《机械优化设计》习题及答案1

机械优化设计习题及参考答案机械优化设计习题及参考答案 1 1 1 1 简述优化设计问题数学模型的表达形式 简述优化设计问题数学模型的表达形式 答 答 优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象 在明确设 计变量 约束条件 目标函数之后 优化设计问题就可以表示成一般 数学形式 求设计变量向量使 12 T n xxxx L minf x 且满足约束条件 0 1 2 k h xkl L 0 1 2 j gxjm L 2 1 2 1 何谓函数的梯度 梯度对优化设计有何意义 何谓函数的梯度 梯度对优化设计有何意义 答 答 二元函数 f x1 x2 在 x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面 的形式 2cos 1cos 21 2cos 2 1cos 1 xox f x f xox f xox f xo d f 令 xo T x f x f x f x f xf 21 2 1 0 则称它为函数 f x1 x2 在 x0点处的梯度 1 1 梯度方向是函数值变化最快方向 梯度模是函数变化率的最大值 梯度方向是函数值变化最快方向 梯度模是函数变化率的最大值 2 2 梯度与切线方向 梯度与切线方向 d d 垂直 从而推得梯度方向为等值面的法线方向 垂直 从而推得梯度方向为等值面的法线方向 梯度梯度方向为函数变化率最大方向 也就是最速上升方向 负梯方向为函数变化率最大方向 也就是最速上升方向 负梯 0 xf 度度 方向为函数变化率最小方向 即最速下降方向 方向为函数变化率最小方向 即最速下降方向 0 xf 2 2 2 2 求二元函数求二元函数 f f x x1 1 x x2 2 2x 2x1 12 2 x x2 22 2 2x 2x1 1 x x2 2在在处函数变化率处函数变化率 T x 0 0 0 最最 大的方向和数值 大的方向和数值 2 解 解 由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向 这里用单位向量 p 表示 函数变化率最大和数值时梯度的模 求 f x1 x2 在 0 xf x0 点处的梯度方向和数值 计算如下 1 2 0122 214 2 1 0 xx x x f x f xf 2 2 2 1 0 x f x f xf5 5 1 5 2 5 1 2 0 0 xf xf p 2 3 2 3 试求目标函数试求目标函数在点在点X X0 0 1 0 1 0 T T 处的最速下处的最速下 2 221 2 121 43 xxxxxxf 降方向 并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值 降方向 并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值 解 解 求目标函数的偏导数 21 2 21 1 24 46xx x f xx x f 则函数在X X0 0 1 0 1 0 T T处的最速下降方向是 4 6 24 46 0 1 21 21 0 1 2 1 0 2 1 2 1 x x x x xx xx x f x f XfP 这个方向上的单位向量是 13 2 3 4 6 4 6 T 22 T P P e 新点是 13 2 13 3 1 01 eXX 3 新点的目标函数值 132 13 94 1 Xf 2 4 2 4 何谓凸集 凸函数 凸规划 要求配图 何谓凸集 凸函数 凸规划 要求配图 答 答 一个点集 或区域 如果连接其中任意两点 x1 x2 的线段都全 部包含在该集合内 就称该点集为凸集 否则为非凸集 函数 f x 为凸集定义域内的函数 若对任何的及凸集域01 内的任意两点 x1 x2 存在如下不等式 称 f x 是定义在图集上的一个凸函数 对于约束优化问题 1212 11fxxf xx 4 若 都是凸函数 则称此问题为凸规划 j j f xgx 1 2 m 3 1 3 1 简述一维搜索区间消去法原理 简述一维搜索区间消去法原理 要配图 要配图 答 答 搜索区间 a b 确定之后 采用区间逐步缩短搜索区间 从而 找到极小点的数值近似解 假设搜索区间 a b 内任取两点 a1 b1 a1 b1 并计算函数值 f a1 f b1 将有下列三种可能情形 1 f a1 f b1 由于函数为单谷 所以极小点必在区间 a b1 内 2 f a1 f b1 同理 极小点应在区间 a1 b 内 3 f a1 f b1 这是极小点应在 a1 b1 内 3 2 3 2 简述黄金分割法搜索过程及程序框图 简述黄金分割法搜索过程及程序框图 1 bba 2 aba 其中 为待定常数 5 3 3 3 3 对函数对函数 当给定搜索区间 当给定搜索区间时 写出用黄金时 写出用黄金 2 2 f55 分割法求极小点分割法求极小点的前三次搜索过程 的前三次搜索过程 要列表 要列表 黄金分割法的搜索过程 序号 a a1a2 b Y1 比较 Y2 0 5 1 181 185 0 9676 0 967 2 1 18 0 2791 18 0 9676 0 482 6 3 4 使用二次插值法求 f x sin x 在区间 2 6 的极小点 写出计算步骤 和迭代公式 给定初始点 x1 2 x2 4 x3 6 10 4 解 1234 x1244 554574 55457 x244 554574 736564 72125 x36664 73656 y10 909297 0 756802 0 987572 0 987572 y2 0 756802 0 987572 0 999708 0 999961 y3 0 279415 0 279415 0 279415 0 999708 xp4 554574 736564 721254 71236 yp 0 987572 0 999708 0 999961 1 迭代次数 K 4 极小点为 4 71236 最小值为 1 13 13 1 xx yy c 12 12 2 xx yy c 32 12 3 xx cc c 2 1 3 1 31 c c xxxp 收敛的条件 2 2 y yy p 4 1 简述无约束优化方法中梯度法 共轭梯度法 鲍威尔法的主要区 别 答 梯度法是以负梯度方向作为搜索方向 使函数值下降最快 相邻两个迭代点上的函 7 数相互垂直即是相邻两个搜索方向相互垂直 这就是说在梯度法中 迭代点向函数极小点靠 近的过程 走的是曲折的路线 这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直 形成 之 字形的锯齿现象 从直观上可以看到 在远离极小点的位置 每次迭代可使函数值有较多的 下降 可是在接近极小点的位置 由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短 因而收敛速度 减慢 这种情况似乎与 最速下降 的名称矛盾 其实不然 这是因为梯度是函数的局部性 质 从局部上看 在一点附近函数的下降是最快的 但从整体上看则走了许多弯路 因此函 数的下降并不算快 共轭梯度法是共轭方向法中的一种 因为在该方法中每一个共轭的量都是依赖于迭代点 处的负梯度而构造出来的 所以称作共轭梯度法 该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向 这就是最速下降法 其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 也就是对负梯度进行修 正 所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进 故它又被称作旋转梯度法 鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法 这种方法是在研究其有 正定矩阵G的二次函数的极小化问题时形成的 其基本思想是在不 1 2 TT f xx Gxb xc 用导数的前提下 在迭代中逐次构造 G 的共轭方向 在该算法中 每一轮迭代都用连结始点 和终点所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量 而不管它的 好坏 这是产生 向量组线性相关的原因所在 因此在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换 如果需 要替换 还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏 然后再用新产生的向量替换这个最坏的 向量 以保证逐次生成共轭方向 4 2 如何确定无约束优化问题最速下降法的搜索方向 答 优化设计是追求目标函数值最小 因此搜所方向 d 取该点的负梯度方向 使 xf 函数值在该点附近的范围下降最快 按此规律不断走步 形成以下迭代的算法 k 0 1 2 1k xf k k x k x 由于最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向 所以最速下降法有称为梯度法 为了使目标函数值沿搜索方向 能获得最大的下降值 其步长因子应取一维 k xf k a 搜索的最佳步长 即有 min min 1 k xfa k xf k xf k a k xf k xf 根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式得 或写成0 1 k xf Tk xf0 1 k d Tk d 由此可知 在最速下降法中 相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直 而搜索方向就是 负梯度方向 因此相邻的两个搜索方向相互垂直 这就是说在最速下降法中 迭代点向函数 极小点靠近的过程 4 3 给定初始值 x0 7 11 T 使用牛顿法求函数 的极小值点和极小值 2 21 2 121 2 2 xxxxxf 8 解 梯度函数 海赛矩阵分别为 2 分 2 4 2 2 2 2 21 211 21 xx xxx xxf 4 分 4 1 4 1 4 1 2 1 84 44 1 2 21 2 fxxf 假设初始值 x0 7 11 T 则 1 分 116 76 0 xf 2 分 1 2 0 1 201 xxxff 则 1 分 0 0 1 xf x1满足极值的必要条件 海赛矩阵是正定的 所以是极小点 2 分 1 1 1 1 xxxf 4 4 以二元函数为例说明单形替换法的基本原理 21 xxf 答 如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点 x1 x2 x3 以它们为顶点组成一单 纯形 计算各顶点函数值 设 f x1 f x2 f x3 这说明 x3 点最好 x1 点最差 为了寻找极小点 一般来说 应向最差点的反对称方向进行搜索 即通过 x1 并穿过 x2x3 的中点 x4 的方向上进行搜索 在此方向上取点 x5 使 x5 x4 x4 x1 x5 称作 x1 点相对于 x4 点的反射点 计算反射点的函数值 f X5 可能出现以下几种情 形 1 f x5 f x3 即反射点比最好点好要好 说明搜索方向正确 可以往前迈一步 也就是扩张 2 f x3 f x5 f x2 即反射点比最好点差 比次差点好 说明反射可行 一反 射点代替最差点构成新单纯形 3 f x2 f x5 f x1 反射点比最差点还差 说明收缩应该多一些 将新点收缩在 x1x4 之间 5 f x f x1 说明 x1x4 方向上所有点都比最差点还要差 不能沿此方向进行搜索 9 5 1 简述约束优化方法的分类 简述约束优化问题的直接解法 间接 解法的原理 特点及主要方法 答 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题 它的基本思路是在 m 个不等式约束条 件所确定的可行域内选择一个初始点 然后决定可行搜索方向 d 且以适当的步长沿 d 0 x 方向进行搜索 得到一个使目标函数值下降的可行的新点 即完成一个迭代 再以新点为 1 x 起点 重复上述搜索过程 满足收敛条件后 迭代终止 所谓可行搜索方向是指 当设计点 沿该方向作微量移动时 目标函数值将下降 且不会越出可行域 产生可行搜索方向的方法 将由直接解法中的各种算法决定 直接解法的原理简单 方法实用 其特点是 1 由于整个求解过程在可行域内进行 因 此迭代计算不论何时终点 都可以获得一个比初始点好的设计点 2 若目标函数为凸函数 可行域为凸集 则可保证获得全域最优解 否则 因存在多个局部最优解 当选择的初始点 不相同时 可能搜索到不同的局部最优解 为此 常在可行域内选择几个差别较大的初始点 分别进行计算 以便从求得多个局部最优解中选择最好的最优解 3 要求可行域为有界的非 空集 即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点 且目标函数有定义 直接解法有 随机方向法 复合形法 可行方向法 广义简约梯度法等 间接解法有不同的求解策略 其中一种解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数 进行特殊的加权处理后 和目标函数结合起来 构成一个新的目标函数 即将原约束优化问 题转化成一个或一系列的无约束优化问题 再对新的目标函数进行无约束优化计算 从而间 接地搜索到原约束问题的最优解 间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法 其特点是 1 由于无 约束优化方法的研究日趋成熟 已经研究出不少有效的无约束最优化方法和程序 使得间接 解法有了可靠的基础 目前 这类算法的计算效率和数值稳定性也都有了较大提高 2 可以 有效地处理具有等式约束的约束优化问题 3 间接算法存在的主要问题是 选取加权因子比 较困难 加权因子选取不当 不但影响收敛速度和计算精度 甚至会导致计