E 1 a b 0 过 M 2 N 1 两点 O 为坐标 x2 a2 y2 b226 原点 1 求椭圆 E 的方程 2 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在 说明理 OA OB 由 解 1 将 M N 的坐标代入椭圆 E 的方程得Error 解得 a2 8 b2 4 所以椭圆 E 的方程为 1 x2 8 y2 4 2 证明 假设满足题意的圆存在 其方程为 x2 y2 R2 其中 0 R 2 设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 当直线 AB 的斜率存在时 令直线 AB 的方程为 y kx m 将其代入椭圆 E 的方程并整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 8 0 由韦达定理得 x1 x2 x1x2 4km 2k2 1 2m2 8 2k2 1 因为 OA OB 所以 x1x2 y1y2 0 将 代入 并整理得 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 联立 得 m2 1 k2 8 3 因为直线 AB 和圆相切 因此 R m 1 k2 用心 爱心 专心 由 得 R 2 6 3 所以存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 当切线 AB 的斜率不存在时 易得 x x 2 12 2 8 3 由椭圆 E 的方程得 y y 2 12 2 8 3 显然 OA OB 综上所述 存在圆 x2 y2 满足题意 8 3 解法一 当切线 AB 的斜率存在时 由 得 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 f 4km 2k2 1 2 4 2m2 8 2k2 1 4 2 k2 1 2k2 1 1 2 3 k2 1 2k2 1 令 t 则 b 0 上 x0 acos y0 bsin 0 x2 a2 y2 b2 2 直线 l2与直线 l1 x y 1 垂直 O 为坐标原点 直线 OP 的倾斜角为 直线 l2的倾 x0 a2 y0 b2 斜角为 1 证明点 P 是椭圆 1 与直线 l1的唯一交点 x2 a2 y2 b2 2 证明 tan tan tan 构成等比数列 证明 1 证法一 由x y 1 得 y a2 x0 x 代入椭圆方程 1 x0 a2 y0 b2 b2 a2y0 x2 a2 y2 b2 得 x2 x 1 0 1 a2 b2x2 0 a4y2 0 2b2x0 a2y2 0 b2 y2 0 将Error 代入上式 得 x2 2acos x a2cos2 0 从而 x acos 因此 方程组Error 有唯一解Error 即 l1与椭圆有唯一交点 P 证法二 显然 P 是椭圆与 l1的交点 若 Q acos 1 bsin 1 0 1 2 是椭圆与 l1的交点 代入 l 的方程x y 1 得 cos cos 1 sin sin 1 1 cos a sin b 即 cos 1 1 1 故 P 与 Q 重合 证法三 在第一象限内 由 1 可得 x2 a2 y2 b2 y y0 b a a2 x2 b a a2 x2 0 椭圆在点 P 处切线的斜率 k y x0 bx0 a a2 x2 0 b2x0 a2y0 切线方程为 y x x0 y0 即 1 b2x0 a2y0 xx0 a2 yy0 b2 因此 l1就是椭圆在点 P 处的切线 根据椭圆切线的性质 P 是椭圆与直线 l1的唯一交点 2 tan tan l1的斜率为 l2的斜率为 tan tan y0 x0 b a x0b2 y0a2 y0a2 x0b2 a b 由此得 tan tan tan2 0 tan tan tan 构成等比数列 1 以椭圆的右焦点 F2为圆心作一个圆 使此圆过椭圆中心 O 并交椭圆于点 M N 若 过椭圆左焦点 F1的直线 MF1是圆 F2的切线 则椭圆的右准线与圆 F2 A 相交 B 相离 C 相切 D 位置关系随离心率改变 解析 由已知得 MF2 c MF1 2a c 又 MF1 MF2 用心 爱心 专心 2a c 2 c2 4c2 解得 4a2 4ac 2c2 0 a c 1 2 2 F2B c c2 c c a2 c a2 c2 c 1 r 2 2 4 4c 2 2 1 4 与准线相交 选 A 答案 A 2 已知椭圆 1 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于 A B 两点 交 y 轴于 P 点 x2 25 y2 9 设 1 2 则 1 2的值为 PA AF PB BF A B 9 25 50 9 C