四川省成都市2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 J I H G F E D C BA B1 C1 D1 A1 H G F E D CB A QCD B A P 成都树德中学高成都树德中学高 20112011 级第三学期期中数学试题 理科级第三学期期中数学试题 理科 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题仅有一个正确答案 1 以下角 异面直线所成角 直线和平面所成角 二面角的平面角 空间中 两 向量的夹角 可能为钝角的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 一种冰激凌机的模型上半部分是半球 下半部分是圆锥 其三视图 如图所示 则该型号蛋糕的表面积是 S A B C D 115 110 105 100 3 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 腰和上 底长均为 1 的等腰梯形 则这个平面图形的面积是 A B 1 C 1 D 2 1 2 2 2 2 222 4 已知两不同直线与三不同平面 下列条件能推出 的是 nm A 且 B m nnm C 且 D m m m n m n 5 下面四个说法中 正确的个数为 相交于同一点的三条直线在同一平面内 在平面外 其三边延长线分别和交于 则一定共线 ABC RQP RQP 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线 则这两角相等 在三维空间中 三个平面最多把空间分成八部分 A 1 B 2 C 3 D 4 6 在正三棱柱 底面是正三角形 侧棱和底面垂直 中 则异 111 CBAABC 1 2BBAB 面直线与成角的大小为 1 ABBC1 A 60 B 90 C 105 D 75 7 如图 空间四边形四边相等 顺次连接各边中点 则ABCDHGFE 四边形 一定是 EFGH A 菱形 B 正方形 C 矩形D 空间四边形 8 空间作用在同一点的三个力两两夹角为 大小分别321 FFF 60 为 设它们的合力为 则 2 1 21 FF3 3 F321 FFFF A 且与夹角余弦为 B 且与夹角余弦为 25 F 1 F 7 10 25 F 1 F 9 10 C 且与夹角余弦为 D 且与夹角余弦为 5 F 1 F 7 10 5 F 1 F 4 10 9 异面直线所成角为 直线 且也与异面 则直线ba 3 ac cb 与所成的角的范围为 bc A B C D 2 6 2 3 3 6 3 2 3 10 有一个长方体容器 装的水占恰好占其容积 1111 DCBAABCD 的一半 表示水平的桌面 容器一边紧贴桌面 沿将其翻 BCBC 转使之略微倾斜 最后水面 阴影部分 与其各侧棱的交点分别是 如图 设翻转后容器中的水形成的几何体是 翻转EFGHM 过程中水和容器接触面积为 则下列说法正确的是 S A 是棱柱 逐渐增大 B 是棱柱 始终不变 MSMS C 是棱台 逐渐增大 D 是棱台 积始终不变 MSMS 11 如图 矩形的长 宽 若平面 ABCD2 ABxAD PAABCD 矩形的边上至少有一个点 使得 则的范围是 CDQBQPQ x A B C D 10 x20 x21 x1 x 12 我们知道 在平面直角坐标系中 方程表示的图形是一条 1 b y a x直 线 具有特定性质 在轴 轴上的截距分别为 类比到空间直角坐标系中 方程xyba 表示的点集对应的图形也具有某特定性质 设此图形为 若与平面 1 3 z yx mmzoy 所成角正弦值为 则正数的值是 5 52 A B C D 2 5 15 152 323 二 填空题 本大题共四小题 每小题 4 分 共 16 分 请将最简结果填在横线上 13 由空间向量基本定理可知 空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示 p cba 为 则称为基底下的广义坐标 特别地 当 czbyaxp zyx cba 为单位正交基底时 为直角坐标 设分 cba zyx kji 别为直角坐标中轴正方向上的单位向量 则空间直角坐标zyx 在基底下的广义坐标为 3 2 1 kjiji 14 如图 平面直角坐标系中 将其所在纸面沿 2 1 A 2 1 B x 轴折成的二面角 则折起后的两点的距离是 o 60BA 15 球放在墙角 两墙面 地面分别两两垂直 紧靠墙面和底面 墙角顶点到球面上的点的 最远距离是 则球的体积是 半径为的球体积公式 13 R 3 3 4 RV 16 关于图中的正方体 下列说法正确的有 1111 DCBAABCD 点在线段上运动 棱锥体积不变 PBD 11D ABP 点在线段上运动 二面角 不变 PBDADBP 11 一个平面截此正方体 如果截面是三角形 则必为锐角三角形 一个平面截此正方体 如果截面是四边形 则必为平行四边形 平面截正方体得到一个六边形 如图所示 则截面在平面 与平面间平行移动时此六边形周长先增大 后减小 11D AB 1 BDC 用心 爱心 专心2 D1 C1 B1A1 D C B A 树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题 理科 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 请将最简结果填在横线上 13 14 15 16 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明或演算步骤 17 长方体 其左视图沿方向投影 左视图如图 1111 DCBAABCD AB 1 证明 2 当长为时 求多面体的体积 CBAC 11 1 AC6 111 DABCB 18 12 分 两个边长均为的正方形和所在平面垂直相交于 3ABCDABEFAB ACM 且 1 证明 平面 2 当时 FBN FNAM MNBCE2 FNAM 求 的长度 MN 19 12 分 如图 是 的直径 垂直于 所在的平面 ABOPAO 是圆周上不同于的一动点 CBA 1 证明 是直角三角形 PBC 2 若 且当二面角的正切值为时 2 ABPAABCP 2 直线与平面所成角的正弦值 ABPBC 20 12 分 点是边长为的正方形的中心 点 分别是 的中O4ABCDEFADBC 点 沿对角线把正方形折成直二面角 ACABCDBACD 1 求的大小 2 求二面角的余弦值 EOF EOFA 21 12 分 随着环保理念的深入 用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行 下图是其中一个 抽 班级 姓名 考号 座位号 密 封 线 用心 爱心 专心3 象派雕塑的设计图 图中表示水平地面 线段表示的钢管固定在上 为了美感 AB 需在焊接时保证 线段表示的钢管垂直于 且保持与异面 AC ABBD BDAC 1 若收集到的余料长度如下 单位长度 按现24 BDAC7 AB25 CD 在手中的材料 求与应成的角 BD 2 设计师想在 中点处再焊接一根连接管 然后挂一个与 同时ABCDNM ACBD 平 行的平面板装饰物 但他担心此设计不一定能实现 请你替他打消疑虑 无论 AB 多长 焊接角度怎样 一定存在一个过的平面与 同时平行 即证明CDMNACBD 向量与 共面 写出证明过程 MN AC BD 3 如果事先能收集确定的材料只有 请替设计师打消另一个疑虑 即24 BDAC 要准备多长不用视 长度而定 只与有关 为设计的与所MNABCD BD 成的角 写出与的关系式 并帮他算出无论如何设计都一定够用的长MN MN 度 22 14 分 一块边长为的正方形纸片 按如图所示将阴影部分裁下 然后将余下的10 四 个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥 底面是正方形 顶点ABCDS 在底面的射影是底面中心的四棱锥 1 过此棱锥的高以及一底边中点作棱锥的截面 如图 设截面三角形面积为 Fy 求的最大值及取最大值时的的值 yyx 2 空间一动点满足 在第 1 问的条件P SCcSBbSAaSP 1 cba 下 求的最小值 并求取得最小值时的值 SPcba 3 在第 1 问的条件下 设是的中点 问是否存在这样的动点 它在此FCDQ 棱锥的表面 包含底面 运动 且 如果存在 计算其运动轨迹ABCDACFQ 的长度 如果不存在 说明理由 F E O A D C B S 用心 爱心 专心4 树德中学高 2011 级第三学期期中数学试题 理科 参考答案 一 选择题 1 5 B A D C B 6 10 B C C A B 11 12 A D 二 填空题 13 14 15 16 3 2 1 2 3 22 3 4 小题部分可参考课本 如下表 题号 5710121516 必 2 P46 定理 P52 习题 7 P53 习题 2 P46 例 2 及探究 选修 P99 2 P4 6 3 思路 类似 P137 探究 必 2 第 2 章各节都 出现的构造长 正 方体模 型的思想 综合 P57 例 2 P78 4 P79 2 6813147 选 2 1 P117 3 4 P105 例 1 P107 例 3 P9 8 11 模型来自 P106 例 2 P107 2 选修 P99 2 三 解答题 17 1 证明 由长方体性质知 CBABCCBBAB 111 平面 又由左视图知 11 BCCB 11 ABCCB平面 而 6 分 直接用三垂线定理也给分 11 ABCAC平面 CBAC 11 2 由 2116 222 1 ABABAC 矩形的面积 11D ABC22112 22 S 又上问已证 到的距离即 11 ABCCB平面 1 B 11D ABC 2 2 2 11 22 要求的体积是 12 分 用切割前后体积比求亦给分 3 2 2 2 22 3 1 V 此题综合 必修 2 第 2 章各节都出现的长方体模型 18 1 证明 法一 如图一 作MP BC NQ BE P Q为垂 足 连接PQ 则MP AB NQ AB 所以MP NQ 又AM NF AC BF 所以MC NB 又 MCP NBQ 45 所以 Rt MCP Rt NBQ 所以MP NQ 故四边形MPQN为平行四边形 所以MN PQ 4 分 因为PQ 平面BCE MN 平面BCE 所以MN 平面BCE 6 分 法二 如图二 过M作MH AB于H 则MH BC 所以 连接NH 由BF AC FN AM得 AM AC AH AB FN FB AH AB 所以NH AF BE 2 分 4 分 因为MN 平面MNH 所以MN 平面BCE 6 分 2 如上问图二 由比例关系易得 在中 12 分 ABCRt 2 1 NHMH5 MN 此题模型来自 选修 2 1 P113 B 组第 2 题 19 分是直角三角形 平面 平面 上在在圆 证明 6 1 BPCPCBC PACPC PACBC PABCABCPA ACBCOC 2 如图 过作 AHPCAH于 AHBCPACBC 平面 则即是要求的角 8 分PBCAH平面 ABH 二面角的平面角 9ACBCPCBCPACBC 平面已证 PCA ABCP 分 用心 爱心 专心5 又 10 分在中 2tan AC PA PCA2 PC 2 AC PACRt 11 分在中 3 3 2 22 ACPA ACPA AH ABHRt 3 3 2 3 3 2 sin ABH 即与平面所成角正弦值为 12 分 建直角坐标系或向量法亦给分 ACPBC 3 3 此题模型来自 必修 2 P69 例 3 及探究 20 解法一 1 如图 过点E作EG AC 垂足为G 过点F作FH AC 垂足为H 则 2EGFH 2 2GH 因为二面角D AC B为直二面角 2222 2cos90EFGHEGFHEG FH 又在中 222 2 2 2 2 012 EOF 2OEOF 6 分 222222 22 2 3 1 cos 22 2 22 OEOFEF EOF OE OF 120EOF 2 过点G作GM垂直于FO的延长线于点M 连EM 二面角D AC B为直二面角 平面DAC 平面BAC 交线为AC 又 EG AC EG 平面BAC GM OF 由三垂线定理 得EM OF 就是二面角的平面角 9 分EMG EOFA 在 RtEGM中 90EGM 2EG 1 1 2 GMOE tan2 EG EMG GM 3 3 EMGCOS 所以 二面角的余弦值为 12EOFA 3 3 分 解法二 1 建立如图所示的直角坐标系O xyz 则 1 1 2 OE 0 2 0 OF 6 分 1 cos 2 OE OF OE OF OE OF 120EOF 2 设平面OEF的法向量为 1 1 ny z 由得 11 0 0 n OEn OF 解得 所以 9 分 120 20 yz y 2 0 2 yz 1 2 1 0 2 n 又因为平面AOF的法向量为 10 分 2 0 0 1 n 11 分 12 12 12 3 cos 3 n n n n nn 且根据方向判断 二面角的大小为余弦为 12 分EOFA 3 3 此题改编自 选修 2 1 P118 12 21 解 1 解法一 设在上的射影为D H 共面 过作于 DHACDHAC DHAC D DKACK 则为矩形 设 则 AHDKhDH 222 CDAHhAC 由三垂线定理易知 ABBH 222222 hBDABBHABAH 将 代入 得 解得 22222 25 24 7 24 hh12 h 于是 即与所成的是 2 1 sin DBH 30 DBHBD 30 解法二 按教师教学用书 P102 的建坐标系方法 如图 得到 设 24 0 0 0 7 0 0 0 0 CBA zyxD 由 70 0 7 0 7 yzyxABBD x y z AB C D E F O G H M A B C D E FO M H G O F AB E C D 用心 爱心 专心6 T H G F O A D C B S 12 312 25 24 7 24 25 24 222 22 zx zx zx CDBD由 12 7 312 D 12 0 312 BD 60 2 1 cos ACBD ACBD ACBD 且是的一个法向量 根据图中方向可知 与应成角为 CA BD 30 解法三 向量法 理科 BDABCACD 22 BDABCABDABCABDABCACD 2 222 CABDBDABABCABDABCA 即解得 cos242400 22472425 2222 CABD 2 1 cos CABD 夹角为 且是的一个法向量 根据图中方向可知 与所成的 CABD 120 CA BD 角为 第 1 问 4 分 30 2 解 由向量加法的三角形法则 CNACMAMN DNBDMBMN 两式相加即得 BDACMN 2 1 2 1 则共面向量的判定定理得到共面 BDACMN 从而一定存在一个过的平面与 同时平行 8 分MNACBD 注 此问 4 分 关键证出 理科如果没有依照题意 而是用传统 BDACMN 2 1 2 1 方法证明 方法正确 或者直接使用这个向量结论 则得部分的分 3 由第上一问的结果得 BDACBDACBDACMN 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2222 sin24 2 1 2424 4 1 2 cos 2 1 4 1 4 1 22222 BDACBDAC 单位长度 10 分 sin1 288 MN sin1 214 sin1 288 由题意 即准备 单位长度 就一定够用 2 0 28 214 MNMN28 12 分 此题模型来自 选修 2 1 P113 例 9 P111 练习 1 22 1 由题意 100 4 25 22 5 2 1 2 1 2 2 2 x xxx xSOEFy 进一步化为 注 两个形式的结果都给分