2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（陕西卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 陕西卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 陕西卷 解析版 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设a b 是向量 命题 若ab 则 ab 的逆命题是 A 若ab 则 ab B 若ab 则 ab C 若 ab 则ab D 若 ab 则ab 分析 首先确定原命题的条件和结论 然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题 解 选 D 原命题的条件是ab 作为逆命题的结论 原命题的结论是 ab 作为 逆命题的条件 即得逆命题 若 ab 则ab 故选 D 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 A 2 8yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 4yx 分析 由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键 解 选 B 由准线方程2x 得2 2 p 且抛物线的开口向右 或焦点在x轴的正半轴 所以 2 28ypxx 3 设函数 f x x R R 满足 fxf x 2 f xf x 则函数 yf x 的图像 是 分析 根据题意 确定函数 yf x 的性质 再判断哪一个图像具有这些性质 解 选 B 由 fxf x 得 yf x 是偶函数 所以函数 yf x 的图象关于y轴对 称 可知 B D 符合 由 2 f xf x 得 yf x 是周期为 2 的周期函数 选项 D 的图像 的最小正周期是 4 不符合 选项 B 的图像的最小正周期是 2 符合 故选 B 2 4 6 42 xx x R R 展开式中的常数项是 A 20 B 15 C 15 D 20 分析 根据二项展开式的通项公式写出通项 再进行整理化简 由x的指数为 0 确定常 数项是第几项 最后计算出常数项 解 选 C 62 6 123 1666 4 2 222 rxrxrrxrxrrxxr r TCCC 令1230 xxr 则4r 所以 4 56 15TC 故选 C 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 思路点拨 根据已知的三视图想象出空间几何体 然后由 几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算 精讲精析 选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体 即一个正方体中间去掉一个圆锥体 所以它的体积是 32 18 2228 33 V 6 函数 cosf xxx 在 0 内 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点 分析 利用数形结合法进行直观判断 或根据函数的性质 值域 单调性等 进行判断 解 选 B 方法一 数形结合法 令 cosf xxx 0 则cosxx 设函数 yx 和cosyx 它们在 0 的图像如图所示 显然两函数的图像的交点有且只有 一个 所以函数 cosf xxx 在 0 内有且仅有一个零点 3 方法二 在 2 x 上 1x cos1x 所以 cosf xxx 0 在 0 2 x 1 sin0 2 fxx x 所以函数 cosf xxx 是增函数 又因为 0 1f 0 22 f 所以 cosf xxx 在 0 2 x 上有且只有一个零点 7 设集合 22 cossin My yxx xR 1 2Nxx i i为虚数单位 x R R 则MN 为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 分析 确定出集合的元素是关键 本题综合了三角函数 复数的模 不等式等知识点 解 选 C 22 cossin cos2 0 1 yxxx 所以 0 1 M 因为 1 2x i 所以 2xi 即 2xi 又因为x R R 所以11x 即 1 1 N 所以 0 1 MN 故选 C 8 右图中 1 x 2 x 3 x为某次考试三个评阅人对同一道 题的独立评分 p为该题的最终得分 当 1 6x 2 9x 8 5p 时 3 x等于 A 11 B 10 C 8 D 7 分析 先读懂右图的逻辑顺序 然后进行计算判断 其 中判断条件 3132 xxxx 是否成立是解答本题的关 键 4 解 选 C 1 6x 2 9x 12 32xx 不成立 即为 否 所以再输入 3 x 由绝对 值的意义 一个点到另一个点的距离 和不等式 3132 xxxx 知 点 3 x到点 1 x的距离 小于点 3 x到 2 x的距离 所以当 3 7 5x 时 3132 xxxx 成立 即为 是 此时 23 xx 所以 13 2 xx p 即 3 6 8 5 2 x 解得 3 11x 7 5 不合题意 当 3 7 5x 时 3132 xxxx 不成立 即为 否 此时 13 xx 所以 32 2 xx p 即 3 9 8 5 2 x 解得 3 8x 7 5 符合题意 故选 C 9 设 1122 x yxy 33 x y是变量x和y的n个样本点 直线l是由这些样本点通 过最小二乘法得到的线性回归方程 如图 以下结论中正确的是 A x和y的相关系数为直线l的斜率 B x和y的相关系数在 0 到 1 之间 C 当n为偶数时 分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D 直线l过点 x y 分析 根据最小二乘法的有关概念 样本点的中心 相关系 数线 性回归方程的意义等进行判断 解 选 D 选项具体分析结论 A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度 直线的斜率表示直线的倾 斜程度 它们的计算公式也不相同 不正确 B 相关系数的值有正有负 还可以是 0 当相关系数在 0 到 1 之间时 两 个变量为正相关 在1 到 0 之间时 两个变量负相关 不正确 C l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关 也不一定是平均分布不正确 D 回归直线l一定过样本点中心 x y 由回归直线方程的计算公式 aybx 可知直线l必过点 x y 正确 10 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A 1 36 B 1 9 C 5 36 D 1 6 分析 本题抓住主要条件 去掉次要条件 例如参观时间 可以简化解题思路 然后把问 题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题 解 选 D 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 44 66 AA 种 最后一小时他们同 5 在一个景点的情形有 33 55 6AA 种 所以 33 55 44 66 61 6 AA P AA 二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 本大题共二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 设 2 0 lg0 30 a xx f x xt dtx 若 1 1f f 则a 分析 分段函数问题通常需要分布进行计算或判断 从1x 算起是解答本题的突破口 解 因为10 x 所以 1 lg10f 又因为 23 0 3 a f xxt dtxa 所以 3 0 fa 所以 3 1a 1a 答案 1 12 设nN 一元二次方程 2 40 xxn 有整数根的充要条件是n 分析 直接利用求根公式进行计算 然后用完全平方数 整除等进行判断计算 解 4164 2 n x 24n 因为x是整数 即24n 为整数 所以 4n 为整数 且4n 又因为nN 取1 2 3 4n 验证可知3 4n 符合题意 反 之3 4n 时 可推出一元二次方程 2 40 xxn 有整数根 答案 3 或 4 13 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 分析 归纳总结时 看等号左边是子的变化规律 右边结果的特点 然后归纳出一般结 论 行数 项数及其变化规律是解答本题的关键 解 把已知等式与行数对应起来 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数 的个数是21n 等式右边都是完全平方数 行数 等号左边的项数 1 1 1 1 2 3 4 9 2 3 3 4 5 6 7 25 3 5 4 5 6 7 8 9 10 49 4 7 所以 2 1 21 1 21 nnnnn 6 即 2 1 32 21 nnnn 答案 2 1 32 21 nnnn 14 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 分析 把实际问题转化为数学模型 然后列式转化为函数的最值问题 解 方法一 设树苗放在第i个树坑旁边 如图 1 2 i 19 20 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是 1 10 2 10 10 1 10 20 10siiiiiii 1 20 120 10 20 22 i ii i i iii 2 10 21210 ii 所以当10i 或11时 s的值最小 最小值是 1000 所以往返路程的 最小值是 2000 米 方法二 根据图形的对称性 树苗放在两端的树坑旁边 所得路程总和相同 取得一个最 值 所以从两端的树坑向中间移动时 所得路程总和的变化相同 最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时 所得的路程总和达到另一个最值 所以计算两个路程和即可 树苗放在第一个 树坑旁 则有路程总和是 19 1 19 10 1219 21023800 2 树苗放在第 10 个 或第 11 个 树坑旁边时 路程总和是10 129 10 1210 2 9 1 9 10 1 10 102 102900 11002000 22 所以路程总和最小为 2000 米 答案 2000 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 A 不等式选做题 若关于x的不等式 1 2 axx 存在实数解 则实数a的取值范 围是 分析 先确定 1 2 xx 的取值范围 再使得a能取到此范围内的值即可 解 当1x 时 1 2 12213xxxxx 当12x 时 1 2 123xxxx 当2x 时 1 2 12213xxxxx 7 综上可得 1 2 3xx 所以只要 3a 解得3a 或3a 即实数a的取值范围是 3 3 答案 3 3 B 几何证明选做题 如图 B D AEBC 90ACD 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 BE 分析 寻找两个三角形相似的条件 再根据相似 三角形的对应边成比例求解 解 因为AEBC 所以 AEB 90ACD 又因为 B D 所以 AEB ACD 所以 ACAD AEAB 所以 6 4 2 12 AB AC AE AD 在 Rt AEB 中 2222 624 2BEABAE 答案 4 2 C 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系xOy中 以原点 O 为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 设点 A B 分别在曲线 1 C 3cos 4sin x y 为参数 和曲线 2 C 1 上 则 AB的最小值为 分析 利用化归思想和数形结合法 把两条曲线转化为直角坐标系下的方程 解 曲线 1 C的方程是 22 3 4 1xy 曲线 2 C的方程是 22 1xy 两圆外离 所以 AB的最小值为 22 341 13 答案 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 分 16 本小题满分 12 分 如图 在 ABC 中 ABC 60 BAC90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 ABD 折起 使 BDC90 1 证明 平面 ADB 平面 BDC 2 设 E 为 BC 的中点 求AE 与 DB 夹角的余弦值 8 分析 1 确定图形在折起前后的不变性质 如角的大小不变 线段长度不变 线线关系 不变 再由面面垂直的判定定理进行推理证明 2 在 1 的基础上确定出三线两两垂直 建立空间直角坐标系 利用向量的坐标和向量的数量积运算求解 解 1 折起前 AD 是 BC 边上的高 当 ABD 折起后 AD DC AD DB 又DBDCD AD 平面 BDC AD 平面 ABD 平面 ABD 平面 BDC 2 由 BDC90 及 1 知 DA DB DC 两两垂直 不妨设 DB 1 以 D 为坐标原点 以DB DC DA 所在直线为 x y z轴建立如图所示的 空间直角坐标系 易得 D 0 0 0 B 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 3 E 1 2 3 2 0 所以 1 3 3 2 2 AE 1 0 0 DB 1 22 2 cos 2222 1 4 AE DB AE DB AEDB A 所以AE 与DB 夹角的余弦值是 22 22 17 本小题满分 12 分 如图 设 是圆 22 25xy 上的动点 点 是 在x轴上投影 为 PD 上一点 且 4 5 MDPD 1 当 P 在圆上运动时 求点 M 的轨迹 C 的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的长度 分析 1 动点 M 通过点 P 与已知圆相联系 所以把点 P 的坐标用点 M 的坐标表示 然后 代入已知圆的方程即可 2 直线方程和椭圆方程组成方程组 可以求解 也可以利用根 与系数关系 结合两点的距离公式计算 解 1 设点 M 的坐标是 x y P 的坐标是 pp xy 9 因为点 是 在x轴上投影 为 PD 上一点 且 4 5 MDPD 所以 p xx 且 5 4 p yy P 在圆 22 25xy 上 22 5 25 4 xy 整理得 22 1 2516 xy 即 C 的方程是 22 1 2516 xy 2 过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线方程是 4 3 5 yx 设此直线与 C 的交点为 11 A x y 22 B xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入 C 的方程 22 1 2516 xy 得 22 3 1 2525 xx 化简得 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x 所以线段 AB 的长度是 222 121212 16 1 25 ABxxyyxx 4141 41 255 即所截线段的长度是 41 5 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 分析思路点拨 本题是课本公式 定理 性质的推导 这是高考考查的常规方向和考点 引导考生回归课本 重视基础知识学习和巩固 解 叙述 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证明 证法一 如图 2 cBC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosACACABAAB 10 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证法二 已知ABC 中 A B C所对边分别为 a b c 以A为原点 AB所在直线为 x轴建立直角坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B c 222222222 cos sin cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA 22 2cosbcbcA 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 19 本小题满分 12 分 如图 从点 P1 0 0 作x轴的垂线交曲线 x ye 于点 1 0 1 Q 曲线在 1 Q点处的切线与 x轴交于点 2 P 再从 2 P做x轴的垂线交曲线于点 2 Q 依次重复上述过程得到一系列点 11 P Q 22 P Q nn P Q 记 k P点的坐标为 0 k x 0 1 2 kn 1 试求 k x与 1k x 的关系 2kn 2 求 112233 nn PQPQPQPQ 分析 1 根据函数的导数求切线方程 然后再 求切线与x轴的交点坐标 2 尝试求出通项 nn PQ的表达式 然后再求和 解 1 设点 1k P 的坐标是 1 0 k x x ye x ye 1 11 k x kk Qxe 在点 1 11 k x kk Qxe 处的切线方程是 11 1 kk xx k yeexx 令0y 则 1 1 kk xx 2kn 11 2 1 0 x 1 1 kk xx 1 k xk 1 k xk kk PQee 于是有 112233 nn PQPQPQPQ 12 1 1 1 1 1 n k e eee e 1 1 n ee e 即 112233 nn PQPQPQPQ 1 1 n ee e 20 本小题满分 13 分 如图 A 地到火车站共有两条路径 1 L和 2 L 据统计 通过 两条路径所用的时间互不影响 所用时间落在个时间段内 的频率如下表 时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 1 L的频率0 10 20 30 20 2 2 L的频率 0 0 10 40 40 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 1 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 2 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 1 的选择方案 求 X 的分布列和数学期望 分析 1 会用频率估计概率 然后把问题转化为互斥事件的概率 2 首先确定 X 的 取值 然后确定有关概率 注意运用对立事件 相互独立事件的概率公式进行计算 列出分 布列后即可计算数学期望 解 1 i A表示事件 甲选择路径 i L时 40 分钟内赶到火车站 i B表示事件 甲选择 路径 i L时 50 分钟内赶到火车站 1i 2 用频率估计相应的概率 则有 1 0 1 0 20 30 6P A 2 0 1 0 40 5P A 12 P AP A 甲应选择路径 1 L 1 0 1 0 20 30 20 8P B 2 0 1 0 40 40 9P B 12 21 P BP B 乙应选择路径 2 L 2 用 A B 分别表示针对 1 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 1 知 0 6P A 0 9P B 又事件 A B 相互独立 X的取值是 0 1 2 0 0 4 0 10 04P XP ABP AP B 1 0 4 0 90 6 0 10 42P XP ABABP A P BP A P B 2 0 6 0 90 54P XP ABP AP B X 的分布列为 X012 P0 040 420 54 0 0 04 1 0 422 0 541 5EX 21 本小题满分 14 分 设函数 f x定义在 0 上 1 0f 导函数 1 fx x g xf xfx 1 求 g x的单调区间和最小值 2 讨论 g x与 1 g x 的大小关系 3 是否存在 0 0 x 使得 0 1 g xg x x 对任意0 x 成立 若存在 求出 0 x的取值 范围 若不存在 请说明理由 分析 1 先求出原函数 f x 再求