2011年高考一轮数学复习 5-1平面向量的概念及运算理 同步练习（名师解析）

第第 5 5 章章 第第 1 1 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 向量的有关概念 1 给出下列命题 a a b b 则a a b b 若A B C D是不共线的四点 则 AB 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 若a a b b b b c c 则a a c c a a b b充要条件 DC 是 a a b b 且a a b b 若a a b b b b c c 则a a c c 其中正确命题的序号是 解析 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 正确 且 AB DC AB DC AB CD 又A B C D 若四边形ABCD为平行四边形 则AB DC且AB DC 因此 AB CD 正确 a a b b a a b b长度相等且方向相同 又b b c c b b c c的长度相等且方向相同 a a c c的长度相等且方向相同 故a a c c 不正确 当a a b b且方向相反时 即使 a a b b 也不能得到a a b b 故 a a b b 且 a a b b不是a a b b的充要条件 而是必要不充分条件 不正确 考虑b b 0 这种情况 综上所述 正确命题的序号是 答案 2 判断下列命题是否正确 不正确的说明理由 1 若向量a a与b b同向 且 a a b b 则a a b b 2 若 a a b b 则向量a a与b b的长度相等且方向相同或相反 3 若向量a a b b满足 a a b b 且a a与b b的方向相同 则a a b b 4 由于零向量 0 方向不确定 故 0 不能与任意向量平行 5 向量a a与向量b b平行 则向量a a与b b方向相同或相反 6 向量与向量是共线向量 则A B C D四点在一条直线上 AB CD 7 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 解 1 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方 向 所以两个向量不能比较大小 故 不正确 2 不正确 则 a a b b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 3 正确 a a b b 且a a与b b同向 由两向量相等的条件可得a a b b 4 不正确 由零向量性质可得 0 与任一向量平行 5 不正确 因为向量a a与向量b b中若有一个零向量 则其方向不正确 6 不正确 若向量与向量是共线向量 则向量与所在的直线平行或重合 因 AB CD AB CD 此 A B C D不一定共线 7 正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可以任意移动的 考点二 向量的加 减及数乘的应用 3 2010 合肥调研 已知 ABC的三个顶点A B C及平面内一点P满足 0 若实数 满足 则 值为 PA PB PC AB AC AP A 2 B 3 2 C 3 D 6 答案 C 4 O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三点 动点P满足 0 则P的轨迹一定通过 ABC的 OP OA AB AB AC AC A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 解析 解法一 设为上的单位向量 为上的单位向量 则 的 AB AB AB AC AC AC AB AB AC AC 方向为 BAC的角平分线的方向 AD 又 0 的方向与 的方向相同 而 AB AB AC AC AB AB AC AC OP OA AB AB AC AC 点P在上移动 AD P的轨迹一定通过 ABC的内心 解法二 由于P点轨迹通过 ABC内一定点且该定点与O的位置和 ABC的形状无关 故取O点与A点重合 由平行四边形法则 很容易看出P点在 BAC的平分线上 轨迹过 内心 解法三 设 1 0 2 0 则 1 1 易知P在 BAC的平 AB AC OP 分线上 轨迹过内心 答案 B 5 如图所示 OM AB 点P在由射线OM 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 不含边界 且 x y 则实数对 x y 可以是 OP OA OB A B 1 4 3 4 2 3 2 3 C D 1 4 3 4 1 5 7 5 解析 延长OP与AB的延长线交于点Q 设 1 OQ OP x y 由图可知其中x 0 且y 0 OQ OA OB 又 A B Q三点共线 m R R AB 1 mAQ m m 1 m OQ OA OB OA OQ OB OA x y 1 m m 1 x y 1 1 在 A 中 0 A 错 1 4 在 B 中 0 而 0 B 错 2 3 2 3 2 3 在 C 中 0 且 1 C 对 1 4 1 4 3 4 2 4 在 D 中 0 而 1 D 错 1 5 1 5 7 5 6 5 答案 C 考点三 共线定理 平面基本定理的应用 6 2010 东莞模拟 已知a a b b是不共线的向量 若 1a a b b a a 2b b 1 2 R R 则A B C三点共线的充要条件为 AB AC A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 2 1 0 D 1 2 1 1 解析 A B C三点共线 与共线 AB AC k Error AB AC 1 2 1 0 答案 C 7 2010 重庆调研 在梯形ABCD中 2 AC与BD相交于O点 若 AB DC a a b b 则等于 AB AD OC A a a b b B a a b b 1 2 1 4 1 6 1 3 C a a b b D a a b b 1 3 1 6 1 6 1 3 解析 设 ma a nb b AO a a ma a nb b 1 m a a nb b OB b b ma a nb b ma a 1 n b b OD B O D三点共线 1 m 1 n n m 0 又 a a b b AC AD DC 1 2 且A O C三点共线 n m 0 解得Error 1 2 得Error a a b b OC 1 6 1 3 答案 B 8 如图 已知 OAB中 点C是以A为中心的B的对称点 D为将分成 2 1 的一个 OB 内分点 DC和OA交于E 设 a a b b OA OB 1 用a a和b b表示向量 OC DC 2 若 求实数 的值 OE OA 解 1 在 ABC中 A为BC的中点 2 2 2a a b b OC OB OA OC OA OB 在 ODC中 2a a b b b b 2a a b b DC OC OD OC 2 3OB 2 3 5 3 2 D E C三点共线 m 2ma a mb b 而在 ODE中 DE DC 5 3 a a b b DE OE OD OA 2 3OB 2 3 2ma a mb b a a b b 5 3 2 3 即 2m a a m b b 0 2 3 5 3 a a b b不共线 Error Error 4 5 1 2008 全国卷 在 ABC中 c c b b 若点D满足 2 则等于 AB AC BD DC AD A b b c c B c c b b 2 3 1 3 5 3 2 3 C b b c c D b b c c 2 3 1 3 1 3 2 3 解析 b b c c 且 2 BC AC AB BD DC b b c c BD 2 3BC 2 3 AC AB 2 3 c c b b c c b b c c AD AB BD 2 3 2 3 1 3 答案 A 2 2009 北京 已知向量a a b b不共线 c c ka a b b k R R d d a a b b 如果c c d d 那么 A k 1 且c c与d d同向 B k 1 且c c与d d反向 C k 1 且c c与d d同向 D k 1 且c c与d d反向 解析 c c d d且a a b b不共线 存在唯一实数 使c c d d ka a b b a a b b Error Error 故选 D 答案 D 3 2009 山东 设P是 ABC所在平面内的一点 2 则 BC BA BP A 0 B 0 PA PB PC PA C 0 D 0 PB PC PA PB PC 解析 解法一 由向量加法的平行四边形法则易知 与的和向量过AC边中点 长 BA BC 度是AC边中线长的二倍 结合已知条件可知P为AC边中点 故 0 故选 B PA PC 解法二 2 BC BA BP PC PB PA PB 2 即 0 PB PC PA 答案 B 4 2009 宁夏 海南 已知点O N P在 ABC所在平面内 且 OA OB OC 0 则点O N P依次是 ABC的 NA NB NC PA PB PB PC PC PA A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 解析 即点O到三点A B C的距离相等 OA OB OC 点O为 ABC的外心 如图 设D为BC边的中点 则 2 NB NC ND 0 2 0 2 A D N三点共线 NA NB NC NA ND NA DN 点N在BC边的中线上 同理点N也在AB AC边的中线上 点N是重心 PA PB PB PC 0 PA PB PB PC 0 0 PB PA PC PB CA 同理 PB CA PA BC PC AB 点P是 ABC的垂心 答案 C 1 如图 已知 a a b b 3 用a a b b表示 则等于 AB AC BD DC AD AD A a a b bB a a b b 3 4 1 4 3 4 C a a b bD a a b b 1 4 1 4 3 4 1 4 解析 b b a a BC AC AB 又 3 b b a a BD DC BD 3 4BC 3