导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算导数的概念及运算 知识点一 函数的平均变化率知识点一 函数的平均变化率 1 1 概念 概念 函数中 如果自变量在处有增量 那么函数值 y 也相应的有增量 y f x0 x f x0 其比值叫做函数从到 x 的平均变化率 即 若 则平均变化率可表示为 称为函数从 到的平均变化率 注意 注意 事物的变化率是相关的两个量的 增量的比值 如气球的平均膨胀率是半径的增量 与体积增量的比值 函数的平均变化率表现函数的变化趋势 当取值越小 越能准确体现函数的变化 情况 是自变量在处的改变量 而是函数值的改变量 可以是 0 函数 的平均变化率是 0 并不一定说明函数没有变化 应取更小考虑 2 2 平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像 上两点割线的斜率 如图所示 函数的平均变化率的几何意义是 直线 AB 的斜率 事实上 作用 根据平均变化率的几何意义 可求解有关曲线割线的斜率 知识点二 导数的概念 知识点二 导数的概念 1 1 导数的定义 导数的定义 对函数 在点处给自变量 x 以增量 函数 y 相应有增量 若极限存在 则此极限称为在 点处的导数 记作或 此时也称在点处可导 即 或 注意 注意 增量可以是正数 也可以是负数 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限 即瞬时变化率 2 2 导函数 导函数 如果函数在开区间内的每点处都有导数 此时对于每一个 都 对应着一个确定的导数 从而构成了一个新的函数 称这个函数为函数 在开区间内的导函数 简称导数 注意 注意 函数的导数与在点处的导数不是同一概念 是常数 是函数在 处的函数值 反映函数在附近的变化情况 3 3 导数几何意义 导数几何意义 1 1 曲线的切线 曲线的切线 曲线上一点 P x0 y0 及其附近一点 Q x0 x y0 y 经过点 P Q 作曲线的割线 PQ 其倾斜角为当点 Q x0 x y0 y 沿曲线无限接近于点 P x0 y0 即 x 0 时 割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 若切线的倾斜角为 则当 x 0 时 割线 PQ 斜率的极限 就是切线的斜率 即 2 2 导数的几何意义 导数的几何意义 函数在点 x0的导数是曲线上点 处的切线的斜率 注意 注意 若曲线在点处的导数不存在 但有切线 则切线与轴垂直 切线与轴正向夹角为锐角 切线与轴正向夹角为钝角 切线与轴平行 3 3 曲线的切线方程曲线的切线方程 如果在点可导 则曲线在点 处的切线方程为 4 4 瞬时速度 瞬时速度 物体运动的速度等于位移与时间的比 而非匀速直线运动中这个比值是变化的 如何 了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度 我们采用瞬时速度这一概念 如果物体的运动规律满足 s s t 位移公式 那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是 物体 t 到 t t 这段时间内 当 t 0 时平均速度的极限 即 如果把函数看作是物体的位移公式 导数表示运动物体在时刻的瞬时 速度 规律方法指导规律方法指导 1 1 如何求函数的平均变化率 如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用 两步 法 作差 求出和 作商 对所求得的差作商 即 注意 注意 1 式子中 的值可正 可负 但 的值不能为零 的值可以为零 若函数为常数函数时 2 在式子中 与是相对应的 增量 即在时 3 在式子中 当取定值 取不同的数值时 函数的平 均变化率不同 当取定值 取不同的数值时 函数的平均变化率也不一样 2 2 如何求函数在一点处的导数 如何求函数在一点处的导数 1 利用导数定义求函数在一点处的导数 通常用 三步法 计算函数的增量 求平均变化率 取极限得导数 2 利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数 3 3 导数的几何意义 导数的几何意义 设函数在点的导数是 则表示曲线在点 处的切线的斜率 设是位移关于时间的函数 则表示物体在时刻的瞬时速度 设是速度关于时间的函数 则表示物体在时刻的加速度 4 4 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出在处的导数 利用直线方程的点斜式得切线方程为 类型一 求函数的平均变化率类型一 求函数的平均变化率 1 求在到之间的平均变化率 并求 时平均变 化率的值 思路点拨 思路点拨 求函数的平均变化率 要紧扣定义式进行操作 举一反三 举一反三 变式 1 求函数 y 5x2 6 在区间 2 2 内的平均变化率 变式 2 已知函数 分别计算在下列区间上的平均变化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 1 1 001 变式 3 自由落体运动的运动方程为 计算 t 从 3s 到 3 1s 3 01s 3 001s 各 段内的平均速度 位移 s 的单位为 m 变式 4 过曲线上两点和作曲线的割线 求出当 时割线的斜率 类型二 利用定义求导数类型二 利用定义求导数 2 用导数的定义 求函数在 x 1 处的导数 举一反三 举一反三 变式 1 已知函数 1 求函数在 x 4 处的导数 2 求曲线上一点处的切线方程 变式 2 利用导数的定义求下列函数的导数 1 2 3 4 3 求曲线 y x3 2x 在 x 1 处的切线方程 思路点拨 思路点拨 从函数在一点处的导数定义可求得函数 y x3 2x 在 x 1 处的导数值 再由 导数的几何意义 得所求切线的斜率 将 x 1 代入函数可得切点坐标 从而建立切线方程 举一反三 举一反三 变式 在曲线 y x2上过哪一点的切线 1 平行于直线 y 4x 5 2 垂直于直线 2x 6y 5 0 3 与 x 轴成 135 的倾斜角 知识点知识点三三 常见基本函数的导数公式 常见基本函数的导数公式 1 C 为常数 2 n 为有理数 3 4 5 6 7 8 知识点四 函数四则运算求导法则知识点四 函数四则运算求导法则 设 均可导 1 和差的导数 2 积的导数 3 商的导数 知识点五 复合函数的求导法则知识点五 复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量的导数 等于已知函数对中间变量的 导数 乘以中间变量对自变量的导数 注意 注意 选择中间变量是复合函数求导的关键 求导时需要记住中间变量 逐层求导 不遗漏 求导后 要把中间变量转换成自变量的函数 规律方法指导规律方法指导 1 1 求复合函数的导数的一般步骤 求复合函数的导数的一般步骤 适当选定中间变量 正确分解复合关系 分步求导 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 把中间变量代回原自变量 一般是 x 的函数 整个过程可简记为分解 求导 回代 熟练以后 可以省略中间过程 若遇多重 复合 可以相应地多次用中间变量 类型一 利用公式及运算法则求导数类型一 利用公式及运算法则求导数 1 求下列函数的导数 1 2 3 4 y 2x3 3x2 5x 4 举一反三 举一反三 变式 求下列函数的导数 1 2 3 y 6x3 4x2 9x 6 2 求下列各函数的导函数 1 2 y x2sinx 3 y 4 y 举一反三 举一反三 变式 1 函数在处的导数等于 A 1 B 2 C 3 D 4 变式 2 下列函数的导数 1 2 变式 3 求下列函数的导数 1 2 3 类型四 复合函数的求导类型四 复合函数的求导 3 求下列函数导数 1 2 3 4 举一反三 举一反三 变式 1 求下列函数的导数 1 2 3 y ln x 4 类型五 求曲线的切线方程类型五 求曲线的切线方程 4 求曲线 y x3 2x 在 x 1 处的切线方程 举一反三 举一反三 变式 1 求曲线在点处的切线的斜率 并写出切线方程 变式 2 已知 是曲线上的两点 则与直线平行的曲线的 切线方程是 变式 3 已知曲线 1 求曲线上横坐标为 1 的点处的切线的方程 2 第 1 小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点