导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用导数及其应用 一 选择题一 选择题 1 是函数是函数在点在点处取极值的处取极值的 0 0fx f x 0 x A 充分不必要条件 充分不必要条件 B 必要不充分条件 必要不充分条件 C 充要条件 充要条件 D 既不充分又不必要条 既不充分又不必要条 件件 2 设曲线 设曲线在点在点处的切线的斜率为处的切线的斜率为 则函数 则函数的部分图象可以的部分图象可以 2 1yx xfx g x cosyg xx 为为 O x x xx y y yy OOO A B C D 3 设 设是函数是函数的导函数 将的导函数 将和和的图象画在同一个直角坐标系中 的图象画在同一个直角坐标系中 fx f x yf x yfx 不可能正确的是 不可能正确的是 4 若曲线若曲线 y x2 ax b 在点在点 0 b 处的切线方程是处的切线方程是 x y 1 0 则 则 A a 1 b 1 B a 1 b 1 C a 1 b 1 D a 1 b 1 5 函数 函数 f x x3 ax2 3x 9 已知 已知 f x 在在 x 3 时取得极值 则时取得极值 则 a 等于等于 A 2 B 3 C 4 D 5 6 设函数设函数 f x的导函数为的导函数为 fx 且 且 2 21f xxx f 则 则 0 f 等于等于 A 0 B 4 C 2 D 2 7 直线直线是曲线是曲线的一条切线 则实数的一条切线 则实数的值为的值为 yx lnyax a A B C D 1 eln21 8 若函数若函数上不是单调函数 则实数上不是单调函数 则实数 k 的取值范围 的取值范围 1 1 12 3 kkxxxf在区间 A B 3113 kkk或或3113 kk或 C D 不存在这样的实数 不存在这样的实数 k22 k 9 函数函数的定义域为的定义域为 导函数 导函数在在内的图像如图所示 内的图像如图所示 f x a b fx a b 则函数则函数在在内有极小值点内有极小值点 f x a b A 1 个个 B 2 个个 C 3 个个 D 4 个个 10 已知二次函数已知二次函数的导数为的导数为 2 f xaxbxc fx 对于任意实数 对于任意实数都有都有 则 则的最小值为的最小值为 0 0f x 0f x 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 11 函数函数的导数为的导数为 sin x y x 12 已知函数 已知函数在在 x 1 处有极值为处有极值为 10 则 则 f 2 等于等于 223 abxaxxxf 13 函数函数在区间在区间上的最大值是上的最大值是 2cosyxx 0 2 14 已知函数 已知函数在在 R 上有两个极值点 则实数上有两个极值点 则实数的取值范围是的取值范围是 3 f xxax a 15 已知函数已知函数 xf是定义在是定义在 R 上的奇函数 上的奇函数 0 1 f 0 2 x xfxf x 0 x 则不等式 则不等式 0 2 xfx的解集是的解集是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 设函数设函数在在及及时取得极值 时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 1 求 求 a b 的值 的值 2 若对于任意的 若对于任意的 都有 都有成立 求成立 求 c 的取值范围 的取值范围 0 3 x 2 f xc 17 已知函数已知函数 32 233 f xxx 1 求曲线 求曲线在点在点处的切线方程 处的切线方程 yf x 2x 2 若关于 若关于的方程的方程有三个不同的实根 求实数有三个不同的实根 求实数的取值范围的取值范围 x 0f xm m 18 设函数设函数 Rxxxxf 56 3 1 求 求的单调区间和极值 的单调区间和极值 xf 2 若关于 若关于的方程的方程有有 3 个不同实根 求实数个不同实根 求实数的取值范围的取值范围 xaxf a 3 已知当 已知当恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 1 1 xkxfx时k 19 本题满分 本题满分 12 分 已知函数分 已知函数 lnf xxx 求 求 f x的最小值 的最小值 若对所有 若对所有1x 都有都有 1f xax 求实数 求实数a的取值范围的取值范围 20 已知已知 Raxxa ax xf 14 1 3 2 3 1 当当时 求函数的单调区间 时 求函数的单调区间 1 a 2 当当时 讨论函数的单调增区间 时 讨论函数的单调增区间 Ra 3 是否存在负实数 是否存在负实数 使 使 函数有最小值 函数有最小值 3 a 0 1 x 21 已知函数已知函数 其中 其中 2 a f xx x lng xxx 0a 1 若 若是函数是函数的极值点 求实数的极值点 求实数的值 的值 1x h xf xg x a 2 若对任意的 若对任意的 为自然对数的底数 都有为自然对数的底数 都有 成立 求实数成立 求实数 12 1x xe e 1 f x 2 g x 的取值范围 的取值范围 a 导数及其应用导数及其应用 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 题号题号12345678910 答案答案DADADBDBAC 二 填空题 二 填空题 11 12 18 13 14 15 2 cossin xxx y x 3 6 0 aa 1 0 1 三 解答题三 解答题 16 解 解 1 2 663fxxaxb 因为函数因为函数在在及及取得极值 则有取得极值 则有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即即 6630 24 1230 ab ab 解得解得 3a 4b 2 由 由 可知 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当当时 时 01 x 0fx 当当时 时 12 x 0fx 当当时 时 2 3 x 0fx 所以 当所以 当时 时 取得极大值取得极大值 又 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 则当则当时 时 的最大值为的最大值为 0 3x f x 3 98fc 因为对于任意的因为对于任意的 有 有恒成立 恒成立 0 3x 2 f xc 所以所以 解得 解得 或或 2 98cc 1c 9c 因此因此的取值范围为的取值范围为 c 1 9 17 解 解 1 2 分分 2 66 2 12 2 7 fxxx ff 曲线曲线在在处的切线方程为处的切线方程为 即 即 4 分分 yf x 2x 712 2 yx 12170 xy 2 记 记 322 233 666 1 g xxxmg xxxx x 令令或或 1 6 分分 0 0g xx 则则的变化情况如下表的变化情况如下表 x g x g x x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x A 极大极大A极小极小A 当当有极大值有极大值有极小值有极小值 10 分分0 xg x 3 1 mxg x 2m 由由的简图知 当且仅当的简图知 当且仅当 g x 0 0 1 0 g g 即即时 时 30 32 20 m m m 函数函数有三个不同零点 过点有三个不同零点 过点可作三条不同切线可作三条不同切线 g xA 所以若过点所以若过点可作曲线可作曲线的三条不同切线 的三条不同切线 的范围是的范围是 14 分分A yf x m 3 2 18 解解 1 1 分分2 2 0 2 3 21 2 xxxfxxf得令 当当 2 分分22 0 22 0 xxfxxfx 或时 当时 的单调递增区间是的单调递增区间是 单调递减区间是 单调递减区间是 3 分分 xf 2 2 和 2 2 当当 当 当 4 分分245 2 有极大值xfx245 2 有极小值xfx 2 由 由 1 可知 可知图象的大致形状及走向 图略 图象的大致形状及走向 图略 xfy 当当的图象有的图象有 3 个不同交点 个不同交点 6 分分 245245xfyaya 与直线时 即当即当时方程时方程有三解有三解 7 分分54 254 2a xf 3 1 5 1 1 2 xkxxxxkxf即 上恒成立上恒成立 9 分分 1 5 1 2 在xxkx 令令 由二次函数的性质 由二次函数的性质 上是增函数 上是增函数 5 2 xxxg 1 在xg 所求所求的取值范围是的取值范围是 12 分分 3 1 gxgk3 k 19 解析 解析 f x的定义域为的定义域为0 1 分分 f x的导数的导数 1 lnfxx 3 分分 令令 0fx 解得 解得 1 e x 令 令 0fx 解得 解得 1 0 e x 从而从而 f x在在 1 0 e 单调递减 在单调递减 在 1 e 单调递增单调递增 5 分分 所以 当所以 当 1 e x 时 时 f x取得最小值取得最小值 1 e 6 分分 解法一 令 解法一 令 1 g xf xax 则 则 1lng xfxaax 8 分分 若若1a 当 当1x 时 时 1ln10g xaxa 故故 g x在在 1 上为增函数 上为增函数 所以 所以 1x 时 时 1 10g xga 即 即 1f xax 10 分分 若若1a 方程 方程 0g x 的根为的根为 1 0 eax 此时 若此时 若 0 1 xx 则 则 0g x 故 故 g x在该区间为减函数在该区间为减函数 所以所以 0 1 xx 时 时 1 10g xga 即即 1f xax 与题设 与题设 1f xax 相矛盾相矛盾 13 分分 综上 满足条件的综上 满足条件的a的取值范围是的取值范围是 1 14 分分 解法二 依题意 得解法二 依题意 得 1f xax 在在 1 上恒成立 上恒成立 即不等式即不等式 1 lnax x 对于对于 1 x 恒成立恒成立 8 分分 令令 1 lng xx x 则则 2 1111 1g x xxxx 10 分分 当当1x 时 因为时 因为 11 10g x xx 故故 g x是是 1 上的增函数 上的增函数 所以所以 g x的最小值是的最小值是 1 1g 13 分分 所以所以a的取值范围是的取值范围是 1 14 分分 20 1 或或递减递减 递增递增 2 1 当 当 2 x 2 x xf 2 2 x xf 0 a 递增递增 2 当 当递增递增 3 当 当或或 2 x xf 0 a 2 2 a x xf 10 a 2 x 2 a x 递增递增 当当递增递增 当当或或递增递增 3 因 因 xf 1 a x xf 1 a 2 a x 2 x xf 由由 分两类 依据 单调性 极小值点是否在区间分两类 依据 单调性 极小值点是否在区间 1 0 上是分类上是分类 契机契机 0 a 1 当 当 递增 递增 解得 解得 2 1 2 a a 2 2 0 1 a x xf3 1 min fxf 2 4 3 a 2 当 当由单调性知 由单调性知 化简得 化简得 解得 解得 2 1 2 a a 3 2 min a fxf0133 2 aa 不合要求 综上 不合要求 综上 为所求 为所求 2 6 213 a 4 3 a 21 1 解法 解法1 其定义域为 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 是函数是函数的极值点 的极值点 即 即 1x h x 10 h 2 30a 0a 3a 经检验当经检验当时 时 是函数是函数的极值点 的极值点 3a 1x h x 3a 解法解法2 其定义域为 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 令令 即 即 整理 得 整理 得 0h x 2 2 1 20 a xx 22 20 xxa 2 1 80a 的两个实根的两个实根 舍去 舍去 0h x 2 1 11 8 4 a x 2 2 11 8 4 a x 当当变化时 变化时 的变化情况如下表 的变化情况如下表 x h x h x x 2 0 x 2 x 2 x h x 0 h xA极小值极小值A 依题意 依题意 即 即 2 11 8 1 4 a 2 3a 0a 3a 2 解 对任意的 解 对任意的都有都有 成立等价于对任意的成立等价于对任意的都都 12 1x xe 1 f x 2 g x 12 1x xe 有有 min f x max g x 当当 1 时 时 x e 1 10gx x 函数函数在在上是增函数 上是增函数 lng xxx 1e max 1g xg ee 且 且 2 22 1 xaxaa fx xx 1 xe 0a 当当且且 1 时 时 01a x e 2 0 xaxa fx x 函数函数在 在 1 上是增函数 上是增函数 2 a f xx x e 2 min 11f xfa 由由 得 得 2 1a 1e ae 又又 不合题意 不合题意 01a a 当当1 时 时 a e 若若1 则 则 x