2011年高考一轮数学复习 7-1直线的方程 理 同步练习（名师解析）

第第 7 7 章章 第第 1 1 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 求直线的倾斜角和斜率 1 下列命题 直线倾斜角为 则此直线的斜率为 tan 直线的斜率为 k 则此 直线的倾斜角为 arctank 任一直线都有倾斜角 但不一定都有斜率 直线的斜率为 tan 则直线的倾斜角为 其中正确的是 A B 和 C D 和 答案 C 2 若 则直线 2xcos 3y 1 0 的倾斜角 的取值范围是 6 2 A B 6 2 5 6 C D 0 6 2 5 6 解析 本题是基本题 关键概念是直线的倾斜角的范围 斜率的求法 因此倾斜角的 正切值 tan cos 由已知得 tan 0 所以 2 3 3 3 5 6 答案 B 3 2010 湖北联考 若直线的倾斜角的余弦值为 则与此直线垂直的直线的斜率为 4 5 A B 4 3 3 4 C D 3 4 4 3 解析 设直线的倾斜角为 由题意知 cos 0 sin k tan 4 5 2 3 5 与此直线垂直的直线的斜率为 sin cos 3 4 4 3 答案 A 考点二 求直线的方程 4 已知点 A 1 2 B 3 1 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 A 4x 2y 5 B 4x 2y 5 C x 2y 5 D x 2y 5 答案 B 5 若点 A 2 3 是直线 a1x b1y 1 0 和 a2x b2y 1 0 的公共点 则相异两点 a1 b1 和 a2 b2 所确定的直线方程是 A 2x 3y 1 0 B 3x 2y 1 0 C 2x 3y 1 0 D 3x 2y 1 0 答案 A 6 求过点 P 2 1 在 x 轴和 y 轴的截距分别为 a b 且满足 a 3b 的直线方程 解 当 a 3 b 0 时 设所求直线的方程为 1 x a y b 即 1 x 3b y b 又因为直线过点 P 2 1 所以 1 解得 b 2 3b 1 b 1 3 所求直线方程为 1 x 1 y 1 3 即 x 3y 1 0 当 a 3 b 0 时 则所求直线过原点 可设方程为 y kx 因为该直线过 2 1 所以 1 2k k 1 2 所求直线的方程为 y x 1 2 综上所述 所求直线的方程为 x 3y 1 0 或 y x 1 2 考点三 直线方程的应用 7 有定点 P 6 4 及定直线 l y 4x 点 Q 是直线 l 上且在第一象限内的点 直线 PQ 交 x 轴的正半轴于点 M 则点 Q 在什么位置时 OMQ 的面积最小 解 如图所示 设点 Q x0 4x0 x0 1 当 x0 6 时 可得直线 PQ 的方程为 y 4 x 6 4x0 4 x0 6 令 y 0 得 xM 5x0 x0 1 点 M 的坐标为 0 5x0 x0 1 S OMQ OM 4x0 1 2 10 x2 0 x0 1 40 10 1 x2 0 1 x0 10 f 1 x0 f 1 2 2 1 4 此时 x0 2 点 Q 的坐标为 2 8 当 x0 6 时 点 Q 的坐标为 6 24 此时 S OMQ 6 24 72 40 1 2 故当点 Q 的坐标为 2 8 时 OMQ 的面积最小 且最小值为 40 说明 本题中 PQ 的直线方程是用点斜式表示的 要注意以下三个问题 1 讨论斜率不存在的情况 即 x0 6 时的情况 2 Q 点坐标的设法 3 对于 S OMQ 也可用判别式法求最值 步骤如下 10 x2 0 x0 1 去分母并按 x0整理得 10 x S OMQ x0 S OMQ 0 2 0 x0为实数 故有 S 4 10SOMQ 0 2 OMQ 从而 S OMQ 40 即 S OMQ min 40 此时由 式得 10 x 40 x0 40 0 2 0 x0 2 即 Q 2 8 8 直线 l 过点 P 1 4 分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A B 两点 1 当 PA PB 最小时 求 l 的方程 2 当 OA OB 最小时 求 l 的方程 解 依题意 l 的斜率存在 且斜率为负 设 l y 4 k x 1 k 0 令 y 0 可得 A 1 0 4 k 令 x 0 可得 B 0 4 k 1 PA PB 1 k2 8 注意 k 0 4 k 2 161 k2 4 k 1 k k 当且仅当 k 且 k 0 即 k 1 时 1 k PA PB 取最小值 这时 l 的方程为 x y 5 0 2 OA OB 4 k 1 4 k 5 9 k 4 k 当且仅当 k 且 k 0 4 k 即 k 2 时 OA OB 取最小值 这时 l 的方程为 2x y 6 0 1 2008 四川 将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转 90 再向右平移 1 个单位 所得到的直 线为 A y x B y x 1 1 3 1 3 1 3 C y 3x 3 D y x 1 1 3 解析 将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转 90 得到直线 y x 再右移 1 个单位 得 1 3 到直线 y x 1 3 1 3 答案 A 2 2008 安徽 若过点 A 4 0 的直线 l 与曲线 x 2 2 y2 1 有公共点 则直线 l 的斜率 的取值范围为 A B 3333 C D 3 3 3 3 3 3 3 3 解析 设直线 l 的方程为 y k x 4 即 kx y 4k 0 直线 l 与曲线 x 2 2 y2 1 即圆有公共点 圆心 A 2 0 到直线 l 的距离 d 1 得 2k 4k k2 1 4k2 k2 1 k2 k 1 3 3 3 3 3 答案 D 3 2009 安徽 直线 l 过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则 l 的方程是 A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 解析 由直线 l 与直线 2x 3y 4 0 垂直 可知直线 l 的斜率是 由点斜式可得直 3 2 线 l 的方程为 y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 3 2 答案 A 4 2009 全国 若直线 m 被两平行线 l1 x y 1 0 与 l2 x y 3 0 所截得的线 段的长为 2 则 m 的倾斜角可以是 2 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确的答案的序号 解析 记直线 m 的倾斜角是 注意到直线 l1 l2间的距离等于 又直线 m 被直线 2 22 l1 l2所截得的线段的长是 2 因此直线 m 与直线 l1的夹角的正弦值等于 直线 2 2 2 2 1 2 m 与直线 l1的夹角是 30 即有 tan 45 因此 15 或 75 tan 1 1 tan 3 3 3 3 其中正确答案的序号是 答案 1 已知 M x y 是圆 x2 y2 1 上任意一点 则的取值范围是 y x 2 A 3 3 3 3 B 33 C 3 3 3 3 D 33 解析 数形结合 表示圆上点 x y 与点 2 0 所在直线的斜率 由图知 当直线 y x 2 与圆相切时 其斜率取得最值 设过点 2 0 与单位圆相切的直线方程