一题多解与一题多变

一题多解与一题多变 浦东新区彭镇中学 王国新 在几何证明题中 学生往往只注意证明结果 而不注意证明的方法 有时用的方法过 于繁琐 对于一道题的证明方法往往不是一种方法 在教学中 我非常注重对几何证明题 的一题多解和一题多变 取得了较好的教学效果 原题 已知 如图 1 BAC 90 BA 平分 DBC BD DE CE BD 求证 BC BD CE 分析 这种题形一般有两种方法 一种是把一条 线段截成两条线段 另一种是把两 条线段接成一条线段 本题可过点 A 做 AF BC F 为垂足 分别证 BF BD CF CE 即 可 或延长 BD CA 交与点 F 再证 BF BC 证法一 过点 A 作 AF BC F 为垂足 在 ABD 和 ABF 中 0 90 DAFB 垂直定义 AB AB D BA FBA 已知 ABD ABF A A S BD BF BAD BAF D AFB 全等三角形的对应边相等 对应角相等 BAF CAF 90 垂直定义 DAB BAC CAE 180 平角定义 DAB EAC 90 等式性质 CAF CAE 等角的余角相等 CE BD 已知 D E 180 二直线平行 同旁内角互补 AFB AFC 180 平角定义 E AFC 等角的补角相等 在 ACF 和 ACE 中 公共边 已证 已证 ACAC CAECAF AFCE ACF ACE A A S CE CF 全等角形三的对应边相等 BD CE BF FC 既 BC BD CE 证法二 延长 CE BA 交于 F BD CE 已知 F DBA 二直线平行 内错角相等 ABD ABC 已知 F ABC 等量代换 A C DE B F CB CF 等角对等边 CAB 90 已知 AB AF 等腰三角形三线合一 在 ABD 和 AEF 中 FABD ABAF BADEAF 已证 已证 对顶角相等 ABD AEF A S A BD EF 全等三角形的对应边相等 CF CE EF CB CF CB CE BD 证法三 在 CB 上取一点 F 使 BF BD 连接 AF 在 ABD 和 ABF 中 BDBF ABDABF ABAB 已作 已知 公共边 ABD ABF S A S BAD BAF D AFB 90 全等三角形的对应角相等 BAC BAF CAF 90 已知 DAB BAF CAF CAE 180 平角定义 BAD CAE 90 等式性质 CAE CAF 等角的余角相等 CE BD 已知 D E 180 二直线平行 同旁内角互补 D 90 垂直定义 E 90 等式性质 在 ACE 和 ACF 中 0 90 EAFC EACFAC ACAC 已证 已证 公共边 ACE ACF A A S CF CE 全等三角形的对应边相等 CF BF BD CE 即 BC BD CE 证法四 在 CB 上取一点 F 使 CF CE 连接 AF 以下同证法三类似 略 A C D E F B A C DE B F 变式 本题可改编以下几个题目 1 如图 BA 平分 DBA CA 平分 BCE BD CE 求证 BC BD CE 证明 在 CB 上取一点 F 使 BF BD 连接 AF 在 ABD 和 ABF 中 BDBF ABDABF ABAB 已作 已知 公共边 ABD ABF S A S D AFB 全等三角形的对应角相等 BD CE 已知 D E 180 二直线平行 同旁内角互补 AFB AFC 180 平角定义 E AFC 等角的补角相等 在 ACE 和 ACF 中 EAFC ECAFCA ACAC 已证 已知 公共边 ACE ACF A A S CF CE 全等三角形的对应边相等 CF BF BD CE 即 BC BD CE 还可以用上面证法二的方法证明 略 2 如图 BA 平分 DBA DA DE BAC 90 求证 BC BD CE 3 如图 BA 平分 DBA CA 平分 BCE BC BD CE 求证 BD CE 4 如图 BA 平分 DBA DA DE BC BD CE 求证 BD CE 5 如图 BA 平分 DBA CA 平分 BCE BC BD CE 求证 BAC 90 6 如图 DA DE BD CE BC BD CE 求证 BA 平分 DBA 以上题目的证法与上