天津市河东区2019年高考一模考试数学(理)试卷

1 天津市河东区 2019 年高考一模考试 数学试卷 理工类 本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时分 考试用时 120 分钟分钟 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号涂写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号涂写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条形码 答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一 并交回 并交回 祝各位考生考试顺利 祝各位考生考试顺利 第第 卷卷 选择题 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 一 选择题 本题共本题共 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 每小题给出的四个选项只有一个符合题目要每小题给出的四个选项只有一个符合题目要 求求 1 设集合 ABAZxxxI则 2 1 2 2 1 3 I C B A 1 B 1 2 C 2 D 0 1 2 2 设变量 满足约束条件则目标函数的最小值为 xy 0 20 1 2 y xy y x 2zxy A 2 B 3 C 4 D 5 3 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 9 B 10 C 11 D 23 2 4 在ABC 中 5 tan2 4 bBA 则a 的 值是 A B C D 210102102 5 已知 p 函数 f x m 有零点 q m 则 p 是 q 的 2 4 4 x x 3 3 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 22 1 3 1 正视图侧视图 俯视图 第 3 题图 密密 封封 装装 订订 线线 密密 封封 线线 内内 不不 要要 答答 题题 学校学校 班级班级 姓名姓名 2 6 设 F1 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 P 在双曲线上 x2 a2 y2 b2 若 0 2ac c 为半焦距 则双曲线的离心率为 PF1 PF2 PF1 PF2 A B C 2 D 3 1 2 3 1 2 5 1 2 7 已知 规定 当时 当12 x xf 2 1 xxg xgxf xfxh 时 则 xgxf xgxh xh A 有最小值 最大值 1 B 有最大值 1 无最小值1 C 有最小值 无最大值 D 有最大值 无最小值1 1 8 在平面四边形 ABCD 中 点 E F 分别是边 AD BC 的中点 且 AB 1 EF CD 若25 15 则的值为 AD BC uuu r uuu r gAC BD uuu r uuu r g A 13 B 14 C 15 D 16 二二 填填空空题题 本本大大题题共共6 个个小小题题 每每小小题题5 分分 共共30 分分 把把答答案案填填在在题题中中横横线线上上 9 若 其中 a b R i 是虚数单位 则 12 1ai ibi abi 10 2x 4的展开式中 x3的系数是 x 11 如图是一个程序框图 则输出的 S 的值是 12 如图 PA切 O于点A 割线PBC经过圆心 O OB PB 1 OA绕点O逆时针旋转600到OD 则PD的长为 13 在极坐标系中 直线 sin 2 被圆 4 截得 4 的弦长为 14 已知 x y R 满足 2 y 4 x x 1 则 22 222 1 xyxy xyxy 的最大值为 三三 解答题 解答题 本大题 本大题 6 个题 共个题 共 80 分 分 15 本小题满分 本小题满分 13 分 分 3 O P F D C B A 设函数 f x cosx cos x cos 0 已知当 x 时 f x 取得最大值 1 23 1 求 的值 2 设 g x 2f x 求函数 g x 在 0 上的最大值 3 23 16 本小题满分 本小题满分 13 分 分 甲 乙两个乒乓球选手进行比赛 他们的水平相当 规定 七局四胜 即先赢四局者胜 若已知 甲先赢了前两局 求 1 乙取胜的概率 2 比赛打满七局的概率 3 设比赛局数为 X 求 X 的分布列和数学期望 17 本小题满分 本小题满分 13 分 分 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面四边形 ABCD 是菱形 AC BD O PAC 是边长为 2 的等边 三角形 PB PD AP 4AF 6 1 求证 PO 底面 ABCD 2 求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小 3 线段 PB 上是否存在点 M 使得 CM 平面 BDF 如果存在 求 的值 BM BP 如果不存在 请说明理由 18 本小题满分 本小题满分 13 分 分 已知中心在原点 焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 且经过点 M 1 过点 P 2 1 的直线 1 2 3 2 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A B 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在直线 l 满足 2 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 请说明理 PA PB PM 由 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 f x 数列 an 满足 a1 1 an 1 f n N 2x 3 3x 1 an 1 求数列 an 的通项公式 4 2 令 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求 Tn 3 令 bn n 2 b1 3 Sn b1 b2 bn 若 Sn 对一切 n N 成立 1 an 1an 2007 2 m 求最小正整数 m 20 本小题满分 本小题满分 14 分分 已知函数 ln xa f xaR x 1 求 f x 的极值 2 求证 且 ln2ln2 ln3ln2 ln3ln1 2 624 1 22 nn n nn ggg g g g g gnN 河东区河东区 20192019 年高三一模考试年高三一模考试 数学 理 答案数学 理 答案 一 选择题 DBCB ADCB 二 填空题 9 10 24 11 63 12 13 14 5 2 74 3 10 3 15 解 1 f x cosx cosxcos sinxsin cos 1 2 cos sin2xsin cos 1cos2 2 x 1 2 1 2 cos 2x 1 2 由 f x max f 得 cos 1 3 1 2 2 3 又 0 所以 2 3 密密 封封 装装 订订 线线 密密 封封 线线 内内 不不 要要 答答 题题 5 2 由 1 知 f x cos 2x 则 g x 2f x cos 3x 1 2 2 3 3 2 2 3 因为 0 x 所以 3x 3 2 3 2 3 3 所以当 3x 0 即 x 时 g x max 1 2 3 2 9 16 解 1 当甲先赢了前两局时 乙取胜的情况有两种 第一种是乙连胜四局 第二种是在第三局 到第六局 乙赢了三局 第七局乙赢 在第一种情况下 乙取胜的概率为 4 1 2 1 16 在第二种情况下 乙取胜的概率为 C 4 3 4 1 2 1 2 1 8 所以当甲先赢了前两局时 乙取胜的概率为 1 16 1 8 3 16 2 比赛打满七局有两种结果 甲胜或乙胜 记 比赛打满七局甲胜 为事件 A 记 比赛打满 七局乙胜 为事件 B 则 P A C 4 1 4 1 2 1 2 1 8 P B C 4 3 4 1 2 1 2 1 8 又 A B 互斥 所以比赛打满七局的概率为 P A P B 1 4 3 随机变量 X 的所有可能取值为 4 5 6 7 P X 4 2 1 2 1 4 P X 5 C 2 1 2 1 2 1 2 1 4 P X 6 C 3 4 1 3 1 2 1 2 1 2 1 4 P X 7 C 4 C 4 1 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 4 所以 X 的分布列为 X4567 P 1 4 1 4 1 4 1 4 故随机变量 X 的数学期望 EX 4 5 6 7 1 4 1 4 1 4 1 4 11 2 17 解 1 证明 因为底面 ABCD 是菱形 AC BD O 所以 O 为 AC BD 中点 又因为 PA PC PB PD 6 所以 PO AC PO BD 所以 PO 底面 ABCD 2 解 由底面 ABCD 是菱形可得 AC BD 又由 1 可知 PO AC PO BD 如图 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz PB PD PO OB OD 633 A 1 0 0 C 1 0 0 B 0 0 P 0 0 D 0 0 333 1 0 1 0 CP uur 3AP uu u r 3 4 F 0 AP uu u r AF uuu r 3 4 3 4 0 OF uuu r 3 4 3 4 设平面 BDF 的法向量 x y z n r 则 令 x 1 则 z 1 0 30 33 0 44 y xz 3n r 3 cos CP uur n r 1 2 CP n CPn uur r g uuu ru r g 直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 300 3 设 t 0 t 1 则 1 1 t t BM BP CM uuu r 33 若使 CM 平面 BDF 需 0CM n uuu r r g t 1 3 所以在线段 PB 上存在一点 M 使得 CM 平面 BDF 此时 BM BP 1 3 7 18 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题意得Error 解得 a2 4 b2 3 故椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 2 若存在直线 l 满足条件 由题意可设直线 l 的方程为 y k x 2 1 由Error 得 3 4k2 x2 8k 2k 1 x 16k2 16k 8 0 因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A B 设 A B 两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 所以 8k 2k 1 2 4 3 4k2 16k2 16k 8 0 整理得 32 6k 3 0 解得 k 1 2 又 x1 x2 x1x2 8k 2k 1 3 4k2 16k2 16k 8 3 4k2 且 2 PMPBPA 即 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 5 4 所以 x1 2 x2 2 1 k2 5 4 即 x1x2 2 x1 x2 4 1 k2 5 4 所以 2 4 1 k2 16k2 16k 8 3 4k2 8k 2k 1 3 4k2 4 4k2 3 4k2 5 4 解得 k 1 2 所以 k 于是存在直线 l 满足条件 1 2 其方程为 y x 1 2 19 解 1 an 1 f an 1 an 2 an 3 3 an 2 3an 3 2 3 an 是以 为公差的等差数列 2 3 又 a1 1 an n 2 3 1 3 2 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 8 a2 a4 a2n 4 3 4 3 n 5 3 4n 3 1 3 2 2n2 3n 4 9 3 当 n 2 时 bn 1 an 1an 1 2 3n 1 3 2 3n 1 3 9 2 1 2n 1 1 2n 1 又 b1 3 9 2 1 1 3 Sn b1 b2 bn 9 2 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 9 2 1 1 2n 1 9n 2n 1 Sn 对一切 n N 成立 2007 2 m 即 9n 2n 1 2007 2 m 又 递增 9n 2n 1 9 2 1 1 2n 1 且0 时 f x 在 0 是增函数 fx 1 a xe 1 a e 当 0 时 f x 在 是减函数 fx 1 a xe 1 a e f x 在 x 处取得极大值 f x 极大值 f 无极小值 1 a e 1 a e 1a e 9 2 证明 由 1 取 a 1 lnx x 1 当x 1 时取等号 ln xa f x x 1a e 令