2011年高考数学试题分类汇编 应用题

应用题应用题 1 1 四川理 四川理 9 9 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往A地至少 72 吨的货物 派用的每辆车虚满载 且只运送一次 派用的每辆甲型卡车虚配 2 名工人 运送一次可得利润 450 元 派用的 每辆乙型卡车虚配 1 名工人 运送一次可得利润 350 元 该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数 可得最大利润 z A 4650 元 B 4700 元 C 4900 元 D 5000 元 答案答案 C 解析 由题意设派甲 乙 x y辆 则利润450350zxy 得约束条件 08 07 12 10672 219 x y xy xy xy 画出可行域在 12 219 xy xy 的点 7 5 x y 代入目标函数 4900z 2 2 湖北理 湖北理 1010 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减少 这种现象称为衰变 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中 其含量 M 单位 太贝 克 与时间 t 单位 年 满足函数关系 30 0 2 t M tM 其中 M0为 t 0 时铯 137 的 含量 已知 t 30 时 铯 137 含量的变化率是 10In2 太贝克 年 则 M 60 A 5 太贝克 B 75In2 太贝克 C 150In2 太贝克 D 150 太贝克 答案答案 D 3 3 北京理 北京理 根据统计 一名工作组装第 x 件某产品所用的时间 单位 分钟 为 Ax A c Ax x c xf A C 为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第 A 件产品用时 15 分钟 那么 C 和 A 的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案答案 D 4 陕西理 陕西理 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相 距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 答案答案 2000 5 湖北理 湖北理 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自上而下各节的容积成等 差数列 上面 4 节的容积共为 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积为 升 答案答案 67 66 6 6 湖北理 湖北理 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大 桥上的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥 上的的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20 200 x 时 车流速度 v 是车流密度x的一次函数 当0 200 x 时 求函数 v x 的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观点的车辆数 单位 辆 每小时 f xxv x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 满 分 12 分 解 由题意 当0 20 60 xv x 时 当20 200 xv xaxb 时设 再由已知得 1 2000 3 2060 200 3 a ab ab b 解得 故函数 v x 的表达式为 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 依题意并由 可得 60 020 1 200 20200 3 xx f x xxx 当0 20 xf x 时 为增函数 故当 20 x 时 其最大值为 60 20 1200 当20 200 x 时 2 11 200 10000 200 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx 即 100 x 时 等号成立 所以 当 100 xf x 时 在区间 20 200 上取得最大值 10000 3 综上 当 100 x 时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3333 辆 小时 7 7 湖南理 湖南理 2020 如图 6 长方体物体 E 在雨中沿面 P 面积为 S 的垂直方向作匀速移动 速度为v v 0 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c cR E 移动时单位时间内的淋雨 量包括两部分 1 P 或 P 的平行面 只有一个面淋雨 的淋雨量 假设其值与 vc S 成正比 比例系数为 1 10 2 其它面的淋雨量之和 其值为 1 2 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量 当移动距离 d 100 面积 S 3 2时 写出 y 的表达式 设 0 v 10 0 c 5 试根据 c 的不同取值范 围 确定移动速度 v 使总淋雨量 y 最少 解 I 由题意知 E 移动时单位时间内的淋雨量为 31 202 vc 故 100315 3 10 202 yvcvc vv II 由 I 知 当0 vc 时 55 310 3310 15 c ycv vv 当 55 103c 10 y 3v3c 10 15 vv cv 时 故 310 15 0 5 103 15 10 c vc v y c cv v 1 当 10 0 3 c 时 y 是关于 v 的减函数 故当 min 3 10 20 2 c vy 时 2 当 10 5 3 c 时 在 0 c 上 y 是关于 v 的减函数 在 10c 上 y 是关于 v 的增函数 故当 min 50 vcy c 时 8 8 江苏 江苏 1717 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去 阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于 图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上是被切去的等腰直角 三角形斜边的两个端点 设 AE FB xcm 1 某广告商要求包装盒侧面积 S cm 2 最大 试问x应取何值 2 某广告商要求包装盒容积 V cm 3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的 高与底面边长的比值 P 本小题主要考查函数的概念 导数等基础知识 考查数学建模能力 空间想象力 数学阅读 能力及解决实际问题的能力 满分 14 分 解 设馐盒的高为 h cm 底面边长为 a cm 由已知得 300 30 2 2 260 2 xx x hxa 1 1800 15 8 30 84 2 xxxahS 所以当 15 x 时 S 取得最大值 xx EF AB DC 2 20 26 30 22 222 xxVxxhaV 由 00 xV得 舍 或 x 20 当 20 0 x 时 0 30 20 0 VxV时当 所以当 x 20 时 V 取得极大值 也是最小值 此时 11 22 h a 即 装盒的高与底面边长的比值为 1 2 9 9 福建理 福建理 1818 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 2 10 6 3 a yx x 其中 3 x 6 a 为 常数 已知销售价格为 5 元 千克时 每日可售出该商品 11 千克 I 求 a 的值 II 若该商品的成品为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使商场每日销售该商品所 获得的利润最大 本小题主要考查函数 导数等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思 想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 13 分 解 I 因为 x 5 时 y 11 所以 1011 2 2 a a II 由 I 可知 该商品每日的销售量 2 2 10 6 3 yx x 所以商场每日销售该商品所获得的利润 22 2 3 10 6 2 10 3 6 36 3 f xxxxxx x 从而 2 10 6 2 3 6 30 4 6 fxxxxxx 于是 当 x 变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 3 4 4 4 6 fx 0 f x 单调递增极大值 42单调递减 由上表可得 x 4 是函数 f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当 x 4 时 函数 f x 取得最大值 且最大值等于 42 答 当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 10 10 山东理 山东理 2121 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中 间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费 用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 3 c c 千元 设该容器的建造费用为 y千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 解 I 设容器的容积为 V 由题意知 23 480 33 Vr lrV 又 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于 2lr 因此0 2 r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02 ycrr r II 由 I 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于 3 20 cc 所以 当 3 3 2020 0 22 rr cc 时 令 3 20